Bəşəriyyətin tərəqqisi daha çox dahilərin kəşfləri sayəsində baş verir. Onlardan biri də Blez Paskaldır. Onun yaradıcı tərcümeyi-halı Lion Feuchtvangerin “İstedadlı insan, hər şeydə istedadlı” ifadəsinin doğruluğunu bir daha təsdiqləyir. Bu böyük alimin bütün elmi nailiyyətlərini saymaq çətindir. Onların arasında riyaziyyat dünyasının ən nəfis ixtiralarından biri - Paskal üçbucağı var.
Dahi haqqında bir neçə söz
Blez Paskal müasir standartlara görə erkən, 39 yaşında vəfat etdi. Lakin o, qısa ömründə görkəmli fizik, riyaziyyatçı, filosof və yazıçı kimi fərqlənmişdir. Minnətdar nəsillər onun şərəfinə təzyiq vahidini və məşhur proqramlaşdırma dilini Paskal adlandırdılar. Təxminən 60 ildir ki, müxtəlif kodların yazılmasını öyrətmək üçün istifadə olunur. Məsələn, onun köməyi ilə hər bir tələbə Paskalda üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün proqram yaza, həmçinin dövrənin xassələrini tədqiq edə bilər.aşağıda müzakirə olunacaq.
Qeyri-adi təfəkkürə malik bu alimin fəaliyyəti müxtəlif elm sahələrini əhatə edir. Xüsusilə, Blez Paskal hidrostatikanın, riyazi analizin, həndəsənin bəzi sahələrinin və ehtimal nəzəriyyəsinin yaradıcılarından biridir. Həmçinin, o:
- Paskal çarxı kimi tanınan mexaniki kalkulyator yaratdı;
- havanın elastikliyinə və çəkisinə malik olduğuna dair eksperimental sübutlar təqdim etdi;
- bir barometrin havanı proqnozlaşdırmaq üçün istifadə oluna biləcəyini müəyyən etdi;
- əl arabasını icad etdi;
- omnibusu - sabit marşrutları olan, sonradan müntəzəm ictimai nəqliyyatın ilk növünə çevrilən at arabalarını icad etdi və s.
Paskalın Arifmetik Üçbucağı
Daha əvvəl də qeyd edildiyi kimi, bu böyük fransız alimi riyaziyyat elminə böyük töhfə vermişdir. Onun mütləq elmi şah əsərlərindən biri müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş binom əmsallarından ibarət “Arifmetik üçbucaq haqqında traktat”dır. Bu sxemin xassələri müxtəlifliyi ilə diqqəti cəlb edir və özü də “Hər şey sadədir!” atalar sözünü təsdiqləyir.
Bir az tarix
Ədalətli olmaq üçün demək lazımdır ki, əslində Paskal üçbucağı Avropada hələ 16-cı əsrin əvvəllərində məlum idi. Xüsusilə, onun şəklini İnqolştadt Universitetindən məşhur astronom Piter Apianın arifmetika dərsliyinin üz qabığında görmək olar. Oxşar üçbucaq da illüstrasiya kimi göstərilir. Çin riyaziyyatçısı Yang Huinin 1303-cü ildə nəşr olunan kitabında. Görkəmli fars şairi və filosofu Ömər Xəyyam da onun xüsusiyyətlərindən XII əsrin əvvəllərində xəbərdar idi. Üstəlik, onunla ərəb və hind alimlərinin daha əvvəl yazılmış risalələrindən tanış olduğu güman edilir.
Təsvir
Mükəmməlliyi və sadəliyi ilə gözəl olan Paskal üçbucağının ən maraqlı xüsusiyyətlərini araşdırmadan əvvəl onun nə olduğunu bilməyə dəyər.
Elmi desək, bu ədədi sxem müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş binom əmsallarından əmələ gələn sonsuz üçbucaqlı cədvəldir. Onun yuxarısında və yan tərəflərində 1 rəqəmləri var. Qalan mövqelər, onların üstündə, bir-birinin yanında yerləşən iki ədədin cəminə bərabər olan ədədlərlə tutulur. Üstəlik, Paskal üçbucağının bütün xətləri onun şaquli oxuna görə simmetrikdir.
Əsas Xüsusiyyətlər
Paskal üçbucağı mükəmməlliyi ilə diqqəti çəkir. Nömrələnmiş istənilən sətir üçün (n=0, 1, 2…) doğrudur:
- ilk və son rəqəmlər 1;
- ikinci və sondan əvvəlki - n;
- üçüncü ədəd üçbucaqlı ədədə bərabərdir (bərabərtərəfli üçbucaqda düzülə bilən dairələrin sayı, yəni 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Dördüncü rəqəm tetraedraldır, yəni bazasında üçbucaq olan piramidadır.
Bundan əlavə, nisbətən yaxınlarda, 1972-ci ildə Paskal üçbucağının başqa bir xüsusiyyəti quruldu. Onun üçüntapmaq üçün bu sxemin elementlərini 2 mövqe ilə sətir sürüşməsi ilə cədvəl şəklində yazmaq lazımdır. Sonra sətir nömrəsinə bölünən ədədləri qeyd edin. Məlum oldu ki, bütün rəqəmlərin vurğulandığı sütunun nömrəsi sadə ədəddir.
Eyni hiylə başqa üsulla da edilə bilər. Bunun üçün Paskal üçbucağında ədədlər cədvəldəki sətir nömrəsinə bölünməsinin qalıqları ilə əvəz olunur. Sonra xətlər yaranan üçbucaqda elə düzülür ki, növbəti sütun əvvəlkinin birinci elementindən sağa 2 sütun başlasın. O zaman sadə ədədlər olan ədədləri olan sütunlar yalnız sıfırlardan ibarət olacaq və mürəkkəb ədədləri olanlar ən azı bir sıfırdan ibarət olacaq.
Nyuton binomi ilə əlaqə
Bildiyiniz kimi, bu, iki dəyişənin cəminin mənfi olmayan tam gücü baxımından genişlənmə düsturunun adıdır və belə görünür:
Onlarda mövcud olan əmsallar C m =n-ə bərabərdir! / (m! (n - m)!), burada m Paskal üçbucağının n sətirindəki sıra nömrəsidir. Başqa sözlə, bu cədvəlin əlinizdə olması ilə siz hər hansı bir rəqəmi əvvəllər onları iki terminə bölərək asanlıqla gücə yüksəldə bilərsiniz.
Beləliklə, Paskal üçbucağı və Nyutonun binomialı bir-biri ilə sıx bağlıdır.
Riyaziyyat Möcüzələri
Paskal üçbucağını yaxından tədqiq etdikdə məlum olur ki:
- sətirdəki bütün ədədlərin cəmiseriya nömrəsi n (0-dan hesablanır) 2;
- sətirlər sola düzülübsə, onda Paskal üçbucağının diaqonalları boyunca aşağıdan yuxarıya və soldan sağa gedən ədədlərin cəmi Fibonaççi ədədlərinə bərabərdir;
- ilk "diaqonal" sıra ilə natural ədədlərdən ibarətdir;
- Paskal üçbucağından bir azaldılmış istənilən element, bu ədəddə kəsişən sol və sağ diaqonallarla məhdudlaşan paraleloqramın daxilində yerləşən bütün ədədlərin cəminə bərabərdir;
- diaqramın hər sətirində cüt yerlərdə olan ədədlərin cəmi tək yerlərdə olan elementlərin cəminə bərabərdir.
Sierpinski Üçbucağı
Mürəkkəb məsələlərin həlli baxımından kifayət qədər perspektivli belə maraqlı riyazi sxem Paskal təsvirinin cüt ədədlərini bir rəngə, tək rəqəmlərini isə başqa rəngə boyamaqla əldə edilir.
Sierpinski üçbucağı başqa şəkildə tikilə bilər:
- kölgəli Paskal sxemində orta üçbucaq orijinalın tərəflərinin orta nöqtələrini birləşdirərək yaranan fərqli rəngə boyanmışdır;
- künclərdə yerləşən üç rənglənməmiş ilə eyni şeyi edin;
- prosedur qeyri-müəyyən müddətə davam edərsə, nəticə iki rəngli rəqəm olmalıdır.
Sierpinski üçbucağının ən maraqlı xüsusiyyəti onun özünə bənzəməsidir, çünki o, 2 dəfə kiçilmiş 3 nüsxədən ibarətdir. Bu, bizə bu sxemi fraktal əyrilərə aid etməyə imkan verir və onlar, ən sonda göstərildiyi kimitədqiqat buludların, bitkilərin, çay deltalarının və kainatın özünün riyazi modelləşdirilməsi üçün ən uyğundur.
Bir neçə maraqlı tapşırıq
Paskal üçbucağı harada istifadə olunur? Onun köməyi ilə həll edilə bilən tapşırıqların nümunələri olduqca müxtəlifdir və müxtəlif elm sahələrinə aiddir. Gəlin daha maraqlılarından bəzilərinə nəzər salaq.
Problem 1. Qala divarı ilə əhatə olunmuş bəzi böyük şəhərin yalnız bir giriş qapısı var. Birinci kəsişmədə əsas yol iki yerə bölünür. Eyni şey hər hansı digərində olur. 210 nəfər şəhərə daxil olur. Qarşılaşdıqları kəsişmələrin hər birində yarıya bölünürlər. Artıq paylaşmaq mümkün olmayacaq zaman hər kəsişmədə nə qədər insan tapılacaq. Onun cavabı Paskal üçbucağının 10-cu sətridir (əmsal düsturu yuxarıda verilmişdir), burada 210 rəqəmləri şaquli oxun hər iki tərəfində yerləşir.
Tapşırıq 2. Rənglərin 7 adı var. 3 çiçəkdən ibarət bir buket etmək lazımdır. Bunun neçə müxtəlif üsullarla edilə biləcəyini öyrənmək tələb olunur. Bu problem kombinatorika sahəsindəndir. Bunu həll etmək üçün biz yenidən Paskal üçbucağından istifadə edirik və üçüncü mövqedə (hər iki halda 0-dan nömrələmə) 7-ci sətirdə 35 rəqəmini alırıq.
İndi siz dahi fransız filosofu və alimi Blez Paskalın nəyi icad etdiyini bilirsiniz. Onun məşhur üçbucağı, düzgün istifadə edildikdə, bir çox problemi həll etmək üçün əsl xilasedici ola bilər, xüsusən də sahədəkombinatorika. Bundan əlavə, fraktallarla bağlı çoxsaylı sirləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.
