Hər bir şagird dəyirmi konus haqqında eşitmiş və bu üçölçülü fiqurun necə göründüyünü təsəvvür edir. Bu məqalə konusun inkişafını müəyyən edir, onun xüsusiyyətlərini təsvir edən düsturlar təqdim edir və onun kompas, iletki və düzbucaqdan istifadə edərək necə qurulacağını təsvir edir.
Həndəsə dairəvi konus
Bu fiqurun həndəsi tərifini verək. Dəyirmi konus, müəyyən bir dairənin bütün nöqtələrini fəzada bir nöqtə ilə birləşdirən düz xətt seqmentlərindən əmələ gələn bir səthdir. Bu tək nöqtə dairənin yerləşdiyi müstəviyə aid olmamalıdır. Dairə əvəzinə dairə götürsək, bu üsul da konusa gətirib çıxarır.
Dairə fiqurun əsası adlanır, onun çevrəsi direktrisdir. Nöqtəni direktivlə birləşdirən seqmentlər generatrislər və ya generatorlar adlanır və onların kəsişdiyi nöqtə konusun təpə nöqtəsidir.
Dəyirmi konus düz və əyri ola bilər. Hər iki rəqəm aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.
Onlar arasındakı fərq belədir: əgər konusun yuxarı hissəsindən perpendikulyar tam olaraq dairənin mərkəzinə düşürsə, konus düz olacaq. Onun üçün fiqurun hündürlüyü adlanan perpendikulyar onun oxunun bir hissəsidir. Maye konus vəziyyətində hündürlük və ox kəskin bucaq yaradır.
Şəklin sadəliyinə və simmetriyasına görə biz daha sonra yalnız dairəvi əsaslı sağ konusun xassələrini nəzərdən keçirəcəyik.
Fırlanmadan istifadə edərək forma əldə edilir
Konusun səthinin inkişafını nəzərdən keçirməzdən əvvəl fırlanmadan istifadə edərək bu məkan fiqurunun necə əldə oluna biləcəyini bilmək faydalıdır.
Tərəfləri a, b, c olan düzbucaqlı üçbucağımız olduğunu düşünək. Bunlardan ilk ikisi ayaqdır, c hipotenuzdur. Gəlin a ayağına üçbucaq qoyaq və onu b ayağının ətrafında çevirməyə başlayaq. Sonra c hipotenuzası konusvari səthi təsvir edəcəkdir. Bu sadə konus texnikası aşağıdakı diaqramda göstərilmişdir.
Aydındır ki, a ayağı fiqurun əsasının radiusu, b ayağı onun hündürlüyü, c hipotenuzası isə dairəvi sağ konusun generatrisinə uyğundur.
Konusun inkişafının görünüşü
Təxmin etdiyiniz kimi konus iki növ səthdən əmələ gəlir. Onlardan biri düz əsaslı dairədir. Tutaq ki, onun r radiusu var. İkinci səth yanaldır və konusvari adlanır. Onun generatoru g-ə bərabər olsun.
Kağız konusumuz varsa, onda qayçı götürüb əsasını kəsə bilərik. Sonra konik səthi kəsmək lazımdırhər hansı bir generatrix boyunca və onu təyyarədə yerləşdirin. Bu yolla biz konusun yan səthinin inkişafını əldə etdik. İki səth orijinal konus ilə birlikdə aşağıdakı diaqramda göstərilmişdir.
Baza dairəsi aşağı sağda təsvir edilmişdir. Mərkəzdə açılmış konusvari səth göstərilir. Məlum oldu ki, o, dairənin hansısa dairəvi sektoruna uyğundur, radiusu g generatrisinin uzunluğuna bərabərdir.
Bucaq və sahə taraması
İndi biz g və r məlum parametrlərindən istifadə edərək konusun sahəsini və bucağını hesablamağa imkan verən düsturlar alırıq.
Aydındır ki, şəkildə yuxarıda göstərilən dairəvi sektorun qövsü əsasın çevrəsinə bərabər uzunluğa malikdir, yəni:
l=2pir.
Radiusu g olan bütün dairə qurulsaydı, onun uzunluğu belə olardı:
L=2pig.
Uzunluğu L 2pi radiana uyğun gəldiyi üçün l qövsünün dayandığı bucağı müvafiq nisbətdən müəyyən etmək olar:
L==>2pi;
l==> φ.
Onda naməlum bucaq φ bərabər olacaq:
φ=2pil/L.
l və L uzunluqları üçün ifadələri əvəz edərək, konusun yan səthinin inkişaf bucağının düsturuna gəlirik:
φ=2pir/g.
Burada φ bucağı radyanla ifadə olunub.
Dairəvi sektorun Sb sahəsini təyin etmək üçün φ-in tapılmış dəyərindən istifadə edəcəyik. Yalnız sahələr üçün daha bir nisbət edirik. Bizdə:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Sb ifadəsini haradan edin və sonra φ bucağının qiymətini əvəz edin. Alırıq:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Konusvari səthin sahəsi üçün kifayət qədər yığcam düstur əldə etdik. Sb dəyəri üç amilin hasilinə bərabərdir: pi, fiqurun radiusu və onun generatrisi.
Onda fiqurun bütün səthinin sahəsi Sb və So (dairəvi) cəminə bərabər olacaq baza sahəsi). Formulu alırıq:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Kağız üzərində konus süpürgəsi qurmaq
Bu tapşırığı yerinə yetirmək üçün sizə kağız parçası, karandaş, iletki, xətkeş və kompas lazımdır.
İlk öncə tərəfləri 3 sm, 4 sm və 5 sm olan düzbucaqlı üçbucaq çəkək. Onun ayaq ətrafında 3 sm fırlanması arzu olunan konusnu verəcək. Şəkildə r=3 sm, h=4 sm, g=5 sm var.
Səpmə qurmağa kompasla r radiuslu dairə çəkməklə başlayacaq. Onun uzunluğu 6pi sm-ə bərabər olacaq. İndi onun yanında başqa bir dairə çəkəcəyik, lakin radius g ilə. Onun uzunluğu 10pi sm-ə uyğun olacaq. İndi böyük bir dairədən dairəvi bir sektoru kəsməliyik. Onun φ bucağı:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
İndi biz radiusu g olan çevrə üzərində iletki ilə bu bucağı kənara qoyuruq və dairəvi sektoru məhdudlaşdıracaq iki radius çəkirik.
BeləlikləBeləliklə, biz radius, hündürlük və generatrixin müəyyən edilmiş parametrləri ilə konusun inkişafını qurmuşuq.
Həndəsi məsələnin həlli nümunəsi
Dəyirmi düz konus verilmişdir. Məlumdur ki, onun yanal sürüşmə bucağı 120o-dir. Konusun h hündürlüyünün 10 sm olduğu məlumdursa, bu rəqəmin radiusunu və generatrisini tapmaq lazımdır.
Dəyirmi konusun düzbucaqlı üçbucağın fırlanma fiquru olduğunu xatırlasaq, tapşırıq çətin deyil. Bu üçbucaqdan hündürlük, radius və generatrix arasında birmənalı əlaqə yaranır. Müvafiq düsturu yazaq:
g2=h2+ r2.
Həll zamanı istifadə ediləcək ikinci ifadə φ bucağı üçün düsturdur:
φ=2pir/g.
Beləliklə, iki naməlum kəmiyyətlə (r və g) əlaqəli iki tənliyimiz var.
İkinci düsturdan g ifadəsini ifadə edin və nəticəni birinci ilə əvəz etsəniz, əldə edirik:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Bucaq φ=120o radyanla 2pi/3-dir. Bu dəyəri əvəz edirik, r və g üçün son düsturları alırıq:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Hündürlük dəyərini əvəz etmək və problem sualına cavab almaq qalır: r ≈ 3.54 sm, g ≈ 10.61 sm.
