Yan səthin sahəsi və kəsilmiş piramidanın həcmi: düsturlar və tipik bir problemin həlli nümunəsi

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Stereometriya çərçivəsində üçölçülü fəzada fiqurların xassələrini öyrənərkən çox vaxt həcm və səth sahəsini təyin etmək üçün məsələlər həll etməli olur. Bu məqalədə biz tanınmış düsturlardan istifadə edərək kəsilmiş piramida üçün həcmi və yanal səth sahəsini necə hesablayacağımızı göstərəcəyik.

Həndəsə piramida

Həndəsədə adi piramida kosmosdakı bir fiqurdur və hansısa düz n-bucaqlı üzərində qurulmuşdur. Onun bütün təpələri çoxbucaqlının müstəvisindən kənarda yerləşən bir nöqtəyə bağlıdır. Məsələn, beşbucaqlı piramidanı göstərən foto.

Bu rəqəm üzlər, təpələr və kənarlarla formalaşır. Beşbucaqlı üz əsas adlanır. Qalan üçbucaqlı üzlər yan səthi təşkil edir. Bütün üçbucaqların kəsişmə nöqtəsi piramidanın əsas təpəsidir. Ondan bazaya perpendikulyar endirilirsə, kəsişmə nöqtəsinin mövqeyi üçün iki seçim mümkündür:

• həndəsi mərkəzdə, onda piramida düz xətt adlanır;
• daxil deyilhəndəsi mərkəz, onda fiqur əyri olacaq.

Bundan sonra biz yalnız adi n-bucaqlı bazası olan düz fiqurları nəzərdən keçirəcəyik.

Bu rəqəm nədir - kəsilmiş piramida?

Kəsilmiş piramidanın həcmini təyin etmək üçün konkret olaraq hansı rəqəmdən söhbət getdiyini aydın başa düşmək lazımdır. Gəlin bu məsələyə aydınlıq gətirək.

Fərz edək ki, adi piramidanın əsasına paralel olan kəsici müstəvi götürüb onunla yan səthin bir hissəsini kəsirik. Bu əməliyyat yuxarıda göstərilən beşbucaqlı piramida ilə edilərsə, aşağıdakı şəkildəki kimi bir rəqəm əldə edəcəksiniz.

Şəkildən görünür ki, bu piramidanın artıq iki əsası var və yuxarısı aşağıya bənzəyir, lakin ölçüləri daha kiçikdir. Yan səth artıq üçbucaqlarla deyil, trapezoidlərlə təmsil olunur. Onlar isosceles və onların sayı əsas tərəflərinin sayına uyğundur. Kəsilmiş fiqurun adi piramida kimi əsas təpəsi yoxdur və onun hündürlüyü paralel əsaslar arasındakı məsafə ilə müəyyən edilir.

Ümumi halda, əgər nəzərdən keçirilən fiqur n-bucaqlı əsaslarla yaradılmışdırsa, onun n+2 üzü və ya tərəfi, 2n təpəsi və 3n kənarı var. Yəni, kəsilmiş piramida çoxüzlüdür.

Kəsilmiş piramidanın həcmi üçün formula

Xatırladaq ki, adi piramidanın həcmi onun hündürlüyü və əsas sahəsinin hasilinin 1/3 hissəsidir. Bu düstur kəsilmiş piramida üçün uyğun deyil, çünki onun iki əsası var. Və onun həcmihəmişə əldə edildiyi adi rəqəm üçün eyni dəyərdən kiçik olacaq.

İfadənin alınmasının riyazi təfərrüatlarına varmadan, kəsilmiş piramidanın həcminin yekun düsturunu təqdim edirik. Bu belə yazılır:

V=1/3saat(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Burada S₁ və S_{2 müvafiq olaraq aşağı və yuxarı əsasların sahələridir, h rəqəmin hündürlüyüdür. Yazılı ifadə yalnız düz müntəzəm kəsilmiş piramida üçün deyil, həm də bu sinifin istənilən fiqurları üçün etibarlıdır. Üstəlik, əsas çoxbucaqlıların növündən asılı olmayaraq. V üçün ifadənin istifadəsini məhdudlaşdıran yeganə şərt piramidanın əsaslarının bir-birinə paralel olması ehtiyacıdır.}

Bu düsturun xassələrini öyrənməklə bir neçə mühüm nəticə çıxarmaq olar. Beləliklə, yuxarı bazanın sahəsi sıfırdırsa, adi bir piramidanın V formuluna gəlirik. Əgər əsasların sahələri bir-birinə bərabərdirsə, o zaman prizmanın həcminin düsturunu alırıq.

Yan səth sahəsini necə təyin etmək olar?

Kəsilmiş piramidanın xüsusiyyətlərini bilmək təkcə onun həcmini hesablamaq deyil, həm də yanal səthin sahəsini necə təyin etməyi bilmək tələb edir.

Kəsilmiş piramida iki növ üzdən ibarətdir:

• isosceles trapezoids;
• poliqonal əsaslar.

Əgər əsaslarda düzgün çoxbucaqlı varsa, onda onun sahəsinin hesablanması böyük deyilçətinliklər. Bunu etmək üçün yalnız a tərəfinin uzunluğunu və onların n sayını bilmək lazımdır.

Yan səthə gəldikdə, onun sahəsinin hesablanması n trapesiyadan hər biri üçün bu dəyərin müəyyən edilməsini nəzərdə tutur. Əgər n-qonşu düzgündürsə, yanal səth sahəsi üçün formula belə olur:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Burada h_b fiqurun apotemi adlanan trapezoidin hündürlüyüdür. a₁ və a_{2kəmiyyətlər müntəzəm n-bucaqlı əsasların tərəflərinin uzunluqlarıdır.}

Hər adi n-bucaqlı kəsilmiş piramida üçün h_b apotema a₁ və a _{parametrləri vasitəsilə unikal şəkildə müəyyən edilə bilər. 2və formanın hündürlüyü h.}

Fiqurun həcmini və sahəsini hesablamaq tapşırığı

Adi üçbucaqlı kəsilmiş piramida verilmişdir. Məlumdur ki, onun hündürlüyü h 10 sm, bünövrələrinin kənarlarının uzunluqları isə 5 sm və 3 sm-dir. Kəsilmiş piramidanın həcmi və yan səthinin sahəsi nə qədərdir?

Əvvəlcə V dəyərini hesablayaq. Bunun üçün fiqurun əsaslarında yerləşən bərabərtərəfli üçbucaqların sahələrini tapın. Bizdə:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825sm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 sm²

Məlumatı V üçün düsturla əvəz edin, istədiyiniz həcmi əldə edirik:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 sm3

Yan səthi təyin etmək üçün bilməlisinizapotem uzunluğu h_{b. Piramidanın daxilindəki müvafiq düzbucaqlı üçbucağı nəzərə alaraq, onun bərabərliyini yaza bilərik:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 sm}

S_{bifadəsində apotemin dəyəri və üçbucaqlı əsasların tərəfləri əvəz olunur və cavabı alırıq:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2sm²

Beləliklə, problemin bütün suallarına cavab verdik: V ≈ 70,72 sm³, S_b ≈ 120,2 sm2^.