Bu nədir - konus? Tərif, xassələr, düsturlar və problemin həlli nümunəsi

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Konus fırlanmanın məkan fiqurlarından biridir, xüsusiyyətləri və xassələri stereometriya ilə öyrənilir. Bu yazıda biz bu rəqəmi müəyyən edəcəyik və konusun xətti parametrlərini onun səthinin sahəsi və həcmi ilə birləşdirən əsas düsturları nəzərdən keçirəcəyik.

Konus nədir?

Həndəsə nöqteyi-nəzərindən söhbət kosmosda müəyyən bir nöqtəni hamar düz əyrinin bütün nöqtələri ilə birləşdirən düz seqmentlər toplusundan əmələ gələn fəza fiqurundan gedir. Bu əyri dairə və ya ellips ola bilər. Aşağıdakı rəqəm konus göstərir.

Təqdim olunan rəqəmin həcmi yoxdur, çünki onun səthinin divarları sonsuz kiçik qalınlığa malikdir. Bununla belə, əgər o, maddə ilə doldurulursa və yuxarıdan əyri ilə deyil, düz bir fiqurla, məsələn, bir dairə ilə məhdudlaşırsa, onda biz ümumi olaraq konus adlanan möhkəm həcmli bir cisim alacağıq.

Konusun formasına həyatda tez-tez rast gəlmək olar. Belə ki, onun hərəkət iştirakçılarının diqqətini cəlb etmək üçün yolun kənarına qoyulmuş dondurma çubuqları və ya zolaqlı qara və narıncı yol konusları var.

Konusun elementləri və növləri

Konus çoxüzlü olmadığı üçün onu təşkil edən elementlərin sayı çoxüzlülər qədər deyil. Həndəsədə ümumi konus aşağıdakı elementlərdən ibarətdir:

• baza, məhdudlaşdırıcı əyrisi direktrix və ya generatrix adlanır;
• yönləndirici əyrinin təpəsini və nöqtələrini birləşdirən düz xətt seqmentlərinin (generatrislərin) bütün nöqtələrinin toplusu olan yanal səthin;
• təpə, generatrislərin kəsişmə nöqtəsi.

Qeyd edək ki, təpə təməlin müstəvisində yerləşməməlidir, çünki bu halda konus düz fiqura çevrilir.

Yuxarıdan əsasa perpendikulyar seqment çəksək, fiqurun hündürlüyünü alarıq. Əgər sonuncu əsas həndəsi mərkəzdə kəsişirsə, o, düz konusdur. Perpendikulyar təməlin həndəsi mərkəzi ilə üst-üstə düşmürsə, o zaman fiqur meylli olacaq.

Düz və əyri konuslar şəkildə göstərilmişdir. Burada konusun əsasının hündürlüyü və radiusu müvafiq olaraq h və r ilə işarələnir. Fiqurun yuxarı hissəsini və təməlin həndəsi mərkəzini birləşdirən xətt konusun oxudur. Şəkildən görünür ki, düz fiqur üçün hündürlük bu ox üzərində yerləşir, maili fiqur üçün isə hündürlük oxla bucaq əmələ gətirir. Konusun oxu a hərfi ilə göstərilir.

Dəyirmi əsaslı düz konus

Ola bilsin ki, bu konus nəzərdən keçirilən fiqurlar sinfindən ən çox yayılmışdır. Bir dairə və bir tərəfdən ibarətdirsəthlər. Onu həndəsi üsullarla əldə etmək çətin deyil. Bunu etmək üçün düz üçbucaq götürün və ayaqlardan biri ilə üst-üstə düşən bir ox ətrafında fırladın. Aydındır ki, bu ayaq fiqurun hündürlüyünə çevriləcək və üçbucağın ikinci ayağının uzunluğu konusun əsasının radiusunu təşkil edir. Aşağıdakı diaqram sözügedən fırlanma rəqəmini əldə etmək üçün təsvir edilmiş sxemi nümayiş etdirir.

Təsvir olunan üçbucaq başqa ayağın ətrafında fırlana bilər ki, bu da birincidən daha böyük baza radiusuna və daha aşağı hündürlüyə malik konus ilə nəticələnəcək.

Dəyirmi düz konusun bütün parametrlərini birmənalı müəyyən etmək üçün onun xətti xarakteristikalarından hər hansı ikisini bilmək lazımdır. Onların arasında radius r, hündürlüyü h və ya generatrixin uzunluğu g fərqlənir. Bütün bu kəmiyyətlər nəzərdən keçirilən düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarıdır, buna görə də onların əlaqəsi üçün Pifaqor teoremi etibarlıdır:

g²=r²+ h^2.

Səth sahəsi

Hər hansı üçölçülü fiqurun səthini tədqiq edərkən onun işlənməsini müstəvidə istifadə etmək rahatdır. Konus istisna deyil. Dəyirmi konus üçün inkişaf aşağıda göstərilmişdir.

Fiqurun açılmasının iki hissədən ibarət olduğunu görürük:

1. Konusun əsasını təşkil edən dairə.
2. Şəklin konusvari səthi olan dairənin sektoru.

Dairənin sahəsini tapmaq asandır və müvafiq düstur hər bir tələbəyə məlumdur. Dairəvi sektordan danışarkən qeyd edirik ki, buradiusu g (konusun generatrixinin uzunluğu) olan dairənin bir hissəsidir. Bu sektorun qövsünün uzunluğu bazanın çevrəsinə bərabərdir. Bu parametrlər onun sahəsini birmənalı şəkildə müəyyən etməyə imkan verir. Müvafiq düstur:

S=pir2+ pirg.

İfadədəki birinci və ikinci terminlər müvafiq olaraq əsasın konusu və sahənin yan səthidir.

Ggeneratorun uzunluğu məlum deyilsə, lakin rəqəmin hündürlüyü h verilmişdirsə, düstur aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Şəklin həcmi

Əgər düz piramida götürsək və onun əsasının kənarlarının sayını sonsuza qədər artırsaq, onda təməlin forması dairəyə meyl edəcək, piramidanın yan səthi isə konusvari səthə yaxınlaşacaq. Bu mülahizələr konus üçün oxşar dəyəri hesablayarkən piramidanın həcmi üçün düsturdan istifadə etməyə imkan verir. Konusun həcmini düsturla tapmaq olar:

V=1/3hS_o.

S_{o sahəsinə malik olan konusun əsasının nə olmasından asılı olmayaraq bu düstur həmişə doğrudur. Üstəlik, düstur əyri konusa da aiddir.}

Dəyirmi əsaslı düz fiqurun xüsusiyyətlərini öyrəndiyimiz üçün onun həcmini təyin etmək üçün aşağıdakı ifadədən istifadə edə bilərik:

V=1/3hpir2.

Düstur aydındır.

Səth sahəsi və həcmi tapmaq problemi

Radiusu 10 sm, generatrisin uzunluğu 20 olan konus verilsin. Baxın Bu forma üçün həcm və səth sahəsi müəyyən edilməlidir.

S sahəsini hesablamaq üçün yuxarıda yazılmış düsturdan dərhal istifadə edə bilərsiniz. Bizdə:

S=pir²+ pirg=942 sm^2.

Həcmi təyin etmək üçün rəqəmin h hündürlüyünü bilmək lazımdır. Konusun xətti parametrləri arasındakı əlaqədən istifadə edərək onu hesablayırıq. Alırıq:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 sm.}

İndi V üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83sm}3^.

Qeyd edin ki, dairəvi konusun həcmi onun yazıldığı silindrin üçdə birini təşkil edir.