Kvadrik tənliklər tez-tez riyaziyyat və fizikanın bir sıra problemlərində görünür, ona görə də hər bir şagird onları həll etməyi bacarmalıdır. Bu məqalə kvadrat tənliklərin həlli üçün əsas üsulları təfərrüatlandırır və həmçinin onlardan istifadə nümunələri təqdim edir.
Hansı tənlik kvadrat adlanır
Hər şeydən əvvəl məqalənin nədən bəhs edəcəyini daha yaxşı başa düşmək üçün bu paraqrafın sualına cavab verəcəyik. Deməli, kvadrat tənliyin aşağıdakı ümumi forması var: c + bx+ax2=0, burada a, b, c bəzi ədədlərdir, bunlara əmsallar deyilir. Burada a≠0 məcburi şərtdir, əks halda göstərilən tənlik xətti tənliyə çevrilir. Qalan əmsallar (b, c) sıfır daxil olmaqla, tamamilə istənilən qiymətləri qəbul edə bilər. Beləliklə, ax2=0 kimi ifadələr, burada b=0 və c=0 və ya c+ax2=0, burada b=0 və ya bx+ax2=0, burada c=0 həm də kvadratik tənliklərdir, onlar natamam adlanır, çünki onlarda ya xətti b əmsalı sıfır və ya sıfırdır.sərbəst c terminidir və ya hər ikisi yox olur.
A=1 azaldılmış adlanan tənlik, yəni formaya malikdir: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Kvadrat tənliyin həlli onun bərabərliyini təmin edən x qiymətini tapmaqdır. Bu dəyərlərə köklər deyilir. Baxılan tənlik ikinci dərəcəli ifadə olduğundan, bu o deməkdir ki, onun köklərinin maksimum sayı ikidən çox ola bilməz.
Kvadrat tənliklərin həlli üçün hansı üsullar mövcuddur
Ümumiyyətlə, 4 həll üsulu var. Onların adları aşağıda verilmişdir:
- Faktorinq.
- Meydana əlavə.
- Məlum düsturdan istifadə (diskriminant vasitəsilə).
- Həll üsulu həndəsidir.
Yuxarıdakı siyahıdan gördüyünüz kimi, ilk üç üsul cəbridir, ona görə də onlar funksiyanın qrafikini nəzərdə tutan sonuncudan daha tez-tez istifadə olunur.
Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənlikləri həll etməyin başqa yolu var. O, yuxarıdakı siyahıda 5-ci yerə daxil edilə bilər, lakin bu edilmir, çünki Vyeta teoremi 3-cü metodun sadə nəticəsidir.
Məqalənin sonrakı hissəsində adları çəkilən həll üsullarını daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik, həmçinin onların xüsusi tənliklərin köklərini tapmaq üçün istifadəsinə dair nümunələr verəcəyik.
Metod №1. Faktorinq
Kvadrat tənliklər riyaziyyatında bu üsul üçün gözəl biradı: faktorizasiya. Bu metodun mahiyyəti belədir: kvadrat tənliyi sıfıra bərabər olan iki üzvün (ifadəsinin) hasili kimi təqdim etmək lazımdır. Belə təqdimatdan sonra siz məhsulun xassəsindən istifadə edə bilərsiniz, o, yalnız bir və ya daha çox (bütün) üzvləri sıfır olduqda sıfıra bərabər olacaq.
İndi tənliyin köklərini tapmaq üçün yerinə yetirilməli olan xüsusi hərəkətlərin ardıcıllığını nəzərdən keçirin:
- Bütün üzvləri ifadənin bir hissəsinə (məsələn, sola) köçürün ki, onun digər hissəsində (sağda) yalnız 0 qalsın.
- Tənliyin bir hissəsindəki şərtlərin cəmini iki xətti tənliyin hasili kimi təqdim edin.
- Xətti ifadələrin hər birini sıfıra qoyun və onları həll edin.
Gördüyünüz kimi faktorlara ayırma alqoritmi kifayət qədər sadədir, lakin tələbələrin əksəriyyəti 2-ci bəndin icrası zamanı çətinlik çəkirlər, ona görə də biz bunu daha ətraflı izah edəcəyik.
Hansı 2 xətti ifadənin bir-birinə vurulduğu zaman istədiyiniz kvadrat tənliyi verəcəyini təxmin etmək üçün iki sadə qaydanı yadda saxlamaq lazımdır:
- İki xətti ifadənin xətti əmsalları bir-birinə vurulduqda kvadrat tənliyin birinci əmsalını, yəni a rəqəmini verməlidir.
- Xətti ifadələrin sərbəst şərtləri vurulduqda istənilən tənliyin c sayını verməlidir.
Amillərin bütün nömrələri seçildikdən sonra onlar vurulmalıdır və əgər onlar istədiyiniz tənliyi verirlərsə, onda 3-cü addıma keçin.yuxarıdakı alqoritmdən istifadə edin, əks halda siz çarpanları dəyişdirməlisiniz, lakin yuxarıdakı qaydalara həmişə əməl olunması üçün bunu etməlisiniz.
Faktorizasiya üsulu ilə həll nümunəsi
Kvadrat tənliyin həlli alqoritminin naməlum kökləri necə tərtib etmək və tapmaq olduğunu aydın şəkildə göstərək. İxtiyari ifadə verilsin, məsələn, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Məqalənin əvvəlki bəndində qeyd olunan 1-dən 3-ə qədər olan nöqtələrin ardıcıllığına riayət etməklə onun həllinə keçək.
Madde 1. Bütün şərtləri sol tərəfə köçürün və onları kvadrat tənlik üçün klassik ardıcıllıqla düzün. Aşağıdakı bərabərliyə sahibik: 2x+(-8)+x2=0.
Madde 2. Biz onu xətti tənliklərin hasilinə bölürük. a=1 və c=-8 olduğundan, məsələn, belə bir məhsulu (x-2)(x+4) seçəcəyik. O, yuxarıdakı paraqrafda qeyd olunan gözlənilən amilləri tapmaq qaydalarına cavab verir. Mötərizələri açsaq, alarıq: -8+2x+x2, yəni tənliyin sol tərəfindəki ifadəni tam olaraq alırıq. Bu o deməkdir ki, çarpanları düzgün təxmin etdik və biz alqoritmin 3-cü addımına keçə bilərik.
Madde 3. Hər bir amili sıfıra bərabərləşdirin, əldə edirik: x=-4 və x=2.
Nəticə ilə bağlı hər hansı şübhə varsa, tapılan kökləri orijinal tənliyə əvəz etməklə yoxlamaq tövsiyə olunur. Bu halda bizdə: 22+22-8=0 və 2(-4)+(-4)2 -8=0. Köklər düzgün tapıldı.
Beləliklə, faktorlara ayırma metodundan istifadə edərək, verilmiş tənliyin iki fərqli kökə malik olduğunu gördük.var: 2 və -4.
Metod №2. Tam kvadrat
ilə tamamlayın
Kvadrat tənliklərin cəbrində çarpan metodundan həmişə istifadə edilə bilməz, çünki kvadrat tənliyin əmsallarının kəsr qiymətləri olduqda alqoritmin 2-ci bəndinin icrasında çətinliklər yaranır.
Tam kvadrat metodu da öz növbəsində universaldır və istənilən növ kvadrat tənliklərə tətbiq oluna bilər. Onun mahiyyəti aşağıdakı əməliyyatları yerinə yetirməkdir:
- Tərkibində a və b əmsallarını ehtiva edən tənliyin şərtləri tənliyin bir hissəsinə, sərbəst c termini isə digər hissəsinə köçürülməlidir.
- Sonra, bərabərliyin hissələri (sağ və sol) a əmsalı ilə bölünməlidir, yəni tənliyi azaldılmış formada təqdim edin (a=1).
- Xətti tənliyin kvadratı kimi təqdim etmək üçün a və b əmsalları olan şərtləri cəmləyin. A \u003d 1 olduğundan, xətti tənliyin sərbəst müddətinə gəldikdə, xətti əmsal 1-ə bərabər olacaq, onda azaldılmış kvadrat tənliyin xətti əmsalının yarısına bərabər olmalıdır. Xətti ifadənin kvadratı tərtib edildikdən sonra kvadratı genişləndirməklə alınan sərbəst terminin yerləşdiyi bərabərliyin sağ tərəfinə müvafiq ədədi əlavə etmək lazımdır.
- "+" və "-" işarələri ilə kvadrat kök götürün və artıq alınmış xətti tənliyi həll edin.
Təsvir edilən alqoritm ilk baxışda kifayət qədər mürəkkəb görünə bilər, lakin praktikada faktorizasiya metodundan daha asandır.
Tam kvadrat tamamlayıcıdan istifadə etməklə həll nümunəsi
Əvvəlki paraqrafda təsvir edilən üsulla onun həllini öyrətmək üçün kvadrat tənliyə nümunə verək. -10 - 6x+5x2=0 kvadrat tənliyi verilsin. Yuxarıda təsvir olunan alqoritmə uyğun olaraq onu həll etməyə başlayırıq.
Madde 1. Kvadrat tənlikləri həll edərkən köçürmə metodundan istifadə edirik, alırıq: - 6x+5x2=10.
2-ci bənd. Bu tənliyin kiçildilmiş forması onun üzvlərinin hər birinin 5-ə bölünməsi yolu ilə alınır (hər iki hissə eyni ədədə bölünürsə və ya vurularsa, onda bərabərlik qorunmuş olar). Çevrilmələr nəticəsində əldə edirik: x2 - 6/5x=2.
Madde 3. Əmsalın yarısı - 6/5 -6/10=-3/5-ə bərabərdir, kvadratı tamamlamaq üçün bu rəqəmdən istifadə edin, əldə edirik: (-3/5+x) 2 . Biz onu genişləndiririk və kvadrat tənliyin ilkin formasını təmin etmək üçün bərabərliyin sol tərəfindən əldə edilən sərbəst şərti çıxmaq lazımdır ki, bu da onu sağ tərəfə əlavə etməyə bərabərdir. Nəticədə əldə edirik: (-3/5+x)2=59/25.
Madde 4. Müsbət və mənfi işarəli kvadrat kökü hesablayın və kökləri tapın: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Tapılan iki kök aşağıdakı dəyərlərə malikdir: x1=(√59+3)/5 və x1=(3-√59)/5.
Aparılan hesablamalar köklərlə əlaqəli olduğundan, səhv etmək ehtimalı yüksəkdir. Buna görə də x2 və x1 köklərinin düzgünlüyünü yoxlamaq tövsiyə olunur. Biz x1 üçün alırıq: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. İndi əvəz etx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Beləliklə, biz tənliyin tapılmış köklərinin doğru olduğunu göstərdik.
Metod №3. Məşhur düsturun tətbiqi
Kvadrat tənliklərin həllinin bu üsulu bəlkə də ən sadəsidir, çünki o, əmsalları məlum düsturla əvəz etməkdən ibarətdir. Onu istifadə etmək üçün həll alqoritmlərini tərtib etmək barədə düşünmək lazım deyil, yalnız bir düsturu xatırlamaq kifayətdir. Yuxarıdakı şəkildə göstərilib.
Bu düsturda radikal ifadə (b2-4ac) diskriminant (D) adlanır. Onun dəyəri hansı köklərin əldə olunduğundan asılıdır. 3 hal var:
- D>0, onda iki kök tənliyin həqiqi və fərqli olanları var.
- D=0, sonra x=-b/(a2) ifadəsindən hesablana bilən kök alınır.
- D<0, onda siz iki fərqli xəyali kök alırsınız, onlar kompleks ədədlər kimi təmsil olunur. Məsələn, 3-5i rəqəmi mürəkkəbdir, xəyali vahid i isə xüsusiyyəti təmin edir: i2=-1.
Diskriminantın hesablanması ilə həll nümunəsi
Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək məşq etmək üçün kvadrat tənliyə nümunə verək. -3x2-6+3x+4x=0 üçün kökləri tapın. Əvvəlcə diskriminantın qiymətini hesablayın, alırıq: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
D<0 alındığından, baxılan tənliyin kökləri kompleks ədədlərdir. Tapılan D dəyərini əvvəlki bənddə verilmiş düsturla əvəz etməklə onları tapaq (yuxarıdakı fotoda da göstərilib). Alırıq: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metod №4. Funksiya Qrafikindən İstifadə
Ona kvadrat tənliklərin həlli üçün qrafik üsul da deyilir. Qeyd etmək lazımdır ki, o, bir qayda olaraq, kəmiyyət deyil, nəzərdən keçirilən tənliyin keyfiyyət təhlili üçün istifadə olunur.
Metodun mahiyyəti parabola olan y=f(x) kvadrat funksiyasının qrafikini çəkməkdir. Daha sonra parabolanın x oxunu (X) hansı nöqtələrdə kəsdiyini müəyyən etmək lazımdır, onlar müvafiq tənliyin kökləri olacaqlar.
Parabolanın X oxunu kəsib-kəsişməyəcəyini söyləmək üçün onun minimumunun (maksimumunun) mövqeyini və qollarının istiqamətini bilmək kifayətdir (onlar arta və ya azala bilər). Bu əyrinin iki xüsusiyyətini yadda saxlamaq lazımdır:
- Əgər a>0 - budağın parabolaları yuxarıya doğru yönəldilirsə, əksinə, a<0 olarsa, aşağı düşür.
- Parabolanın minimum (maksimum) koordinatı həmişə x=-b/(2a) olur.
Məsələn, tənliyin kökləri olub-olmadığını müəyyən etməlisiniz -4x+5x2+10=0. Müvafiq parabola yuxarıya yönəldiləcək, çünki a=5>0. Onun ekstremumunun koordinatları var: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. əyrinin minimumu x oxundan yuxarıda yerləşir (y=9, 2), onda o, heç bir zaman sonuncu ilə kəsişmir.x dəyərləri. Yəni verilmiş tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.
Vyeta teoremi
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu teorem diskriminantla düsturun tətbiqinə əsaslanan 3 saylı metodun nəticəsidir. Vyeta teoreminin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, o, tənliyin əmsallarını və onun köklərini bərabərliyə bağlamağa imkan verir. Gəlin uyğun bərabərlikləri əldə edək.
Kökləri diskriminant vasitəsilə hesablamaq üçün düsturdan istifadə edək. İki kök əlavə edin, əldə edirik: x1+x2=-b/a. İndi kökləri bir-birinə vuraq: x1x2, bir sıra sadələşdirmələrdən sonra c/a rəqəmini alırıq.
Beləliklə, kvadrat tənlikləri Vyeta teoremi ilə həll etmək üçün əldə edilmiş iki bərabərlikdən istifadə etmək olar. Əgər tənliyin hər üç əmsalı məlumdursa, onda kökləri bu iki tənliyin uyğun sistemini həll etməklə tapmaq olar.
Vyeta teoremindən istifadə nümunəsi
Kvadrat tənliyin x2+c=-bx formasına malik olduğunu və köklərinin 3 və -4 olduğunu bilirsinizsə, onu yazmalısınız.
Nəzərdən keçirilən tənlikdə a=1 olduğundan Vyeta düsturları belə görünəcək: x2+x1=-b və x2x1=səh. Köklərin məlum dəyərlərini əvəz edərək, alırıq: b=1 və c=-12. Nəticədə bərpa edilmiş kvadratik azaldılmış tənlik belə görünəcək: x2-12=-1x. Siz onun içindəki köklərin dəyərini əvəz edə və bərabərliyin təmin olunduğuna əmin ola bilərsiniz.
Vyeta teoreminin tərs tətbiqi, yəni köklərin hesablanmasıtənliyin məlum forması a, b və c kiçik tam ədədlərinə həlli tez (intuitiv olaraq) tapmağa imkan verir.
