Bəzi riyaziyyat problemləri kvadrat kökü hesablamaq bacarığını tələb edir. Bu məsələlərə ikinci dərəcəli tənliklərin həlli daxildir. Bu yazıda biz kvadrat köklərin hesablanması üçün effektiv üsul təqdim edirik və ondan kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlarla işləyərkən istifadə edirik.
Kvadratkök nədir?
Riyaziyyatda bu anlayış √ simvoluna uyğun gəlir. Tarixi məlumatlar onun ilk dəfə təxminən 16-cı əsrin birinci yarısında Almaniyada istifadə olunmağa başladığını bildirir (Cəbrə dair ilk alman əsəri Kristof Rudolf). Alimlər bu simvolun dəyişdirilmiş Latın hərfi r olduğuna inanırlar (radix latınca "kök" deməkdir).
İstənilən ədədin kökü kvadratı kök ifadəsinə uyğun gələn belə qiymətə bərabərdir. Riyaziyyatın dilində bu tərif belə görünəcək: √x=y əgər y2=x.
Müsbət ədədin (x > 0) kökü dəmüsbət ədəd (y > 0), lakin kök mənfi ədəddən götürülübsə (x < 0), onda onun nəticəsi i xəyali vahidi də daxil olmaqla artıq kompleks ədəd olacaq.
Budur iki sadə nümunə:
√9=3, çünki 32 =9; √(-9)=3i, çünki i2=-1.
Kvadrat kökləri tapmaq üçün Heronun iterativ düsturu
Yuxarıdakı misallar çox sadədir və onlarda kökləri hesablamaq çətin deyil. Təbii ədədin kvadratı kimi təqdim edilə bilməyən hər hansı bir dəyərin kök dəyərlərini tapmaqda çətinliklər artıq görünməyə başlayır, məsələn, √10, √11, √12, √13, praktikada bu faktı qeyd etməmək lazımdır. tam olmayan ədədlər üçün kök tapmaq lazımdır: məsələn √(12, 15), √(8, 5) və s.
Yuxarıda göstərilən bütün hallarda kvadrat kökün hesablanması üçün xüsusi üsuldan istifadə edilməlidir. Hal-hazırda bir neçə belə üsul məlumdur: məsələn, Taylor seriyasında genişlənmə, sütuna bölmə və bəziləri. Bütün məlum üsullardan bəlkə də ən sadəsi və ən təsirlisi Heronun iterativ düsturunun istifadəsidir ki, bu da kvadrat kökləri təyin etmək üçün Babil metodu kimi də tanınır (qədim babillilərin praktiki hesablamalarında ondan istifadə etdiklərinə dair sübutlar var).
√x-in qiymətini təyin etmək lazım olsun. Kvadrat kökü tapmaq üçün formula aşağıdakı kimidir:
an+1=1/2(a+x/a), burada limn->∞(a)=> x.
Bu riyazi qeydi deşifrə edin. √x hesablamaq üçün bəzi a0 götürməlisiniz (ixtiyari ola bilər, lakin sürətli nəticə üçün onu elə seçməlisiniz ki (a0)) 2 mümkün qədər x-ə yaxın idi, sonra onu göstərilən kvadrat kök düsturuna əvəz edin və yeni a1 alın, bu artıq olacaq istədiyiniz dəyərə yaxın olun.ifadədə 1 əvəz etmək və 2 almaq lazımdır. Bu prosedur tələb olunan dəqiqlik əldə olunana qədər təkrarlanmalıdır..
Heronun iterativ düsturunun tətbiqi nümunəsi
Hər hansı bir ədədin kvadrat kökünü əldə etmək üçün yuxarıda təsvir edilən alqoritm çoxları üçün olduqca mürəkkəb və çaşdırıcı görünə bilər, lakin əslində hər şey daha sadə görünür, çünki bu düstur çox tez birləşir (xüsusilə də şanslı nömrə olduqda) a0 seçilir.
Sadə bir misal götürək: √11 hesablamalıyıq. 0=3 seçirik, çünki 32=9, 42 ilə müqayisədə 11-ə yaxındır=16. Düsturu əvəz etməklə əldə edirik:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Hesablamaları davam etdirməyin mənası yoxdur, çünki a2 və a3 yalnız 5-ci onluqda fərqlənməyə başladığını əldə etdik. yer. Beləliklə, formulun yalnız 2 qatını tətbiq etmək kifayət idi0,0001 daxilində √11 hesablayın.
Hazırda kökləri hesablamaq üçün kalkulyatorlar və kompüterlər geniş istifadə olunur, lakin onların dəqiq dəyərini əl ilə hesablaya bilmək üçün işarələnmiş düsturları yadda saxlamaq faydalıdır.
İkinci dərəcəli tənliklər
Kvadrat kökün nə olduğunu başa düşmək və onu hesablamaq bacarığı kvadrat tənliklərin həlli zamanı istifadə olunur. Bu tənliklər bir naməlum olan bərabərliklərdir, ümumi forması aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.
Burada c, b və a bəzi ədədlərdir və a sıfıra bərabər olmamalıdır və c və b qiymətləri sıfır daxil olmaqla tamamilə ixtiyari ola bilər.
Şəkildə göstərilən bərabərliyi təmin edən hər hansı x qiymətləri onun kökləri adlanır (bu anlayışı kvadrat kök √ ilə qarışdırmaq olmaz). Baxılan tənlik 2-ci sıraya malik olduğundan (x2), onda onun kökləri üçün iki ədəddən çox ola bilməz. Gəlin məqalənin sonrakı hissəsində bu kökləri necə tapacağına baxaq.
Kvadrat tənliyin köklərinin tapılması (düstur)
Bu baxılan bərabərlik növünün həlli üsuluna universal və ya diskriminant vasitəsilə üsul da deyilir. İstənilən kvadrat tənliklərə tətbiq oluna bilər. Kvadrat tənliyin diskriminantı və kökləri üçün düstur aşağıdakı kimidir:
Bu, köklərin tənliyin üç əmsalının hər birinin qiymətindən asılı olduğunu göstərir. Üstəlik, hesablamax1 hesablamadan x2 yalnız kvadrat kökdən əvvəl işarə ilə fərqlənir. b2 - 4ac-a bərabər olan radikal ifadə nəzərdən keçirilən bərabərliyin diskriminantından başqa bir şey deyil. Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdakı diskriminant həllərin sayını və növünü təyin etdiyi üçün mühüm rol oynayır. Beləliklə, əgər sıfırdırsa, onda yalnız bir həll olacaq, əgər müsbətdirsə, onda tənliyin iki həqiqi kökü var, nəhayət, mənfi diskriminant iki mürəkkəb kökə gətirib çıxarır x1 və x 2.
Vyeta teoremi və ya ikinci dərəcəli tənliklərin köklərinin bəzi xassələri
XVI əsrin sonunda müasir cəbrin banilərindən biri, ikinci dərəcəli tənlikləri tədqiq edən fransız Fransua Viet onun köklərinin xassələrini əldə edə bildi. Riyazi olaraq bunları belə yazmaq olar:
x1 + x2=-b / a və x1 x 2=c / a.
Hər iki bərabərliyi hər kəs asanlıqla əldə edə bilər, bunun üçün yalnız diskriminantla düstur vasitəsilə alınan köklərlə uyğun riyazi əməliyyatları yerinə yetirmək lazımdır.
Bu iki ifadənin birləşməsini haqlı olaraq kvadrat tənliyin köklərinin ikinci düsturu adlandırmaq olar ki, bu da diskriminantdan istifadə etmədən onun həllini təxmin etməyə imkan verir. Burada qeyd etmək lazımdır ki, hər iki ifadə həmişə etibarlı olsa da, tənliyi həll etmək üçün onlardan yalnız faktorlara bölünə bildiyi halda istifadə etmək rahatdır.
Alınan bilikləri möhkəmləndirmək tapşırığı
Məqalədə müzakirə olunan bütün texnikaları nümayiş etdirəcəyimiz riyazi problemi həll edək. Problemin şərtləri belədir: hasilinin -13, cəminin isə 4 olduğu iki ədəd tapmaq lazımdır.
Bu şərt dərhal Vyeta teoremini xatırladır, kvadrat köklərin cəmi və onların məhsulu üçün düsturları tətbiq edərək yazırıq:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Fərz etsək a=1, onda b=-4 və c=-13. Bu əmsallar bizə ikinci dərəcəli tənliyi yazmağa imkan verir:
x2 - 4x - 13=0.
Düsturdan diskriminantla istifadə edin, aşağıdakı kökləri əldə edirik:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Yəni tapşırıq √68 rəqəminin tapılmasına endirildi. Qeyd edək ki, 68=417, sonra kvadrat kök xüsusiyyətindən istifadə edərək, əldə edirik: √68=2√17.
İndi nəzərdən keçirilən kvadrat kök düsturundan istifadə edək: a0=4, sonra:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
A3 hesablamağa ehtiyac yoxdur, çünki tapılan dəyərlər yalnız 0,02 ilə fərqlənir. Beləliklə, √68=8,246. Onu x düsturunda əvəz etməklə 1, 2, əldə edirik:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 və x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Gördüyünüz kimi, tapılan ədədlərin cəmi həqiqətən 4-dür, lakin onların hasilini tapsanız, -12-yə bərabər olacaq,999, problemin şərtini 0,001 dəqiqliklə təmin edir.
