Planimetriya müstəvi fiqurların xassələrini öyrənən həndəsə sahəsidir. Bunlara təkcə tanınmış üçbucaqlar, kvadratlar, düzbucaqlılar deyil, həm də düz xətlər və bucaqlar daxildir. Planimetriyada dairədəki bucaqlar kimi anlayışlar da var: mərkəzi və yazılı. Bəs onlar nə deməkdir?
Mərkəzi bucaq nədir?
Mərkəzi bucağın nə olduğunu başa düşmək üçün dairəni təyin etməlisiniz. Dairə verilmiş nöqtədən (dairənin mərkəzindən) bərabər məsafədə olan bütün nöqtələrin toplusudur.
Onu dairədən ayırmaq çox vacibdir. Yadda saxlamaq lazımdır ki, dairə qapalı xəttdir, dairə isə onunla məhdudlaşan müstəvinin bir hissəsidir. Çoxbucaqlı və ya bucaq dairəyə daxil edilə bilər.
Mərkəzi bucaq təpəsi dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşən və tərəfləri dairəni iki nöqtədə kəsən bucaqdır. Bucağın kəsişmə nöqtələri ilə məhdudlaşdırdığı qövsə verilmiş bucağın dayandığı qövs deyilir.
1 saylı nümunəni nəzərdən keçirin.
Şəkildə AOB bucağı mərkəzidir, çünki bucağın təpəsi və çevrənin mərkəzi bir O nöqtəsidir. O, C nöqtəsi olmayan AB qövsünə söykənir.
Yazılı bucaq mərkəzi olandan nə ilə fərqlənir?
Lakin mərkəzi olanlarla yanaşı, yazısı olan bucaqlar da var. Onların fərqi nədir? Mərkəzi olan kimi, dairəyə yazılmış bucaq müəyyən bir qövsə əsaslanır. Lakin onun təpəsi dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşmür, onun üzərində yerləşir.
Aşağıdakı nümunəni götürək.
ACB bucağı mərkəzi O nöqtəsində olan çevrəyə yazılmış bucaq adlanır. C nöqtəsi çevrəyə aiddir, yəni onun üzərində yerləşir. Bucaq AB qövsünə əsaslanır.
Mərkəzi bucaq nədir
Həndəsədəki problemlərin öhdəsindən uğurla gəlmək üçün yazılı və mərkəzi bucaqları ayırd edə bilmək kifayət deyil. Bir qayda olaraq, onları həll etmək üçün dairədə mərkəzi bucağı necə tapmağı dəqiq bilməli və onun qiymətini dərəcələrlə hesablamağı bacarmalısan.
Beləliklə, mərkəzi bucaq üzərində dayandığı qövsün dərəcə ölçüsünə bərabərdir.
Şəkildə AOB bucağı 66°-yə bərabər olan AB qövsü üzərində dayanır. Beləliklə, AOB bucağı da 66°-ə bərabərdir.
Beləliklə, bərabər qövslərə əsaslanan mərkəzi bucaqlar bərabərdir.
Şəkildə DC qövsü AB qövsünə bərabərdir. Beləliklə, AOB bucağı DOC bucağına bərabərdir.
Yazılmış bucağı necə tapmaq olar
Deyəsən dairəyə yazılmış bucaq mərkəzi bucağa bərabərdir,eyni qövsə əsaslanır. Bununla belə, bu, kobud səhvdir. Əslində, hətta rəsmə baxaraq və bu bucaqları bir-biri ilə müqayisə etdikdə, onların dərəcə ölçülərinin fərqli dəyərlərə sahib olacağını görə bilərsiniz. Beləliklə, dairəyə yazılmış bucaq nədir?
Çatılmış bucağın dərəcə ölçüsü onun dayandığı qövsün yarısıdır və ya eyni qövsə əsaslanırsa mərkəzi bucağın yarısıdır.
Gəlin bir nümunə nəzərdən keçirək. ACB bucağı 66°-ə bərabər qövsə əsaslanır.
Deməli DİA bucağı=66°: 2=33°
Bu teoremin bəzi nəticələrini nəzərdən keçirək.
- Yazılmış bucaqlar, əgər onlar eyni qövs, akkord və ya bərabər qövslərə əsaslanırsa, bərabərdir.
- Çatılmış bucaqlar eyni akkorda əsaslanırsa, lakin onların təpələri onun əks tərəflərində yerləşirsə, belə bucaqların dərəcə ölçülərinin cəmi 180°-dir, çünki bu halda hər iki bucaq qövslərə əsaslanır, ümumi dərəcə ölçüsü 360 ° (bütün dairə), 360 °: 2=180°
- Çatılmış bucaq verilmiş çevrənin diametrinə əsaslanırsa, onun dərəcə ölçüsü 90°-dir, çünki diametr 180°, 180°-ə bərabər bir qövsə uyğundur: 2=90°
- Əgər çevrədəki mərkəzi və yazılı bucaqlar eyni qövs və ya akkorda əsaslanırsa, o zaman yazılan bucaq mərkəzinin yarısına bərabərdir.
Bu mövzu ilə bağlı problemləri harada tapmaq olar? Onların növləri və həlli
Dairə və onun xassələri həndəsənin, xüsusən planimetriyanın ən mühüm bölmələrindən biri olduğundan, çevrədəki yazılı və mərkəzi bucaqlar geniş və təfərrüatlı bir mövzudur.məktəb kurikulumunda oxuyub. Onların xassələrinə həsr olunmuş tapşırıqlar əsas dövlət imtahanında (OGE) və vahid dövlət imtahanında (USE) tapılır. Bir qayda olaraq, bu məsələləri həll etmək üçün dairənin üzərindəki bucaqları dərəcələrlə tapmalısınız.
Eyni qövsə əsaslanan bucaqlar
Bu tip problem bəlkə də ən asanlardan biridir, çünki onu həll etmək üçün yalnız iki sadə xassəni bilmək lazımdır: əgər hər iki bucaq eyni akkorda yazılıbsa, onlar bərabərdir, əgər onlardan biri mərkəzi, onda müvafiq yazılmış bucaq onun yarısına bərabərdir. Lakin onları həll edərkən son dərəcə diqqətli olmaq lazımdır: bəzən bu xassəni görmək çətindir və tələbələr belə sadə məsələləri həll edərkən dalana dirənirlər. Məsələni nəzərdən keçirək.
Problem 1
O nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş çevrə verilmişdir. AOB bucağı 54°-dir. DIA bucağının dərəcə ölçüsünü tapın.
Bu tapşırıq bir addımda həll olunur. Bunun cavabını tez tapmaq üçün sizə lazım olan yeganə şey, hər iki küncün dayandığı qövsün ümumi olduğuna diqqət yetirməkdir. Bunu görərək, artıq tanış olan əmlakı tətbiq edə bilərsiniz. ACB bucağı AOB bucağının yarısıdır. Beləliklə
1) AOB=54°: 2=27°.
Cavab: 54°.
Eyni dairənin müxtəlif qövslərinə əsaslanan bucaqlar
Bəzən tələb olunan bucağın dayandığı qövsün ölçüsü məsələnin şərtlərində birbaşa göstərilmir. Onu hesablamaq üçün bu bucaqların böyüklüyünü təhlil etməli və onları dairənin məlum xassələri ilə müqayisə etməlisiniz.
Problem 2
Mərkəzi O olan dairədə, AOC bucağı120°, AOB bucağı isə 30°-dir. SİZİN küncünü tapın.
Başlamaq üçün onu deməyə dəyər ki, bu problemi ikitərəfli üçbucaqların xassələrindən istifadə etməklə həll etmək mümkündür, lakin bunun üçün daha çox riyazi əməliyyatlar tələb olunacaq. Buna görə də, biz burada mərkəzi və çevrədəki bucaqların xassələrindən istifadə edərək həlli təhlil edəcəyik.
Beləliklə, AOC bucağı AC qövsünə söykənir və mərkəzidir, yəni AC qövsü AOC bucağına bərabərdir.
AC=120°
Eyni şəkildə, AOB bucağı AB qövsünə əsaslanır.
AB=30°.
Bunu və bütün çevrənin dərəcə ölçüsünü (360°) bilməklə siz BC qövsünün böyüklüyünü asanlıqla tapa bilərsiniz.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
CAB bucağının təpəsi, A nöqtəsi dairənin üzərində yerləşir. Beləliklə, CAB bucağı yazılmışdır və CB qövsünün yarısına bərabərdir.
CAB bucağı=210°: 2=110°
Cavab: 110°
Qövs nisbətlərinə əsaslanan problemlər
Bəzi məsələlərdə ümumiyyətlə bucaqlar haqqında məlumat yoxdur, ona görə də onları yalnız çevrənin məlum teoremləri və xassələri əsasında axtarmaq lazımdır.
Problem 1
Verilmiş çevrənin radiusuna bərabər akkordla dəstəklənən çevrənin içinə yazılmış bucağı tapın.
Seqmentin uclarını dairənin mərkəzi ilə birləşdirən xətləri zehni olaraq çəksəniz, üçbucaq alırsınız. Onu araşdırdıqdan sonra görə bilərsiniz ki, bu xətlər dairənin radiuslarıdır, yəni üçbucağın bütün tərəfləri bərabərdir. Bilirik ki, bərabərtərəfli üçbucağın bütün bucaqları60°-yə bərabərdir. Deməli, üçbucağın təpəsini ehtiva edən AB qövsü 60°-ə bərabərdir. Buradan biz istədiyiniz bucağın əsaslandığı AB qövsünü tapırıq.
AB=360° - 60°=300°
ABC bucağı=300°: 2=150°
Cavab: 150°
Problem 2
O nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş dairədə qövslər 3:7 nisbətində əlaqələndirilir. Daha kiçik olan bucağı tapın.
Həlil üçün bir hissəni X kimi işarə edirik, onda bir qövs 3X-ə, ikincisi isə müvafiq olaraq 7X-ə bərabərdir. Çevrənin dərəcə ölçüsünün 360° olduğunu bilərək, tənlik yaza bilərik.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Şərtə uyğun olaraq daha kiçik bucaq tapmaq lazımdır. Aydındır ki, bucağın qiyməti onun dayandığı qövsə düz mütənasibdirsə, tələb olunan (kiçik) bucaq 3X-ə bərabər olan qövsə uyğundur.
Deməli, kiçik bucaq (36°3): 2=108°: 2=54°
Cavab: 54°
Problem 3
O nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş dairədə AOB bucağı 60°, kiçik qövsün uzunluğu isə 50-dir. Böyük qövsün uzunluğunu hesablayın.
Daha böyük qövsün uzunluğunu hesablamaq üçün mütənasiblik etməlisiniz - kiçik qövsün daha böyük qövslə necə əlaqəsi var. Bunun üçün hər iki qövsün böyüklüyünü dərəcələrlə hesablayırıq. Kiçik qövs onun üzərində dayanan bucağa bərabərdir. Onun dərəcə ölçüsü 60°-dir. Daha böyük qövs dairənin dərəcə ölçüsü (digər məlumatlardan asılı olmayaraq 360°-ə bərabərdir) ilə kiçik qövs arasındakı fərqə bərabərdir.
Böyük qövs 360° - 60°=300°-dir.
300°: 60°=5 olduğundan, böyük qövs kiçikdən 5 dəfə böyükdür.
Böyük qövs=505=250
Cavab: 250
Beləliklə, təbii ki, başqaları da varoxşar problemlərin həllinə yanaşmalar, lakin onların hamısı bir növ mərkəzi və yazılı bucaqların, üçbucaqların və dairələrin xüsusiyyətlərinə əsaslanır. Onları uğurla həll etmək üçün çertyojı diqqətlə öyrənmək və problemin məlumatları ilə müqayisə etmək, həmçinin nəzəri biliklərinizi praktikada tətbiq etməyi bacarmaq lazımdır.
