Dəyişənlər nədir? Riyaziyyatda dəyişən

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Riyaziyyatda dəyişənlərin əhəmiyyəti böyükdür, çünki onun mövcud olduğu müddətdə alimlər bu sahədə çoxlu kəşflər etməyə nail olmuşlar və bu və ya digər teoremi qısa və aydın şəkildə ifadə etmək üçün dəyişənlərdən istifadə edərək müvafiq düsturları yazırıq.. Məsələn, düzbucaqlı üçbucaq üzərində Pifaqor teoremi: a² =b² + c^{2. Problemi həll edərkən hər dəfə necə yazmaq olar: Pifaqor teoreminə görə hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir - bunu düsturla yazırıq və hər şey dərhal aydın olur.}

Beləliklə, bu məqalə dəyişənlərin nə olduğunu, onların növlərini və xüsusiyyətlərini müzakirə edəcək. Müxtəlif riyazi ifadələr də nəzərdən keçiriləcək: bərabərsizliklər, düsturlar, sistemlər və onların həlli üçün alqoritmlər.

Dəyişən anlayışı

İlk olaraq dəyişən nədir? Bu, bir çox dəyərləri qəbul edə bilən ədədi dəyərdir. Sabit ola bilməz, çünki müxtəlif məsələlərdə və tənliklərdə rahatlıq üçün həll yollarını belə qəbul edirikdəyişən müxtəlif ədədlər, yəni məsələn, z alındığı kəmiyyətlərin hər biri üçün ümumi təyinatdır. Adətən onlar latın və ya yunan əlifbasının hərfləri ilə işarələnirlər (x, y, a, b və s.).

Müxtəlif növ dəyişənlər var. Onlar həm bəzi fiziki kəmiyyətləri - yol (S), vaxt (t), həm də tənliklərdə, funksiyalarda və digər ifadələrdə sadəcə naməlum dəyərləri təyin edirlər.

Məsələn, belə bir düstur var: S=Vt. Burada dəyişənlər real dünya ilə əlaqəli müəyyən kəmiyyətləri - yol, sürət və vaxtı ifadə edir.

Və formanın bir tənliyi var: 3x - 16=12x. Burada x artıq bu qeyddə məna kəsb edən mücərrəd ədəd kimi götürülüb.

Kəmiyyət növləri

Məbləğ müəyyən obyektin, maddənin və ya hadisənin xassələrini ifadə edən bir şey deməkdir. Məsələn, havanın temperaturu, heyvanın çəkisi, tabletdəki vitaminlərin faizi - bunların hamısı ədədi dəyərləri hesablana bilən kəmiyyətlərdir.

Hər kəmiyyətin öz ölçü vahidləri var və onlar birlikdə bir sistem təşkil edir. Buna say sistemi (SI) deyilir.

Dəyişənlər və sabitlər nədir? Onları konkret misallarla nəzərdən keçirin.

Gəlin düzxətli vahid hərəkət götürək. Kosmosda bir nöqtə hər dəfə eyni sürətlə hərəkət edir. Yəni zaman və məsafə dəyişir, lakin sürət eyni qalır. Bu nümunədə vaxt və məsafə dəyişəndir, sürət isə sabitdir.

Və ya, məsələn, “pi”. Bu, təkrarlanmadan davam edən irrasional rəqəmdirrəqəmlər ardıcıllığıdır və tam yazıla bilməz, ona görə də riyaziyyatda o, yalnız verilmiş sonsuz kəsrin qiymətini alan ümumi qəbul edilmiş simvolla ifadə edilir. Yəni, “pi” sabit dəyərdir.

Tarix

Dəyişənlərin qeydinin tarixi XVII əsrdə alim Rene Dekartla başlayır.

O, məlum dəyərləri əlifbanın ilk hərfləri ilə təyin etdi: a, b və s., naməlumlar üçün isə son hərflərdən istifadə etməyi təklif etdi: x, y, z. Maraqlıdır ki, Dekart belə dəyişənləri qeyri-mənfi ədədlər hesab edirdi və mənfi parametrlərlə qarşılaşdıqda dəyişənin qarşısına mənfi işarəsi və ya ədədin hansı işarəsi olduğu məlum deyilsə, ellips işarəsi qoyur. Lakin zaman keçdikcə dəyişənlərin adları istənilən işarənin rəqəmlərini ifadə etməyə başladı və bu, riyaziyyatçı İohan Hudde ilə başladı.

Dəyişənlərlə riyaziyyatda hesablamaları həll etmək daha asandır, çünki, məsələn, biz indi bikvadrat tənlikləri necə həll edirik? Dəyişən daxil edirik. Məsələn:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 üçün bir az k alırıq və tənlik aydın olur:

x2=k, k ≧ 0 üçün

k2 + 15k + 7=0

Dəyişənlərin tətbiqi riyaziyyata bunu gətirir.

Bərabərsizliklər, həll nümunələri

Bərabərsizlik iki riyazi ifadənin və ya iki ədədin müqayisə işarələri ilə bağlandığı qeyddir:, ≦, ≧. Onlar ciddidir və əlamətlərlə və ya qeyri-ciddi ≦, ≧ işarələri ilə göstərilir.

Bu işarələr ilk dəfə təqdim olunduTomas Harriot. Tomasın ölümündən sonra onun bu qeydləri olan kitabı nəşr olundu, riyaziyyatçılar onları bəyəndilər və zaman keçdikcə bunlar riyazi hesablamalarda geniş istifadə olundu.

Tək dəyişənli bərabərsizlikləri həll edərkən riayət edilməli bir neçə qayda var:

Ədədi bərabərsizliyin bir hissəsindən digərinə köçürərkən onun işarəsini əksinə dəyişin.
Bərabərsizliyin hissələri mənfi ədədə vurulduqda və ya bölündükdə onların işarələri tərsinə çevrilir.
Bərabərsizliyin hər iki tərəfini müsbət ədədə vursanız və ya bölsəniz, orijinala bərabər bərabərsizlik alırsınız.

Bərabərsizliyin həlli dəyişən üçün bütün etibarlı dəyərləri tapmaq deməkdir.

Tək dəyişən nümunəsi:

10x - 50 > 150

Biz onu normal xətti tənlik kimi həll edirik - dəyişəni olan şərtləri sola, dəyişənsiz - sağa keçiririk və oxşar şərtləri veririk:

10x > 200

Bərabərsizliyin hər iki tərəfini 10-a bölürük və alırıq:

x > 20

Aydınlıq üçün bir dəyişənli bərabərsizliyin həlli timsalında rəqəm xətti çəkin, üzərində deşilmiş 20 nöqtəsini qeyd edin, çünki bərabərsizlik ciddidir və bu rəqəm onun həllər çoxluğuna daxil deyil..

Bu bərabərsizliyin həlli intervaldır (20; +∞).

Qeyri-ciddi bərabərsizliyin həlli ciddi bərabərsizliyin həlli ilə eyni şəkildə həyata keçirilir:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Ancaq bir istisna var. x ≧ 5 formasının qeydi aşağıdakı kimi başa düşülməlidir: x beşdən böyük və ya ona bərabərdir, yənibeş rəqəmi bərabərsizliyin bütün həllər çoxluğuna daxildir, yəni cavabı yazarkən beş rəqəminin qarşısına kvadrat mötərizə qoyuruq.

x ∈ [5; +∞)

Kvadrat bərabərsizliklər

ax2 + bx +c=0 formasının kvadratik tənliyini götürsək və bərabərlik işarəsini oradakı bərabərsizlik işarəsinə dəyişsək, onda müvafiq olaraq alarıq. kvadrat bərabərsizlik.

Kvadrat bərabərsizliyi həll etmək üçün kvadrat tənlikləri həll etməyi bacarmalısınız.

y=ax2 + bx + c kvadratik funksiyadır. Bunu diskriminantdan və ya Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edə bilərik. Bu tənliklərin necə həll edildiyini xatırlayın:

1) y=x2 + 12x + 11 - funksiya paraboladır. "a" əmsalının işarəsi müsbət olduğundan onun budaqları yuxarıya doğru yönəldilmişdir.

2) x2 + 12x + 11=0 - sıfıra bərabərləşdirin və diskriminantdan istifadə edərək həll edin.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 kök

Kvadrat tənliyin köklərinin düsturuna görə alırıq:

x₁ =-1, x_2=-11

Və ya Vyeta teoremindən istifadə edərək bu tənliyi həll edə bilərsiniz:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Seçim metodundan istifadə edərək tənliyin eyni köklərini əldə edirik.

Parabola

Deməli, kvadrat bərabərsizliyi həll etməyin ilk yolu paraboladır. Onun həlli alqoritmi aşağıdakı kimidir:

1. Parabolanın budaqlarının hara yönəldildiyini müəyyən edin.

2. Funksiyanı sıfıra bərabərləşdirin və tənliyin köklərini tapın.

3. Biz ədəd xətti qururuq, üzərində kökləri qeyd edirik, parabola çəkirik və bərabərsizliyin işarəsindən asılı olaraq bizə lazım olan boşluğu tapırıq.

Bərabərsizliyi həll edin x2 + x - 12 > 0

Funksiya kimi yazın:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, yuxarı budaqlanır.

Sıfır ayarlayın.

2) x2 + x -12=0

Sonra, kvadrat tənlik kimi həll edirik və funksiyanın sıfırlarını tapırıq:

x₁ =3, x_2=-4

3) Üzərində 3 və -4 nöqtələri olan ədəd xətti çəkin. Parabola onlardan keçəcək, budaqlanacaq və bərabərsizliyin cavabı müsbət qiymətlər toplusu olacaq, yəni (-∞; -4), (3; +∞).

İnterval metodu

İkinci yol boşluq metodudur. Onun həlli alqoritmi:

1. Bərabərsizliyin sıfıra bərabər olduğu tənliyin köklərini tapın.

2. Onları nömrə xəttində qeyd edirik. Beləliklə, o, bir neçə intervala bölünür.

3. İstənilən intervalın işarəsini təyin edin.

4. Qalan intervallarda işarələri birdən sonra dəyişdirərək yerləşdiririk.

Bərabərsizliyi həll edin (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Bərabərsizlik sıfırları: 4, 5 və -7.

2) Onları rəqəm xəttinə çəkin.

3) Fasilələrin əlamətlərini təyin edin.

Cavab: (-∞; -7]; [4; 5].

Daha bir bərabərsizliyi həll edin: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Bərabərsizlik sıfırları: 0, 2, -2 və 1.

2. Onları rəqəm xəttində qeyd edin.

3. Aralıq işarələrini təyin edin.

Xətt intervallara bölünür - -2-dən 0-a, 0-dan 1-ə, 1-dən 2-yə qədər.

Birinci interval üzrə dəyəri götürün - (-1). Bərabərsizlikdə əvəz edin. Bu dəyərlə bərabərsizlik müsbət olur, yəni bu intervaldakı işarə +. olacaq

Bundan sonra, ilk boşluqdan başlayaraq, işarələri birdən sonra dəyişdirərək düzürük.

Bərabərsizlik sıfırdan böyükdür, yəni sətirdə müsbət qiymətlər toplusunu tapmaq lazımdır.

Cavab: (-2; 0), (1; 2).

Tənliklər sistemləri

İki dəyişəni olan tənliklər sistemi əyri mötərizə ilə birləşdirilən iki tənlikdir və bunun üçün ümumi həll tapmaq lazımdır.

Birinin ümumi həlli digərinin həllidirsə və ya hər ikisinin həlli yoxdursa, sistemlər ekvivalent ola bilər.

İki dəyişənli tənliklər sistemlərinin həllini öyrənəcəyik. Onları həll etməyin iki yolu var - əvəzetmə üsulu və ya cəbri üsul.

Cəbri üsul

Şəkildə göstərilən sistemi bu üsulla həll etmək üçün əvvəlcə onun hissələrindən birini belə bir ədədə vurmalısınız ki, sonra tənliyin hər iki hissəsindən bir dəyişəni qarşılıqlı ləğv edə biləsiniz. Burada üçə vururuq, sistemin altından bir xətt çəkirik və hissələrini əlavə edirik. Nəticə etibarı ilə x modulu ilə eyni, işarəsi isə əksinə olur və biz onları azaldırıq. Sonra, bir dəyişənli xətti tənlik alırıq və onu həll edirik.

Y-ni tapdıq, lakin bununla da dayana bilmərik, çünki hələ X-i tapmamışıq. Əvəz etməkY X-i geri götürməyin rahat olacağı hissəyə, məsələn:

-x + 5y=8, y=1 ilə

-x + 5=8

Nəticədə tənliyi həll edin və x tapın.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Sistemin həllində əsas məsələ cavabı düzgün yazmaqdır. Bir çox tələbə yazmaqda səhv edir:

Cavab: -3, 1.

Lakin bu yanlış girişdir. Axı, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, tənliklər sistemini həll edərkən biz onun hissələri üçün ümumi həll axtarırıq. Düzgün cavab belə olardı:

(-3; 1)