Düz fəzada öyrənilən mühüm həndəsi obyekt düz xəttdir. Üçölçülü fəzada düz xəttlə yanaşı, müstəvi də var. Hər iki obyekt istiqamət vektorlarından istifadə etməklə rahat şəkildə müəyyən edilir. Bu nədir, düz xəttin və müstəvinin tənliklərini təyin etmək üçün bu vektorlardan necə istifadə olunur? Bu və digər suallar məqalədə əhatə olunur.
Birbaşa xətt və onu necə təyin etmək olar
Hər bir şagirdin hansı həndəsi obyektdən danışdığı barədə yaxşı təsəvvürü var. Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən düz xətt nöqtələr toplusudur ki, onların ixtiyari qoşa əlaqəsi halında paralel vektorlar çoxluğuna səbəb olur. Xəttin bu tərifi onun üçün həm iki, həm də üç ölçüdə tənlik yazmaq üçün istifadə olunur.
Nəzərə alınan birölçülü obyekti təsvir etmək üçün aşağıdakı siyahıda sadalanan müxtəlif növ tənliklərdən istifadə olunur:
- ümumi görünüş;
- parametrik;
- vektor;
- kanonik və ya simmetrik;
- seqmentlərdə.
Bu növlərin hər biri digərlərinə nisbətən müəyyən üstünlüklərə malikdir. Məsələn, seqmentlərdəki tənlik düz xəttin koordinat oxlarına nisbətən davranışını öyrənərkən istifadə etmək üçün əlverişlidir, ümumi tənlik verilmiş düz xəttə perpendikulyar bir istiqamət taparkən, eləcə də onun bucağını hesablayarkən rahatdır. x oxu ilə kəsişmə (düz korpus üçün).
Bu məqalənin mövzusu düz xəttin yönləndirici vektoru ilə əlaqəli olduğundan, biz daha sonra yalnız bu vektorun əsas olduğu və açıq şəkildə əks olunduğu tənliyi, yəni vektor ifadəsini nəzərdən keçirəcəyik.
Vektor vasitəsilə düz xəttin təyin edilməsi
Fərz edək ki, koordinatları məlum olan v¯ vektorumuz var (a; b; c). Üç koordinat olduğu üçün vektor fəzada verilir. Onu düzbucaqlı koordinat sistemində necə təsvir etmək olar? Bu, çox sadə şəkildə edilir: üç oxun hər birində uzunluğu vektorun müvafiq koordinatına bərabər olan bir seqment qurulur. xy, yz və xz müstəvilərinə bərpa edilən üç perpendikulyarın kəsişmə nöqtəsi vektorun sonu olacaq. Onun başlanğıcı nöqtədir (0; 0; 0).
Bununla belə vektorun verilmiş mövqeyi tək deyil. Eynilə, mənşəyini fəzada ixtiyari bir nöqtəyə yerləşdirməklə v¯ çəkmək olar. Bu arqumentlər deyir ki, vektordan istifadə edərək müəyyən bir xətt təyin etmək mümkün deyil. O, sonsuz sayda paralel xətlərin ailəsini müəyyən edir.
İndiP(x0; y0; z0) boşluq nöqtəsini düzəldin. Və şərt qoyuruq: düz xətt P-dən keçməlidir. Bu halda v¯ vektorunda bu nöqtə də olmalıdır. Sonuncu fakt o deməkdir ki, P və v¯ istifadə edərək tək bir xətt müəyyən edilə bilər. Aşağıdakı tənlik kimi yazılacaq:
Q=P + λ × v¯
Burada Q xəttinə aid istənilən nöqtədir. Bu nöqtəni müvafiq parametr λ seçməklə əldə etmək olar. Yazılı tənliyə vektor tənliyi, v¯ isə düz xəttin istiqamət vektoru adlanır. Onu P-dən keçəcək şəkildə tənzimləməklə və uzunluğunu λ parametri ilə dəyişdirməklə Q-nın hər bir nöqtəsini düz xətt kimi alırıq.
Koordinat formasında tənlik aşağıdakı kimi yazılacaq:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Və açıq (parametrik) formada yaza bilərsiniz:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Yuxarıdakı ifadələrdə üçüncü koordinatı xaric etsək, müstəvidə düz xəttin vektor tənliklərini alarıq.
İstiqamət vektorunu bilmək hansı tapşırıqlar üçün faydalıdır?
Bir qayda olaraq, bunlar xətlərin paralelliyini və perpendikulyarlığını təyin etmək üçün tapşırıqlardır. Həmçinin, istiqaməti təyin edən birbaşa vektor düz xətlərlə nöqtə və düz xətt arasındakı məsafəni hesablayarkən, düz xəttin müstəviyə nisbətən davranışını təsvir etmək üçün istifadə olunur.
İkiistiqamət vektorları olarsa, xətlər paralel olacaqdır. Müvafiq olaraq, xətlərin perpendikulyarlığı vektorlarının perpendikulyarlığından istifadə etməklə isbat edilir. Bu tip məsələlərdə cavab almaq üçün nəzərdən keçirilən vektorların skalyar hasilini hesablamaq kifayətdir.
Xətlər və nöqtələr arasındakı məsafələrin hesablanması üçün tapşırıqlar olduqda, istiqamət vektoru açıq şəkildə müvafiq düstura daxil edilir. Gəlin bunu yazaq:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Burada P1P2¯ - P1 və P nöqtələrində qurulmuşdur 2 yönləndirilmiş seqment. P2 nöqtəsi ixtiyaridir, v¯ vektoru ilə xətt üzərində yerləşir, P1 nöqtəsi isə məsafənin keçməli olduğu nöqtədir. təyin olunsun. O, ya müstəqil ola bilər, ya da başqa xəttə və ya müstəviyə aid ola bilər.
Qeyd edək ki, xətlər arasındakı məsafəni yalnız paralel və ya kəsişən zaman hesablamaq məntiqlidir. Əgər onlar kəsişirsə, d sıfırdır.
Yuxarıda d üçün düstur müstəvi ilə ona paralel düz xətt arasındakı məsafənin hesablanması üçün də etibarlıdır, yalnız bu halda P1müstəviyə aid olmalıdır.
Baxılan vektordan necə istifadə olunacağını daha yaxşı göstərmək üçün bir neçə problemi həll edək.
Vektor Tənliyi Problemi
Məlumdur ki, düz xətti aşağıdakı tənliklə təsvir olunur:
y=3 × x - 4
Uyğun ifadəni yazmalısınızvektor forması.
Bu, hər bir məktəblinin bildiyi, ümumi formada yazılmış düz xəttin tipik tənliyidir. Gəlin onu vektor şəklində yenidən yazmağı göstərək.
İfadə belə göstərilə bilər:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Görünür ki, onu açsanız, ilkin bərabərliyi əldə edirsiniz. İndi onun sağ tərəfini iki vektora bölürük ki, onlardan yalnız birində x olsun, bizdə:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Mötərizədən x-i çıxarmaq, onu yunan simvolu ilə təyin etmək və sağ tərəfin vektorlarını dəyişmək qalır:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Biz orijinal ifadənin vektor formasını əldə etdik. Düz xəttin istiqamət vektor koordinatları (1; 3).
Xətlərin nisbi mövqeyini təyin etmək tapşırığı
Boşluqda iki sətir verilmişdir:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Onlar paraleldir, kəsişir və ya kəsişir?
Sıfırdan fərqli vektorlar (-1; 3; 1) və (1; 2; 0) bu xətlər üçün bələdçi olacaq. Bu tənlikləri parametrik formada ifadə edək və birincinin koordinatlarını ikinci ilə əvəz edək. Alırıq:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Tapılmış λ parametrini yuxarıdakı iki tənliyə əvəz etsək:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parametr γ eyni vaxtda iki fərqli dəyər qəbul edə bilməz. Bu o deməkdir ki, xətlərin vahid ümumi nöqtəsi yoxdur, yəni kəsişir. Sıfırdan fərqli vektorlar bir-birinə paralel olmadığı üçün onlar paralel deyillər (paralelliyi üçün bir vektora vurmaqla ikincinin koordinatlarını gətirəcək bir ədəd olmalıdır).
Təyyarənin riyazi təsviri
Kosmosda müstəvi qurmaq üçün ümumi tənlik veririk:
A × x + B × y + C × z + D=0
Burada Latın böyük hərfləri xüsusi rəqəmləri təmsil edir. Onlardan ilk üçü təyyarənin normal vektorunun koordinatlarını təyin edir. Əgər n¯ ilə işarələnirsə, onda:
n¯=(A; B; C)
Bu vektor təyyarəyə perpendikulyardır, ona görə də ona bələdçi deyilir. Onun biliyi, eləcə də müstəviyə aid istənilən nöqtənin məlum koordinatları sonuncunu unikal şəkildə müəyyən edir.
P(x1; y1; z1) nöqtəsi aşağıdakılara aiddirsə təyyarə, onda kəsişmə D aşağıdakı kimi hesablanır:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Təyyarə üçün ümumi tənlikdən istifadə edərək bir neçə məsələni həll edək.
Tapşırıqtəyyarənin normal vektorunun tapılması
Təyyarə aşağıdakı kimi müəyyən edilmişdir:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Onun üçün istiqamət vektorunu necə tapmaq olar?
Yuxarıdakı nəzəriyyədən belə çıxır ki, normal vektor n¯-nin koordinatları dəyişənlərin qarşısındakı əmsallardır. Bu baxımdan n¯-ni tapmaq üçün tənliyi ümumi formada yazmaq lazımdır. Bizdə:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Onda təyyarənin normal vektoru:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Müstəvi tənliyinin qurulması məsələsi
Üç nöqtənin koordinatları verilmişdir:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Bütün bu nöqtələri ehtiva edən təyyarənin tənliyi necə olacaq.
Eyni xəttə aid olmayan üç nöqtədən yalnız bir müstəvi çəkmək olar. Onun tənliyini tapmaq üçün əvvəlcə n¯ müstəvisinin istiqamət vektorunu hesablayırıq. Bunun üçün aşağıdakı kimi hərəkət edirik: müstəviyə aid ixtiyari iki vektor tapırıq və onların vektor məhsulunu hesablayırıq. Bu müstəviyə perpendikulyar olacaq vektor verəcək, yəni n¯. Bizdə:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Çəkmək üçün M1 nöqtəsini götürünmüstəvi ifadələr. Alırıq:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Biz kosmosdakı müstəvi üçün əvvəlcə onun istiqamət vektorunu təyin edərək ümumi tipli ifadə əldə etdik.
Təyyarələr ilə bağlı məsələləri həll edərkən çarpaz məhsul xassəsini yadda saxlamaq lazımdır, çünki o, normal vektorun koordinatlarını sadə şəkildə müəyyən etməyə imkan verir.
