Birbaşa üçbucaq prizması. Həcm və səth sahəsi üçün düsturlar. Həndəsi məsələnin həlli

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Orta məktəbdə müstəvidə fiqurların xassələrini öyrəndikdən sonra prizma, kürə, piramida, silindr və konus kimi fəza həndəsi cisimlərin nəzərdən keçirilməsinə keçirlər. Bu yazıda düz üçbucaqlı prizmanın ən dolğun təsvirini verəcəyik.

Üçbucaqlı prizma nədir?

Məqaləyə daha sonra danışılacaq rəqəmin tərifi ilə başlayaq. Həndəsə nöqteyi-nəzərindən prizma, paralel müstəvilərdə yerləşən, eyni bucaqları düz xətt seqmentləri ilə birləşdirilən iki eyni n-qonaqdan əmələ gələn fəzadakı fiqurdur. Bu seqmentlərə lateral qabırğalar deyilir. Baza tərəfləri ilə birlikdə onlar, ümumiyyətlə paraleloqramlarla təmsil olunan yan səth əmələ gətirirlər.

İki n-qonaq fiqurun əsasıdır. Yan kənarları onlara perpendikulyardırsa, düz prizmadan danışırlar. Müvafiq olaraq, çoxbucaqlının əsaslarındakı n tərəflərinin sayı üçdürsə, belə bir fiqur üçbucaqlı prizma adlanır.

Üçbucaqlı düz prizma yuxarıda şəkildə göstərilmişdir. Bu rəqəm həm də müntəzəm adlanır, çünki onun əsasları bərabərtərəfli üçbucaqlardır. Şəkildə h hərfi ilə göstərilən fiqurun yan kənarının uzunluğu onun hündürlüyü adlanır.

Şəkil göstərir ki, əsası üçbucaqlı olan prizmanın ikisi bərabərtərəfli üçbucaq, üçü isə eyni düzbucaqlı olmaqla beş üzdən əmələ gəlir. Üzlərə əlavə olaraq, prizmanın əsaslarda altı təpəsi və doqquz kənarı var. Nəzərə alınan elementlərin nömrələri bir-biri ilə Eyler teoremi ilə əlaqələndirilir:

kənarların sayı=təpələrin sayı + tərəflərin sayı - 2.

Düzbucaqlı üçbucaqlı prizmanın sahəsi

Yuxarıda öyrəndik ki, sözügedən fiqur iki növdən (iki üçbucaq, üç düzbucaqlı) beş üzdən əmələ gəlir. Bütün bu üzlər prizmanın tam səthini təşkil edir. Onların ümumi sahəsi rəqəmin sahəsidir. Aşağıda açılan üçbucaqlı prizma var, onu əvvəlcə şəkildən iki əsası kəsməklə, sonra bir kənarı kəsib yan səthi açmaqla əldə etmək olar.

Bu süpürgənin səth sahəsini təyin etmək üçün düsturlar verək. Düz üçbucaqlı prizmanın əsaslarından başlayaq. Üçbucaqları təmsil etdiyinə görə, hər birinin sahəsi S_{3 aşağıdakı kimi tapıla bilər:}

S₃=1/2ah_a.

Burada a üçbucağın tərəfi, h_{a üçbucağın təpəsindən bu tərəfə endirilən hündürlükdür.}

Üçbucaq bərabərtərəflidirsə (müntəzəm), onda S_{3 üçün düstur yalnız bir a parametrindən asılıdır. Belə görünür:}

S₃=√3/4a^2.

Bu ifadə a, a/2, h_{a seqmentlərinin yaratdığı düzbucaqlı üçbucağı nəzərə alaraq əldə edilə bilər.}

Nizamlı fiqur üçün S_o əsaslarının sahəsi S_{3 dəyərindən iki dəfədir:}

S_o=2S₃=√3/2a^2.

S_{b yanal səth sahəsinə gəlincə, onu hesablamaq çətin deyil. Bunu etmək üçün a və h tərəfləri ilə əmələ gələn bir düzbucağın sahəsini üçə vurmaq kifayətdir. Müvafiq düstur:}

S_b=3asa.

Beləliklə, üçbucaq əsaslı müntəzəm prizmanın sahəsi aşağıdakı düsturla tapılır:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Prizma düz, lakin nizamsızdırsa, onun sahəsini hesablamaq üçün bir-birinə bərabər olmayan düzbucaqlıların sahələrini ayrıca əlavə etməlisiniz.

Fiqurun həcminin təyini

Prizmanın həcmi onun tərəfləri (üzləri) ilə məhdudlaşan boşluq kimi başa düşülür. Düzgün üçbucaqlı prizmanın həcmini hesablamaq onun səthinin sahəsini hesablamaqdan daha asandır. Bunu etmək üçün bazanın sahəsini və rəqəmin hündürlüyünü bilmək kifayətdir. Düz bir fiqurun hündürlüyü h onun yan kənarının uzunluğu olduğundan və əsas sahəsini necə hesablamaq olar, biz əvvəlkinöqtə, sonra istədiyiniz həcmi əldə etmək üçün bu iki dəyəri bir-birinə vurmaq qalır. Bunun düsturu belə olur:

V=S_3h.

Qeyd edək ki, bir əsasın sahəsinin və hündürlüyün məhsulu təkcə düz prizmanın deyil, həm də əyri fiqurun və hətta silindrin həcmini verəcəkdir.

Problemin Həlli

Şüşə üçbucaqlı prizmalardan optikada dispersiya hadisəsi ilə əlaqədar elektromaqnit şüalanmasının spektrini öyrənmək üçün istifadə olunur. Məlumdur ki, adi şüşə prizmanın əsas tərəfinin uzunluğu 10 sm, kənarının uzunluğu isə 15 sm-dir. Onun şüşə üzlərinin sahəsi nə qədərdir və hansı həcmdən ibarətdir?

Sahəni təyin etmək üçün məqalədə yazılmış düsturdan istifadə edəcəyik. Bizdə:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 sm^2.

V həcmini müəyyən etmək üçün yuxarıdakı düsturdan da istifadə edirik:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 sm}3^.

Prizmanın kənarlarının 10 sm və 15 sm uzunluğunda olmasına baxmayaraq, fiqurun həcmi cəmi 0,65 litrdir (10 sm tərəfi olan kubun həcmi 1 litrdir).