Hətta məktəbdə bütün şagirdlər "Yevklid həndəsəsi" anlayışı ilə tanış olurlar, onun əsas müddəaları nöqtə, müstəvi, xətt, hərəkət kimi həndəsi elementlərə əsaslanan bir neçə aksioma ətrafında cəmlənir. Onların hamısı birlikdə "Evklid məkanı" termini altında çoxdan məlum olanı təşkil edir.
Tərifi vektorların skalyar vurulması konsepsiyasına əsaslanan Evklid fəzası bir sıra tələbləri ödəyən xətti (affin) fəzanın xüsusi halıdır. Birincisi, vektorların skalyar hasili mütləq simmetrikdir, yəni koordinatları (x;y) olan vektor kəmiyyətcə (y;x) koordinatlı vektorla eynidir, lakin istiqaməti əksinədir.
İkincisi, vektorun özü ilə skalyar hasili yerinə yetirilərsə, bu hərəkətin nəticəsi müsbət olacaqdır. Yeganə istisna bu vektorun ilkin və son koordinatlarının sıfıra bərabər olduğu hal olacaq: bu halda onun özü ilə hasilatı da sıfıra bərabər olacaq.
Üçüncüsü, skalyar hasil paylayıcıdır, yəni onun koordinatlarından birini iki qiymətin cəminə parçalamaq mümkündür ki, bu da vektorların skalyar çoxalmasının yekun nəticəsində heç bir dəyişikliyə səbəb olmayacaq. Nəhayət, dördüncü, vektorlar eyni real ədədə vurulduqda, onların skalyar hasilləri də eyni əmsal artacaq.
Bu dörd şərtin hamısı yerinə yetirilərsə, əminliklə deyə bilərik ki, bizdə Evklid fəzası var.
Evklid fəzasını praktiki baxımdan aşağıdakı konkret misallarla xarakterizə etmək olar:
- Ən sadə hal həndəsənin əsas qanunlarına uyğun olaraq müəyyən edilmiş skalyar hasilli vektorlar toplusunun olmasıdır.
- Vektorlar dedikdə onların skalyar cəmini və ya hasilini təsvir edən verilmiş düsturla müəyyən sonlu real ədədlər toplusunu nəzərdə tutsaq, Evklid fəzası da əldə ediləcək.
- Evklid fəzasının xüsusi halı hər iki vektorun skalyar uzunluğu sıfıra bərabər olduqda əldə edilən sıfır fəzadır.
Evklid fəzasının bir sıra spesifik xassələri var. Birincisi, skalyar amil skalyar hasilin həm birinci, həm də ikinci amilindən mötərizədən çıxarıla bilər, bundan nəticə heç bir şəkildə dəyişməyəcək. İkincisi, skalyarın birinci elementinin paylanması ilə yanaşıməhsul, ikinci elementin paylanması da təsir göstərir. Bundan əlavə, vektorların skalyar cəmindən əlavə, vektorların çıxılması zamanı paylanma da baş verir. Nəhayət, üçüncüsü, vektor skalyar olaraq sıfıra vurulduqda nəticə də sıfır olacaq.
Beləliklə, Evklid fəzası vektorların bir-birinə nisbətən qarşılıqlı düzülüşü ilə bağlı məsələlərin həllində istifadə olunan ən mühüm həndəsi anlayışdır ki, bu da skalyar hasil kimi anlayışla xarakterizə olunur.
