Kvadrat tənliyin xassələrini öyrənərkən məhdudiyyət qoyuldu - sıfırdan kiçik diskriminant üçün heç bir həll yolu yoxdur. Dərhal şərt qoyuldu ki, söhbət real ədədlər toplusundan gedir. Riyaziyyatçının maraqlanan zehni maraqlı olacaq - real dəyərlər haqqında bənddə olan sirr nədir?
Zaman keçdikcə riyaziyyatçılar kompleks ədədlər anlayışını təqdim etdilər, burada mənfi birin ikinci kökünün şərti dəyəri vahid kimi qəbul edilir.
Tarixi məlumat
Riyazi nəzəriyyə sadədən mürəkkəbə doğru ardıcıl olaraq inkişaf edir. Gəlin "mürəkkəb ədəd" adlanan anlayışın necə yarandığını və nə üçün lazım olduğunu anlayaq.
Qədim zamanlardan riyaziyyatın əsasını adi hesab təşkil edirdi. Tədqiqatçılar yalnız təbii dəyərlər toplusunu bilirdilər. Toplama və çıxma sadə idi. İqtisadi münasibətlər mürəkkəbləşdikcə eyni dəyərləri əlavə etmək əvəzinə vurma üsulundan istifadə olunmağa başlandı. Üçün tərs əməliyyat varvurma - bölmə.
Natural ədəd anlayışı arifmetik əməliyyatların istifadəsini məhdudlaşdırdı. Tam ədədlər çoxluğunda bütün bölmə məsələlərini həll etmək mümkün deyil. Kəsrlərlə işləmək əvvəlcə rasional dəyərlər anlayışına, sonra isə irrasional dəyərlərə gətirib çıxardı. Rasional üçün nöqtənin xətt üzərində dəqiq yerini göstərmək mümkündürsə, irrasional üçün belə bir nöqtəni göstərmək mümkün deyil. Siz yalnız intervalı təxmini edə bilərsiniz. Rasional və irrasional ədədlərin birliyi, verilmiş miqyaslı müəyyən bir xətt kimi göstərilə bilən həqiqi bir çoxluq meydana gətirdi. Xətt boyunca hər addım natural ədəddir və onların arasında rasional və irrasional dəyərlər var.
Nəzəri riyaziyyat erası başladı. Astronomiyanın, mexanikanın, fizikanın inkişafı getdikcə daha mürəkkəb tənliklərin həllini tələb edirdi. Ümumiyyətlə, kvadrat tənliyin kökləri tapıldı. Daha mürəkkəb bir kub polinomunu həll edərkən elm adamları bir ziddiyyətlə qarşılaşdılar. Mənfidən kub kökü anlayışı məna kəsb edir, lakin kvadrat kök üçün qeyri-müəyyənlik əldə edilir. Üstəlik, kvadrat tənlik yalnız kubun xüsusi halıdır.
1545-ci ildə italyan J. Cardano xəyali ədəd anlayışını təqdim etməyi təklif etdi.
Bu ədəd mənfi birin ikinci köküdür. Kompleks ədəd termini nəhayət, yalnız üç yüz ildən sonra məşhur riyaziyyatçı Qaussun əsərlərində formalaşmışdır. O, formal olaraq cəbrin bütün qanunlarını xəyali ədədə qədər genişləndirməyi təklif etdi. Əsl xətt uzadıldıtəyyarələr. Dünya daha böyükdür.
Əsas anlayışlar
Real dəstdə məhdudiyyətləri olan bir sıra funksiyaları xatırlayın:
- y=arcsin(x), mənfi və müsbət 1 arasında müəyyən edilmişdir.
- y=ln(x), ondalıq loqarifm müsbət arqumentlərlə məna kəsb edir.
- kvadrat kök y=√x, yalnız x ≧ 0 üçün hesablanıb.
i=√(-1) ifadə edərək, biz xəyali ədəd kimi bir anlayış təqdim edirik, bu, yuxarıda göstərilən funksiyaların təyini sahəsindən bütün məhdudiyyətləri aradan qaldıracaq. y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) kimi ifadələr bəzi mürəkkəb ədədlər fəzasında məna kəsb edir.
Cəbri forma real x və y qiymətləri çoxluğunda z=x + i×y ifadəsi kimi yazıla bilər və i2 =-1.
Yeni konsepsiya hər hansı cəbri funksiyanın istifadəsinə qoyulan bütün məhdudiyyətləri aradan qaldırır və real və xəyali dəyərlərin koordinatlarında düz xəttin qrafikini xatırladır.
Kompleks təyyarə
Kompleks ədədlərin həndəsi forması vizual olaraq onların bir çox xassələrini təmsil etməyə imkan verir. Re(z) oxunda real x dəyərlərini, Im(z) üzərində - y-nin xəyali qiymətlərini qeyd edirik, sonra müstəvidəki z nöqtəsi tələb olunan kompleks dəyəri göstərəcək.
Təriflər:
- Re(z) - real ox.
- Im(z) - xəyali ox deməkdir.
- z - kompleks ədədin şərti nöqtəsi.
- Vektorun sıfırdan z-ə qədər olan uzunluğunun ədədi qiyməti deyilir.modul.
- Real və xəyali b altalar təyyarəni dörddəbirlərə bölür. Koordinatların müsbət dəyəri ilə - I rüb. Həqiqi oxun arqumenti 0-dan az, xəyali oxu isə 0-dan böyük olduqda - II rüb. Koordinatlar mənfi olduqda - III rüb. Sonuncu, dördüncü rübdə çoxlu müsbət real dəyərlər və mənfi xəyali dəyərlər var.
Beləliklə, x və y koordinat qiymətləri olan müstəvidə hər zaman kompleks ədədin nöqtəsini vizuallaşdırmaq olar. i simvolu real hissəni xəyali hissədən ayırmaq üçün təqdim olunur.
Xüsusiyyətlər
- Xəyali arqumentin qiyməti sıfır olduqda, biz sadəcə olaraq həqiqi oxda yerləşən və real çoxluğa aid olan ədəd (z=x) alırıq.
- Həqiqi arqumentin dəyəri sıfır olduqda xüsusi hal, z=i×y ifadəsi xəyali oxda nöqtənin yerinə uyğun gəlir.
- z=x + i×y-nin ümumi forması arqumentlərin sıfırdan fərqli qiymətləri üçün olacaq. Kvartallardan birində kompleks ədədi xarakterizə edən nöqtənin yerini göstərir.
Triqonometrik notation
Qütb koordinat sistemini və sin və cos triqonometrik funksiyalarının tərifini xatırlayın. Aydındır ki, bu funksiyaların köməyi ilə müstəvidə istənilən nöqtənin yerini təsvir etmək mümkündür. Bunun üçün qütb şüasının uzunluğunu və real oxa meyl bucağını bilmək kifayətdir.
Tərif. triqonometrik funksiyaların cos(ϴ) və i ×sin(ϴ) xəyal hissəsinin cəminə vurulan ∣z ∣ formasının girişinə triqonometrik kompleks ədəd deyilir. Burada təyinat real oxa meyl bucağıdır
ϴ=arg(z) və r=∣z∣, şüa uzunluğu.
Triqonometrik funksiyaların tərifindən və xassələrindən çox vacib Moivre düsturu belədir:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Bu düsturdan istifadə edərək triqonometrik funksiyaları ehtiva edən bir çox tənlik sistemini həll etmək rahatdır. Xüsusilə bir gücə yüksəlmək problemi yarandıqda.
Modul və mərhələ
Mürəkkəb çoxluğun təsvirini tamamlamaq üçün biz iki mühüm tərif təklif edirik.
Pifaqor teoremini bilməklə qütb koordinat sistemində şüanın uzunluğunu hesablamaq asandır.
r=∣z∣=√(x2 + y2), mürəkkəb fəzada belə qeyd " adlanır. modul" və müstəvidə 0-dan nöqtəyə qədər olan məsafəni xarakterizə edir.
Kompleks şüanın həqiqi ϴ xəttinə meyl bucağı adətən faza adlanır.
Tərif göstərir ki, real və xəyali hissələr siklik funksiyalardan istifadə etməklə təsvir olunur. Məhz:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Əksinə, faza düstur vasitəsilə cəbri dəyərlərlə əlaqələndirilir:
ϴ=arctan(x / y) + µ, həndəsi funksiyaların dövriliyini nəzərə almaq üçün µ düzəlişi tətbiq edilir.
Euler düsturu
Riyaziyyatçılar tez-tez eksponensial formadan istifadə edirlər. Kompleks müstəvi nömrələr
ifadələri kimi yazılır
z=r × ei×ϴ , Eyler düsturundan irəli gəlir.
Bu qeyd fiziki kəmiyyətlərin praktiki hesablanması üçün geniş istifadə olunur. Təqdimat forması şəklindəeksponensial kompleks ədədlər mühəndislik hesablamaları üçün xüsusilə əlverişlidir, burada sinusoidal cərəyanlarla dövrələri hesablamaq lazım olur və verilmiş dövrə malik funksiyaların inteqrallarının qiymətini bilmək lazımdır. Hesablamaların özü müxtəlif maşın və mexanizmlərin dizaynında alət rolunu oynayır.
Əməliyyatları müəyyənləşdirin
Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, əsas riyazi funksiyalarla işləməyin bütün cəbri qanunları kompleks ədədlərə tətbiq edilir.
Cəm əməliyyatı
Mürəkkəb dəyərlər əlavə edilərkən onların real və xəyali hissələri də əlavə edilir.
z=z1 + z2 burada z1 və z2 - ümumi kompleks ədədlər. İfadəni çevirərək, mötərizələri açıb qeydi sadələşdirdikdən sonra real arqumenti alırıq x=(x1 + x2), xəyali arqument y=(y 1 + y2).
Qrafikdə məlum paraleloqram qaydasına görə iki vektorun əlavə edilməsi kimi görünür.
Çıxarma əməliyyatı
Bir ədəd müsbət, digəri mənfi olduqda, yəni güzgü rübündə yerləşdikdə, toplamanın xüsusi halı hesab edilir. Cəbri qeyd real və xəyali hissələr arasındakı fərq kimi görünür.
z=z1 - z2 və ya arqumentlərin dəyərləri nəzərə alınmaqla, əlavəyə bənzər şəkildə əməliyyatdan sonra real dəyərlər üçün əldə edirik x=(x1 - x2) və xəyali y=(y1- y2).
Mürəkkəb müstəvidə vurma
Çoxhədlilərlə işləmə qaydalarından istifadə edərək düsturu əldə edirikkompleks ədədləri həll etmək üçün.
Ümumi cəbri qaydalara əməl edərək z=z1×z2, hər bir arqumenti təsvir edin və oxşarlarını sadalayın. Həqiqi və xəyali hissələri belə yazmaq olar:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Eksponensial kompleks ədədlərdən istifadə etsək, daha gözəl görünür.
İfadə belə görünür: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Daha sadəcə olaraq, modullar çoxaldılır və fazalar əlavə edilir.
Bölmə
Bölmə əməliyyatını vurmanın tərsi kimi nəzərdən keçirərkən eksponensial qeyddə sadə ifadə əldə edirik. z1 dəyərinin z2 ilə bölünməsi onların modullarının və faza fərqinin bölünməsinin nəticəsidir. Formal olaraq, kompleks ədədlərin eksponensial formasından istifadə edərkən belə görünür:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Cəbri qeyd formasında mürəkkəb müstəvinin ədədlərinin bölünməsi əməliyyatı bir az daha mürəkkəb yazılır:
z=z1 / z2.
Arqumentləri təsvir etməklə və çoxhədli çevrilmələri yerinə yetirməklə, dəyərləri əldə etmək asandırx=x1 × x2 + y1 × y2, müvafiq olaraq y=x2 × y1 - x1 × y2 , lakin təsvir edilmiş boşluqda z2 ≠ 0 olarsa, bu ifadə məna verir.
Kökünü çıxarın
Yuxarıdakıların hamısı daha mürəkkəb cəbri funksiyaları təyin edərkən tətbiq edilə bilər - istənilən gücə yüksəltmək və ona tərs - kök çıxarmaq.
N gücünə yüksəltmənin ümumi konsepsiyasından istifadə edərək tərifi alırıq:
zn =(r × eiϴ).
Ümumi xassələrdən istifadə edərək, belə yazın:
zn =rn × eiϴ.
Mürəkkəb ədədi gücə yüksəltmək üçün sadə düstur əldə etdik.
Dərcənin tərifindən çox mühüm nəticə əldə edirik. Xəyali vahidin bərabər gücü həmişə 1-dir. Xəyali vahidin istənilən tək gücü həmişə -1-dir.
İndi tərs funksiyanı öyrənək - kökün çıxarılması.
Qeyd etmək asanlığı üçün n=2 götürək. Kompleks C müstəvisində z kompleks dəyərinin w kvadrat kökü z=± ifadəsi hesab olunur, ondan böyük və ya ona bərabər istənilən real arqument üçün etibarlıdır. sıfır. w ≦ 0 üçün heç bir həll yoxdur.
Ən sadə kvadrat tənliyə baxaq z2 =1. Kompleks ədəd düsturlarından istifadə edərək r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Qeyddən görünür ki, r2 =1 və ϴ=0, buna görə də 1-ə bərabər unikal həllimiz var. Lakin bu, z=-1-in kvadrat kökün tərifinə də uyğun olması fikri ilə ziddiyyət təşkil edir.
Nəyi nəzərə almadığımızı anlayaq. Triqonometrik qeydi xatırlasaq, o zaman ifadəni bərpa edirik - ϴ fazasının dövri dəyişməsi ilə kompleks nömrə dəyişmir. Dövrün qiymətini p ifadə edək, onda r2 × ei2ϴ =ei(0+p), haradan 2ϴ=0 + p, və ya ϴ=p / 2. Buna görə də, ei0 =1 və eip/2 =-1. Kvadrat kökün ümumi anlayışına uyğun gələn ikinci həlli əldə etdik.
Beləliklə, mürəkkəb ədədin ixtiyari kökünü tapmaq üçün prosedura əməl edəcəyik.
- Eksponensial formanı yazın w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k ixtiyari tam ədəddir.
- İstədiyiniz ədəd Eyler formasında da təmsil olunub z=r × eiϴ.
- Kök çıxarma funksiyasının ümumi tərifindən istifadə edin r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Modulların və arqumentlərin bərabərliyinin ümumi xassələrindən rn =∣w∣ və nϴ=arg (w) + p×k yazırıq.
- Mürəkkəb ədədin kökünün yekun qeydi z=√∣w∣ × ei ( düsturu ilə təsvir olunur. arg (w) + pk ) / .
- Qeyd. ∣w∣ dəyəri, tərifinə görə,müsbət real ədəddir, ona görə də istənilən dərəcənin kökü məna kəsb edir.
Sahə və birləşmə
Sonda biz mürəkkəb ədədlərlə tətbiqi məsələlərin həlli üçün az əhəmiyyət kəsb edən, lakin riyazi nəzəriyyənin gələcək inkişafı üçün vacib olan iki mühüm tərif veririk.
Toplama və vurma üçün ifadələr z kompleks müstəvisinin hər hansı elementi üçün aksiomaları təmin edərsə, sahə əmələ gətirdiyi deyilir:
- Kompleks cəmi mürəkkəb terminlərin yerlərinin dəyişməsindən dəyişmir.
- Müəllif doğrudur - mürəkkəb ifadədə iki ədədin istənilən cəmi onların dəyəri ilə əvəz edilə bilər.
- z + 0=0 + z=z doğru olduğu neytral dəyər 0 var.
- Hər hansı z üçün əksi var - z, əlavə sıfır verir.
- Mürəkkəb amillərin yerini dəyişdirərkən kompleks məhsul dəyişmir.
- İstənilən iki ədədin vurulması onların dəyəri ilə əvəz edilə bilər.
- Neytral dəyər 1 var, vurma kompleks ədədi dəyişmir.
- Hər z ≠ 0 üçün z-1-in tərsi var, bu da 1-ə çarpır.
- İki ədədin cəmini üçdə birinə vurmaq onların hər birini bu ədədə vurub nəticələri toplamaq əməliyyatına bərabərdir.
- 0 ≠ 1.
z1 =x + i×y və z2 =x - i×y ədədləri birləşdirici adlanır.
Teorem. Konjuqasiya üçün ifadə doğrudur:
- Cəmin konyuqasiyası qoşa elementlərin cəminə bərabərdir.
- Məhsulun birləşməsidirbirləşmələrin məhsulu.
- Birləşmənin konyuqasiyası ədədin özünə bərabərdir.
Ümumi cəbrdə belə xassələrə sahə avtomorfizmləri deyilir.
Nümunələr
Mürəkkəb ədədlərin verilmiş qaydalarına və düsturlarına əməl edərək, onlarla asanlıqla işləyə bilərsiniz.
Ən sadə nümunələri nəzərdən keçirək.
Problem 1. 3y +5 x i=15 - 7i tənliyindən istifadə edərək x və y-ni təyin edin.
Qərar. Mürəkkəb bərabərliklərin tərifini xatırlayın, onda 3y=15, 5x=-7. Beləliklə, x=-7 / 5, y=5.
Tapşırıq 2. 2 + i28 və 1 + i135 dəyərlərini hesablayın.
Qərar. Aydındır ki, 28 cüt ədəddir, mürəkkəb ədədin tərifinin nəticəsi i28 =1, yəni 2 + i ifadəsi 28 =3. İkinci dəyər, i135 =-1, sonra 1 + i135 =0.
Tapşırıq 3. 2 + 5i və 4 + 3i dəyərlərinin hasilini hesablayın.
Qərar. Kompleks ədədlərin vurulmasının ümumi xassələrindən (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) alırıq. Yeni dəyər -7 + 26i olacaq.
Tapşırıq 4. z3 =-i.
tənliyinin köklərini hesablayın
Qərar. Kompleks ədədi tapmağın bir neçə yolu var. Mümkün olanlardan birini nəzərdən keçirək. Tərifə görə, ∣ - i∣=1, -i üçün faza -p / 4-dür. Orijinal tənlik r3ei kimi yenidən yazıla bilər.3ϴ =e-p/4+pk, buradan z=e-p / 12 + pk/3, hər hansı k tam ədədi üçün.
Həll dəstinin forması var (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Niyə bizə mürəkkəb ədədlər lazımdır
Tarix bir çox nümunə bilir ki, bir nəzəriyyə üzərində işləyən elm adamları əldə etdikləri nəticələrin praktiki tətbiqi haqqında düşünmürlər. Riyaziyyat, ilk növbədə, ağıl oyunu, səbəb-nəticə əlaqəsinə ciddi riayət etməkdir. Demək olar ki, bütün riyazi konstruksiyalar inteqral və diferensial tənliklərin həllinə endirilir və onlar da öz növbəsində müəyyən yaxınlaşma ilə çoxhədlilərin köklərini tapmaqla həll edilir. Burada əvvəlcə xəyali ədədlər paradoksu ilə qarşılaşırıq.
Alimlər təbiətşünaslar, tamamilə praktiki məsələləri həll edərək, müxtəlif tənliklərin həllinə müraciət edərək, riyazi paradokslar kəşf edirlər. Bu paradoksların təfsiri tamamilə heyrətamiz kəşflərə gətirib çıxarır. Elektromaqnit dalğalarının ikili təbiəti buna misaldır. Kompleks ədədlər onların xassələrini başa düşməkdə mühüm rol oynayır.
Bu, öz növbəsində, optika, radioelektronika, enerji və bir çox digər texnoloji sahələrdə praktik tətbiq tapdı. Başqa bir misal, fiziki hadisələri başa düşmək daha çətindir. Antimaddə qələmin ucunda proqnozlaşdırılırdı. Və yalnız uzun illər sonra onu fiziki olaraq sintez etmək cəhdləri başlayır.
Sadəcə fizikada belə halların olduğunu düşünməyin. Vəhşi təbiətdə, makromolekulların sintezində, süni intellektin tədqiqi zamanı daha az maraqlı kəşflər edilir. Və hamısı sayəsindədirşüurumuzun genişlənməsi, təbii dəyərlərin sadə toplama və çıxmasından uzaqlaşmaq.
