Üçbucaq, kvadrat, altıbucaqlı - bu rəqəmlər demək olar ki, hər kəsə məlumdur. Ancaq hamı müntəzəm çoxbucaqlının nə olduğunu bilmir. Ancaq bunların hamısı eyni həndəsi formalardır. Düzgün çoxbucaqlı bucaqları və tərəfləri bərabər olan çoxbucaqlıdır. Belə rəqəmlər çoxdur, lakin onların hamısı eyni xüsusiyyətlərə malikdir və eyni düsturlar onlara aiddir.
Normal çoxbucaqlıların xassələri
İstər kvadrat və ya səkkizbucaqlı istənilən müntəzəm çoxbucaqlı dairəyə yazıla bilər. Bu əsas xüsusiyyət tez-tez bir fiqur qurarkən istifadə olunur. Bundan əlavə, çoxbucaqlıya bir dairə də daxil edilə bilər. Bu halda təmas nöqtələrinin sayı onun tərəflərinin sayına bərabər olacaqdır. Müntəzəm çoxbucaqlıya daxil edilmiş dairənin onunla ortaq bir mərkəzin olması vacibdir. Bu həndəsi fiqurlar eyni teoremlərə tabedir. İstənilən tərəfmüntəzəm n-bucaqlının ətrafına çəkilmiş çevrənin R radiusu ilə bağlıdır. Ona görə də onu aşağıdakı düsturla hesablamaq olar: a=2R ∙ sin180°. Dairənin radiusu vasitəsilə siz çoxbucaqlının təkcə tərəflərini deyil, həm də perimetrini tapa bilərsiniz.
Normal çoxbucaqlının tərəflərinin sayını necə tapmaq olar
İstənilən müntəzəm n-qonaq bir-birinə bərabər olan müəyyən sayda seqmentlərdən ibarətdir, onlar birləşdirildikdə qapalı xətt təşkil edir. Bu halda, formalaşmış rəqəmin bütün küncləri eyni dəyərə malikdir. Çoxbucaqlılar sadə və mürəkkəb bölünür. Birinci qrupa üçbucaq və kvadrat daxildir. Mürəkkəb çoxbucaqlıların daha çox tərəfi var. Onlara ulduz formalı fiqurlar da daxildir. Mürəkkəb nizamlı çoxbucaqlılar üçün tərəflər onları dairəyə yazmaqla tapılır. Gəlin bir sübut verək. Tərəflərin ixtiyari sayda n olan düzgün çoxbucaqlı çəkin. Onun ətrafında bir dairəni təsvir edin. R radiusunu göstərin. İndi təsəvvür edin ki, bəzi n-qonşuları verilmişdir. Əgər onun bucaqlarının nöqtələri çevrə üzərində yerləşirsə və bir-birinə bərabərdirsə, onda tərəfləri aşağıdakı düsturla tapmaq olar: a=2R ∙ sinα: 2.
Dərili düzgün üçbucağın tərəflərinin sayını tapmaq
Bərabərtərəfli üçbucaq düzgün çoxbucaqlıdır. Kvadrat və n-gon üçün eyni düsturlar ona da aiddir. Üçbucağın tərəfləri eyni uzunluqda olarsa düzgün hesab ediləcək. Bu vəziyyətdə bucaqlar 60⁰-dir. Verilmiş tərəf uzunluğu a olan üçbucaq qurun. Onun medianı və hündürlüyünü bilmək,onun tərəflərinin qiymətini tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün a \u003d x: cosα düsturu vasitəsilə tapmaq metodundan istifadə edəcəyik, burada x median və ya hündürlükdür. Üçbucağın bütün tərəfləri bərabər olduğundan a=b=c alırıq. Onda aşağıdakı ifadə doğru olacaq a=b=c=x: cosα. Eynilə, siz ikitərəfli üçbucaqda tərəflərin qiymətini tapa bilərsiniz, lakin x verilmiş hündürlük olacaq. Eyni zamanda, rəqəmin əsasında ciddi şəkildə proqnozlaşdırılmalıdır. Beləliklə, x hündürlüyünü bilərək, a \u003d b \u003d x: cosα düsturundan istifadə edərək ikitərəfli üçbucağın a tərəfini tapırıq. a-nın qiymətini tapdıqdan sonra c əsasının uzunluğunu hesablaya bilərsiniz. Pifaqor teoremini tətbiq edək. Biz c əsasının yarısının qiymətini axtaracağıq: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Onda c=2xtanα. Budur, hər hansı bir daxili çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapmaq üçün sadə üsul.
Dairəyə yazılmış kvadratın tərəflərini hesablayın
Hər hansı digər yazılı müntəzəm çoxbucaqlı kimi, kvadratın tərəfləri və bucaqları bərabərdir. Üçbucaq üçün eyni düsturlar ona aiddir. Diaqonalın dəyərindən istifadə edərək kvadratın tərəflərini hesablaya bilərsiniz. Bu üsulu daha ətraflı nəzərdən keçirək. Məlumdur ki, diaqonal bucağı ikiyə bölür. Əvvəlcə onun dəyəri 90 dərəcə idi. Beləliklə, bölündükdən sonra iki düzbucaqlı üçbucaq əmələ gəlir. Onların əsas bucaqları 45 dərəcə olacaq. Müvafiq olaraq, kvadratın hər tərəfi bərabər olacaq, yəni: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, burada e kvadratın diaqonalı və ya əsasıdır. bölündükdən sonra əmələ gələn sağ üçbucaq. Bu yeganə yol deyilkvadratın tərəflərinin tapılması. Gəlin bu rəqəmi dairəyə yazaq. Bu dairənin R radiusunu bildiyimiz üçün kvadratın tərəfini tapırıq. Bunu aşağıdakı kimi hesablayacağıq a4=R√2. Normal çoxbucaqlıların radiusları R=a: 2tg (360o: 2n) düsturu ilə hesablanır, burada a tərəfin uzunluğudur.
n-bucaqlının perimetrini necə hesablamaq olar
n-bucaqlının perimetri onun bütün tərəflərinin cəmidir. Onu hesablamaq asandır. Bunun üçün bütün tərəflərin dəyərlərini bilmək lazımdır. Bəzi çoxbucaqlı növləri üçün xüsusi düsturlar var. Onlar perimetri daha tez tapmağa imkan verir. Məlumdur ki, istənilən düzgün çoxbucaqlı bərabər tərəflərə malikdir. Buna görə də onun perimetrini hesablamaq üçün onlardan ən azı birini bilmək kifayətdir. Formula rəqəmin tərəflərinin sayından asılı olacaq. Ümumiyyətlə, belə görünür: P \u003d an, burada a tərəfin dəyəri, n isə bucaqların sayıdır. Məsələn, tərəfi 3 sm olan düzgün səkkizbucağın perimetrini tapmaq üçün onu 8-ə vurmaq lazımdır, yəni P=3 ∙ 8=24 sm. Tərəfi 5 sm olan altıbucaqlı üçün hesablayırıq. aşağıdakı kimi: P=5 ∙ 6=30 sm. Və beləliklə hər çoxbucaqlı üçün.
Paralleloqramın, kvadratın və rombun perimetrinin tapılması
Düzgün çoxbucaqlının neçə tərəfi olduğuna görə onun perimetri hesablanır. Bu, işi xeyli asanlaşdırır. Həqiqətən də, digər rəqəmlərdən fərqli olaraq, bu halda onun bütün tərəflərini axtarmaq lazım deyil, sadəcə biri kifayətdir. Eyni prinsiplə perimetri tapırıqdördbucaqlılar, yəni kvadrat və romb. Bunların fərqli rəqəmlər olmasına baxmayaraq, onlar üçün düstur eyni P=4a, burada a tərəfdir. Bir misal götürək. Rombun və ya kvadratın tərəfi 6 sm-dirsə, perimetri aşağıdakı kimi tapırıq: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 sm. Paralleloqramın yalnız əks tərəfləri var. Buna görə də onun perimetri fərqli bir üsulla tapılır. Beləliklə, biz fiqurun a uzunluğunu və b enini bilməliyik. Sonra P=(a + c) ∙ 2 düsturunu tətbiq edirik. Aralarında bütün tərəflər və bucaqlar bərabər olan paraleloqrama romb deyilir.
Bərabərtərəfli və düzbucağın perimetrinin tapılması
Düzgün bərabərtərəfli üçbucağın perimetrini P=3a düsturu ilə tapmaq olar, burada a tərəfin uzunluğudur. Əgər məlum deyilsə, onu median vasitəsilə tapmaq olar. Düzbucaqlı üçbucaqda yalnız iki tərəf bərabərdir. Əsasını Pifaqor teoremi ilə tapmaq olar. Hər üç tərəfin dəyərləri məlum olduqdan sonra perimetri hesablayırıq. Bunu P \u003d a + b + c düsturunu tətbiq etməklə tapmaq olar, burada a və b bərabər tərəflər, c isə əsasdır. Xatırladaq ki, ikitərəfli üçbucaqda a \u003d b \u003d a, buna görə də a + b \u003d 2a, sonra P \u003d 2a + c. Məsələn, ikitərəfli üçbucağın tərəfi 4 sm-dir, onun əsasını və perimetrini tapın. Pifaqor teoremindən istifadə edərək hipotenuzanın qiymətini hesablayırıq c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 sm. İndi biz perimetri hesablayırıq R=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 sm.
Normal çoxbucaqlının künclərini necə tapmaq olar
Daimi çoxbucaqlıhəyatımızda hər gün baş verir, məsələn, adi kvadrat, üçbucaq, səkkizbucaq. Görünür ki, bu rəqəmi özünüz qurmaqdan asan bir şey yoxdur. Ancaq bu, ilk baxışdan belədir. İstənilən n-qonşunu qurmaq üçün onun bucaqlarının qiymətini bilmək lazımdır. Bəs siz onları necə tapırsınız? Hətta antik dövrün alimləri müntəzəm çoxbucaqlılar qurmağa çalışırdılar. Onları dairələrə sığdırmağı təxmin etdilər. Və sonra düz xətlərlə birləşdirilən lazımi nöqtələr qeyd edildi. Sadə rəqəmlər üçün tikinti problemi həll edildi. Düsturlar və teoremlər əldə edilmişdir. Məsələn, Evklid məşhur "Başlanğıc" əsərində 3, 4, 5, 6 və 15-qonlara aid məsələlərin həlli ilə məşğul olurdu. Onları qurmaq və bucaq tapmaq yollarını tapdı. 15 gon üçün bunu necə edəcəyimizi görək. Əvvəlcə onun daxili açılarının cəmini hesablamalısınız. S=180⁰(n-2) düsturundan istifadə etmək lazımdır. Beləliklə, bizə 15-bucaq verilir, bu o deməkdir ki, n ədədi 15-dir. Bildiyimiz məlumatları düsturda əvəz edirik və S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ alırıq. 15-bucaqlının bütün daxili bucaqlarının cəmini tapdıq. İndi onların hər birinin dəyərini almalıyıq. Cəmi 15 bucaq var 2340⁰ hesabını edirik: 15=156⁰. Bu o deməkdir ki, hər bir daxili bucaq 156⁰-dir, indi bir hökmdar və kompasdan istifadə edərək adi 15-bucaq qura bilərsiniz. Bəs daha mürəkkəb n-qonlar haqqında nə demək olar? Əsrlər boyu elm adamları bu problemi həll etmək üçün mübarizə aparırdılar. Yalnız 18-ci əsrdə Karl Fridrix Qauss tərəfindən tapılıb. O, 65537-gon qura bildi. O vaxtdan bəri problem rəsmi olaraq tamamilə həll edilmiş hesab olunur.
n-bucaqlıların bucaqlarının hesablanmasıradyanla
Əlbəttə, çoxbucaqlıların künclərini tapmağın bir neçə yolu var. Çox vaxt onlar dərəcə ilə hesablanır. Lakin siz onları radyanla da ifadə edə bilərsiniz. Bunu necə etmək olar? Aşağıdakı kimi davam etmək lazımdır. Əvvəlcə düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapırıq, sonra ondan 2-ni çıxırıq. Beləliklə, qiyməti alırıq: n - 2. Tapılan fərqi n ədədinə vururuq (“pi”=3, 14). İndi yalnız yaranan məhsulu n-qonaqdakı bucaqların sayına bölmək qalır. Eyni on beş tərəfli nümunədən istifadə edərək bu hesablamaları nəzərdən keçirin. Deməli, n ədədi 15-dir. S=p(n - 2) düsturunu tətbiq edin: n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Bu, əlbəttə ki, bucağı radyanla hesablamağın yeganə yolu deyil. Siz sadəcə olaraq bucağın ölçüsünü dərəcələrlə 57, 3 rəqəminə bölmək olar. Axı o dərəcələrin çoxu bir radana bərabərdir.
Bucaqların qiymətini dərəcə ilə hesablayın
Derecə və radyandan başqa, siz müntəzəm çoxbucaqlının bucaqlarının qiymətini qradlarla tapmağa cəhd edə bilərsiniz. Bu aşağıdakı şəkildə edilir. Bucaqların ümumi sayından 2 çıxın, yaranan fərqi müntəzəm çoxbucaqlının tərəflərinin sayına bölün. Tapılan nəticəni 200-ə vururuq. Yeri gəlmişkən, dolu daşları kimi bucaqların ölçü vahidindən praktiki olaraq istifadə edilmir.
n-qonaqların xarici bucaqlarının hesablanması
Daxili poliqon istisna olmaqla, istənilən müntəzəm çoxbucaqlı üçün xarici bucağı da hesablaya bilərsiniz. Onun dəyəri digər rəqəmlərlə eyni şəkildə tapılır. Beləliklə, müntəzəm çoxbucaqlının xarici bucağını tapmaq üçün sizə lazımdırbatinin mənasını bil. Bundan əlavə, bu iki bucağın cəminin həmişə 180 dərəcə olduğunu bilirik. Buna görə hesablamaları aşağıdakı kimi edirik: 180⁰ minus daxili bucağın dəyəri. Biz fərqi tapırıq. Ona bitişik bucağın dəyərinə bərabər olacaq. Məsələn, kvadratın daxili küncü 90 dərəcədir, buna görə də xarici bucaq 180⁰ - 90⁰=90⁰ olacaqdır. Gördüyümüz kimi, onu tapmaq çətin deyil. Xarici bucaq müvafiq olaraq +180⁰ ilə -180⁰ arasında qiymət ala bilər.
