Bu həndəsi fiqurlar bizi hər yerdə əhatə edir. Qabarıq çoxbucaqlılar təbii, məsələn, pətək və ya süni (insan istehsalı) ola bilər. Bu fiqurlar müxtəlif növ üzlüklərin istehsalında, rəssamlıqda, memarlıqda, dekorasiyada və s. Qabarıq çoxbucaqlılar bütün nöqtələrinin bu həndəsi fiqurun bir cüt bitişik təpəsindən keçən düz xəttin eyni tərəfində olması xüsusiyyətinə malikdir. Başqa təriflər də var. Çoxbucaqlı, tərəflərindən birini ehtiva edən hər hansı düz xəttə nisbətən tək yarımmüstəvidə yerləşirsə, qabarıq adlanır.
Qabarıq çoxbucaqlılar
Elementar həndəsə kursunda həmişə yalnız sadə çoxbucaqlılar nəzərə alınır. Belələrinin bütün xüsusiyyətlərini başa düşmək üçünhəndəsi fiqurlar, onların təbiətini başa düşmək lazımdır. Başlamaq üçün başa düşmək lazımdır ki, hər hansı bir xətt qapalı adlanır, ucları üst-üstə düşür. Üstəlik, onun yaratdığı fiqur müxtəlif konfiqurasiyalara malik ola bilər. Çoxbucaqlı, qonşu bağların eyni düz xətt üzərində yerləşmədiyi sadə qapalı qırıq xəttdir. Onun keçidləri və təpələri müvafiq olaraq bu həndəsi fiqurun tərəfləri və təpələridir. Sadə çoxlu xəttin öz-özünə kəsişmələri olmamalıdır.
Çoxbucaqlının təpələri, onun tərəflərindən birinin uclarını təmsil edərsə, bitişik adlanır. Təpələrinin n-ci sayı və buna görə də tərəflərinin n-ci sayı olan həndəsi fiqur n-bucaqlı adlanır. Sınıq xəttin özü bu həndəsi fiqurun haşiyəsi və ya konturu adlanır. Çoxbucaqlı müstəvi və ya düz çoxbucaqlı, onunla həmsərhəd olan hər hansı müstəvinin son hissəsi adlanır. Bu həndəsi fiqurun bitişik tərəfləri bir təpədən çıxan qırıq xəttin seqmentləri adlanır. Çoxbucaqlının müxtəlif təpələrindən gəlsələr, onlar bitişik olmayacaq.
Qabarıq çoxbucaqlıların digər tərifləri
Elementar həndəsədə hansı çoxbucağın qabarıq adlandırıldığını göstərən daha bir neçə ekvivalent tərif var. Bu ifadələrin hamısı eyni dərəcədə doğrudur. Çoxbucaqlı qabarıq sayılır, əgər:
• daxilindəki hər hansı iki nöqtəni birləşdirən hər seqment tamamilə onun daxilindədir;
• içərisindəonun bütün diaqonalları yalan;
• istənilən daxili bucaq 180°-dən çox deyil.
Çoxbucaqlı həmişə müstəvini 2 hissəyə bölür. Onlardan biri məhduddur (dairə ilə əhatə oluna bilər), digəri isə qeyri-məhduddur. Birincisi daxili bölgə adlanır, ikincisi isə bu həndəsi fiqurun xarici bölgəsidir. Bu çoxbucaqlı bir neçə yarımmüstəvilərin kəsişməsidir (başqa sözlə, ümumi komponentdir). Üstəlik, çoxbucaqlıya aid nöqtələrdə sonu olan hər bir seqment tamamilə ona məxsusdur.
Qabarıq çoxbucaqlıların növləri
Qabarıq çoxbucaqlının tərifi onların bir çox növlərinin olduğunu göstərmir. Və onların hər birinin müəyyən meyarları var. Beləliklə, daxili bucağı 180 ° olan qabarıq çoxbucaqlılara zəif qabarıq deyilir. Üç təpəsi olan qabarıq həndəsi fiqur üçbucaq, dördü dördbucaqlı, beşi beşbucaqlı və s. adlanır. Qabarıq n-bucaqlıların hər biri aşağıdakı əsas tələblərə cavab verir: n 3-ə bərabər və ya ondan böyük olmalıdır. üçbucaqlar qabarıqdır. Bütün təpələrin eyni çevrədə yerləşdiyi bu tip həndəsi fiqur dairəyə yazılmış adlanır. Qabarıq çoxbucaqlı, çevrənin yaxınlığındakı bütün tərəfləri ona toxunarsa, dairəvi çoxbucaqlı adlanır. İki çoxbucaqlı yalnız superpozisiya ilə üst-üstə qoyula bildikdə bərabərdir. Müstəvi çoxbucaqlıya çoxbucaqlı müstəvi deyilir.(təyyarənin bir hissəsi), bu həndəsi fiqurla məhdudlaşır.
Daimi qabarıq çoxbucaqlılar
Daimi çoxbucaqlılar bucaqları və tərəfləri bərabər olan həndəsi formalardır. Onların içərisində hər bir təpə nöqtəsindən eyni məsafədə olan 0 nöqtəsi var. Bu həndəsi fiqurun mərkəzi adlanır. Mərkəzi bu həndəsi fiqurun təpələri ilə birləşdirən seqmentlərə apotem, 0 nöqtəsini tərəflərlə birləşdirən seqmentlər isə radius adlanır.
Dördbucaqlı kvadratdır. Bərabər üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Belə rəqəmlər üçün aşağıdakı qayda var: qabarıq çoxbucaqlının hər küncü 180°(n-2)/ n, burada n bu qabarıq həndəsi fiqurun təpələrinin sayıdır.
İstənilən müntəzəm çoxbucaqlının sahəsi düsturla müəyyən edilir:
S=ph, burada p verilmiş çoxbucaqlının bütün tərəflərinin cəminin yarısıdır və h apoteminin uzunluğudur.
Qabarıq çoxbucaqlıların xassələri
Qabarıq çoxbucaqlılar müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir. Beləliklə, belə bir həndəsi fiqurun hər hansı 2 nöqtəsini birləşdirən bir seqment mütləq orada yerləşir. Sübut:
Fərz edək ki, P verilmiş qabarıq çoxbucaqlıdır. Biz 2 ixtiyari nöqtəni götürürük, məsələn, P-yə aid olan A, B. Qabarıq çoxbucaqlının mövcud tərifinə əsasən, bu nöqtələr P-nin istənilən tərəfini ehtiva edən xəttin eyni tərəfində yerləşir. Buna görə də, AB də bu xüsusiyyətə malikdir və P-də yerləşir. Qabarıq çoxbucaqlı həmişə təpələrindən birindən çəkilmiş tamamilə bütün diaqonallarla bir neçə üçbucağa bölünə bilər.
Qabarıq həndəsi fiqurların bucaqları
Qabarıq çoxbucaqlının küncləri onun tərəflərindən əmələ gələn künclərdir. Daxili künclər verilmiş həndəsi fiqurun daxili bölgəsində yerləşir. Bir təpədə birləşən tərəflərinin əmələ gətirdiyi bucağa qabarıq çoxbucaqlının bucağı deyilir. Verilmiş həndəsi fiqurun daxili bucaqlarına bitişik olan bucaqlar xarici adlanır. İçində yerləşən qabarıq çoxbucaqlının hər küncü:
180° - x, burada x xarici bucağın qiymətidir. Bu sadə düstur bu tip istənilən həndəsi fiqurlar üçün işləyir.
Ümumiyyətlə, xarici künclər üçün aşağıdakı qayda var: qabarıq çoxbucaqlının hər bucağı 180° ilə daxili bucağın qiyməti arasındakı fərqə bərabərdir. -180° ilə 180° arasında dəyişən dəyərlərə malik ola bilər. Beləliklə, daxili bucaq 120° olduqda, xarici bucaq 60° olacaq.
Qabarıq çoxbucaqlıların bucaqlarının cəmi
Qabarıq çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:
180°(n-2), burada n n-bucaqlının təpələrinin sayıdır.
Qabarıq çoxbucaqlının bucaqlarının cəmini hesablamaq olduqca asandır. Belə hər hansı bir həndəsi fiqur düşünün. Qabarıq çoxbucaqlı daxilində bucaqların cəmini müəyyən etmək lazımdıronun təpələrindən birini digər təpələrə birləşdirin. Bu hərəkət nəticəsində (n-2) üçbucaqlar alınır. Hər hansı üçbucağın bucaqlarının cəminin həmişə 180° olduğunu bilirik. İstənilən çoxbucaqlıda onların sayı (n-2) olduğundan, belə bir fiqurun daxili bucaqlarının cəmi 180° x (n-2) təşkil edir.
Verilmiş qabarıq həndəsi fiqur üçün qabarıq çoxbucaqlının bucaqlarının, yəni istənilən iki daxili və ona bitişik xarici bucaqların cəmi həmişə 180°-ə bərabər olacaqdır. Buna əsasən, onun bütün bucaqlarının cəmini təyin edə bilərsiniz:
180 x n.
Daxili bucaqların cəmi 180°(n-2) təşkil edir. Buna əsasən, bu rəqəmin bütün xarici künclərinin cəmi düsturla müəyyən edilir:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Hər hansı qabarıq çoxbucaqlının xarici bucaqlarının cəmi həmişə 360° olacaq (tərəflərin sayından asılı olmayaraq).
Qabarıq çoxbucaqlının xarici bucağı ümumiyyətlə 180° ilə daxili bucağın qiyməti arasındakı fərqlə təmsil olunur.
Qabarıq çoxbucaqlının digər xassələri
Bu həndəsi fiqurların əsas xassələrinə əlavə olaraq, onları manipulyasiya edərkən ortaya çıxan başqa xüsusiyyətlər də var. Beləliklə, çoxbucaqlıların hər hansı birini bir neçə qabarıq n-bucaqlıya bölmək olar. Bunu etmək üçün onun hər tərəfini davam etdirmək və bu həndəsi fiqurları bu düz xətlər boyunca kəsmək lazımdır. İstənilən çoxbucaqlını elə bir neçə qabarıq hissəyə bölmək də mümkündür ki, parçaların hər birinin təpələri onun bütün təpələri ilə üst-üstə düşsün. Belə bir həndəsi fiqurdan üçbucaqlar hamısını çəkməklə çox sadə şəkildə edilə bilərbir təpədən diaqonallar. Beləliklə, istənilən çoxbucaqlı nəticədə müəyyən sayda üçbucaqlara bölünə bilər ki, bu da belə həndəsi fiqurlarla bağlı müxtəlif məsələlərin həllində çox faydalıdır.
Qabarıq çoxbucaqlının perimetri
Çoxbucaqlının tərəfləri adlanan qırıq xəttin seqmentləri ən çox aşağıdakı hərflərlə işarələnir: ab, bc, cd, de, ea. Bunlar a, b, c, d, e təpələri olan həndəsi fiqurun tərəfləridir. Bu qabarıq çoxbucaqlının bütün tərəflərinin uzunluqlarının cəminə onun perimetri deyilir.
Çoxbucaqlı çevrə
Qabarıq çoxbucaqlılar yazıla və məhdudlaşdırıla bilər. Bu həndəsi fiqurun hər tərəfinə toxunan çevrə onun içinə yazılmışdır. Belə bir çoxbucaqlı dairəvi adlanır. Çoxbucaqlıya daxil edilmiş dairənin mərkəzi verilmiş həndəsi fiqur daxilindəki bütün bucaqların bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsidir. Belə çoxbucaqlının sahəsi:
S=pr, burada r yazılmış çevrənin radiusu, p isə verilmiş çoxbucaqlının yarımperimetridir.
Çoxbucaqlının təpələrini ehtiva edən çevrə onun ətrafında əhatə olunmuş dairə adlanır. Üstəlik, bu qabarıq həndəsi fiqur yazılı adlanır. Belə bir çoxbucaqlı ətrafında əhatə olunmuş dairənin mərkəzi bütün tərəflərin perpendikulyar bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsidir.
Qabarıq həndəsi fiqurların diaqonalları
Qabarıq çoxbucaqlının diaqonalları seqmentlərdirbitişik olmayan təpələri birləşdirin. Onların hər biri bu həndəsi fiqurun içərisindədir. Belə n-bucaqlının diaqonallarının sayı düsturla müəyyən edilir:
N=n (n – 3)/ 2.
Elementar həndəsədə qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı mühüm rol oynayır. Hər qabarıq çoxbucaqlını bölmək mümkün olan üçbucaqların sayı (K) aşağıdakı düsturla hesablanır:
K=n – 2.
Qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı həmişə onun təpələrinin sayından asılıdır.
Qabarıq çoxbucaqlının parçalanması
Bəzi hallarda həndəsi məsələləri həll etmək üçün qabarıq çoxbucaqlını diaqonalları kəsişməyən bir neçə üçbucağa bölmək lazımdır. Bu problem xüsusi düstur əldə etməklə həll edilə bilər.
Məsələnin tərifi: gəlin qabarıq n-bucaqlının yalnız bu həndəsi fiqurun təpələrində kəsişən diaqonallarla bir neçə üçbucaqlara düzgün bölməsini adlandıraq.
Həll: Tutaq ki, R1, R2, R3 …, Pn bu n-bucaqlının təpələridir. Xn sayı onun bölmələrinin sayıdır. Pi Pn həndəsi fiqurunun əldə edilmiş diaqonalını diqqətlə nəzərdən keçirək. Müntəzəm arakəsmələrin hər hansı birində P1 Pn, 1<i<n olan müəyyən bir P1 Pi Pn üçbucağına aiddir. Bundan çıxış edərək və fərz etsək ki, i=2, 3, 4 …, n-1, biz bu bölmələrin (n-2) qruplarını alırıq ki, bunlara bütün mümkün xüsusi hallar daxildir.
Qoy i=2 həmişə diaqonal R2 Pn olan müntəzəm arakəsmələrin bir qrupu olsun. Ona daxil olan bölmələrin sayı bölmələrin sayı ilə eynidir(n-1)-qon P2 P3 P4… Pn. Başqa sözlə, Xn-1-ə bərabərdir.
Əgər i=3 olarsa, onda bu digər bölmələr qrupunda həmişə R3 Р1 və Р3 Pn diaqonalları olacaqdır. Bu halda, bu qrupa daxil olan müntəzəm arakəsmələrin sayı (n-2)-gon P3 P4 … Pn bölmələrinin sayı ilə üst-üstə düşəcəkdir. Başqa sözlə, Xn-2-yə bərabər olacaq.
Qoy i=4, onda üçbucaqlar arasında adi arakəsmə, şübhəsiz ki, P1 P4 Pn üçbucağını ehtiva edəcək, P1 P2 P3 P4, (n-3)-qon P4 P5 … Pn dördbucağına bitişik olacaq.. Belə dördbucaqlının nizamlı bölmələrinin sayı X4, (n-3)-qonşunun arakəsmələrinin sayı isə Xn-3-dür. Yuxarıda göstərilənlərə əsasən deyə bilərik ki, bu qrupda olan düzgün bölmələrin ümumi sayı Xn-3 X4-dir. i=4, 5, 6, 7… olan digər qruplarda Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … adi arakəsmələr olacaq.
Qoy i=n-2, onda bu qrupdakı düzgün bölünmələrin sayı i=2 (başqa sözlə, Xn-1-ə bərabərdir) qrupdakı bölünmələrin sayı ilə eyni olacaq.
X1=X2=0, X3=1, X4=2… olduğundan, qabarıq çoxbucaqlının bütün bölmələrinin sayı belədir:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Nümunə:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Bir diaqonal daxilində kəsişən düzgün arakəsmələrin sayı
Xüsusi halları yoxlayarkən ona çatmaq olarqabarıq n-qonaqların diaqonallarının sayının bu rəqəmin bütün bölmələrinin hasilinə (n-3) bərabər olduğu fərziyyəsi.
Bu fərziyyənin sübutu: təsəvvür edin ki, P1n=Xn(n-3), onda hər hansı n-bucaqlı (n-2)-üçbucaqlarına bölünə bilər. Üstəlik, onlardan (n-3) dördbucaqlı da təşkil edilə bilər. Bununla yanaşı, hər dördbucaqlının bir diaqonalı olacaq. Bu qabarıq həndəsi fiqurda iki diaqonal çəkilə bildiyinə görə, bu o deməkdir ki, istənilən (n-3) dördbucaqlılarda əlavə (n-3) diaqonal çəkilə bilər. Buna əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, istənilən müntəzəm bölmədə bu məsələnin şərtlərinə cavab verən (n-3)-diaqonallar çəkmək olar.
Qabarıq çoxbucaqlıların sahəsi
Çox vaxt elementar həndəsənin müxtəlif məsələlərini həll edərkən qabarıq çoxbucaqlının sahəsini təyin etmək lazım gəlir. Fərz edək ki, (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n, öz-özünə kəsişmələri olmayan çoxbucaqlının bütün qonşu təpələrinin koordinatlarının ardıcıllığıdır. Bu halda onun sahəsi aşağıdakı düsturla hesablanır:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), harada (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
