Müstəvi tənlikləri. İki təyyarə arasındakı bucaq

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Müstəvi nöqtə və düz xətt ilə birlikdə əsas həndəsi elementdir. Onun istifadəsi ilə məkan həndəsəsində bir çox fiqurlar qurulur. Bu yazıda iki müstəvi arasında bucağı necə tapmaq barədə sualı daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Konsept

İki müstəvi arasındakı bucaq haqqında danışmazdan əvvəl, həndəsənin hansı elementindən danışdığımızı yaxşı başa düşməlisiniz. Gəlin terminologiyanı anlayaq. Təyyarə kosmosdakı sonsuz nöqtələr toplusudur, onları birləşdirən vektorlar əldə edirik. Sonuncu hansısa bir vektora perpendikulyar olacaq. O, adətən təyyarə üçün normal adlanır.

Yuxarıdakı şəkildə bir təyyarə və ona iki normal vektor göstərilir. Görünür ki, hər iki vektor eyni düz xətt üzərində yerləşir. Aralarındakı bucaq 180o-dir.

Tənliklər

İki müstəvi arasındakı bucağı, baxılan həndəsi elementin riyazi tənliyi məlum olduqda təyin etmək olar. Belə tənliklərin bir neçə növü var,adları aşağıda verilmişdir:

• ümumi növ;
• vektor;
• seqmentlərdə.

Bu üç növ müxtəlif problemləri həll etmək üçün ən əlverişlidir, ona görə də ən çox istifadə olunur.

Ümumi tipli tənlik belə görünür:

Ax + By + Cz + D=0.

Burada x, y, z verilmiş müstəviyə aid olan ixtiyari nöqtənin koordinatlarıdır. A, B, C və D parametrləri rəqəmlərdir. Bu qeydin rahatlığı ondadır ki, A, B, C rəqəmləri müstəviyə normal vektorun koordinatlarıdır.

Təyyarənin vektor forması aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Burada (a₂, b₂, c₂) və (a ₁, b₁, c₁) - nəzərdən keçirilən müstəviyə aid olan iki koordinat vektorunun parametrləri. Nöqtə (x₀, y₀, z_{0) də bu müstəvidə yerləşir. α və β parametrləri müstəqil və ixtiyari qiymətlər qəbul edə bilər.}

Nəhayət, seqmentlərdə müstəvi tənliyi aşağıdakı riyazi formada təmsil olunur:

x/p + y/q + z/l=1.

Burada p, q, l xüsusi ədədlərdir (mənfi olanlar da daxil olmaqla). Bu cür tənlik düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvi təsvir etmək lazım olduqda faydalıdır, çünki p, q, l rəqəmləri x, y və z oxları ilə kəsişmə nöqtələrini göstərir.təyyarə.

Nəzərə alın ki, hər bir tənlik növü sadə riyazi əməliyyatlardan istifadə etməklə istənilən digərinə çevrilə bilər.

İki müstəvi arasındakı bucaq düsturu

İndi aşağıdakı nüansı nəzərdən keçirin. Üç ölçülü fəzada iki təyyarə yalnız iki şəkildə yerləşdirilə bilər. Ya kəsişin, ya da paralel olsun. İki təyyarə arasında bucaq onların istiqamətləndirici vektorları arasında olan şeydir (normal). Kəsişən 2 vektor 2 bucaq əmələ gətirir (ümumi halda iti və küt). Təyyarələr arasındakı bucaq iti hesab olunur. Tənliyi nəzərdən keçirin.

İki müstəvi arasındakı bucaq düsturu belədir:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Bu ifadənin n₁¯ və n₂ normal vektorlarının skalyar hasilinin birbaşa nəticəsi olduğunu təxmin etmək asandır. ¯ nəzərdə tutulan təyyarələr üçün. Numeratordakı nöqtə hasilinin modulu göstərir ki, θ bucağı yalnız 0^o ilə 90^{o arasında qiymətlər alacaq. Məxrəcdəki normal vektorların modullarının hasili onların uzunluqlarının hasili deməkdir.}

Qeyd edək ki, (n₁¯n_{2¯)=0 olarsa, təyyarələr düz bucaq altında kəsişir.}

Nümunə problem

İki müstəvi arasındakı bucağın nə olduğunu anlayıb aşağıdakı məsələni həll edəcəyik. Nümunə olaraq. Beləliklə, belə təyyarələr arasındakı bucağı hesablamaq lazımdır:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Problemi həll etmək üçün təyyarələrin istiqamət vektorlarını bilmək lazımdır. Birinci müstəvi üçün normal vektor belədir: n₁¯=(2, -3, 0). İkinci müstəvi normal vektoru tapmaq üçün α və β parametrlərindən sonra vektorları çox altmaq lazımdır. Nəticə vektordur: n_{2¯=(5, -3, 2).}

θ bucağını təyin etmək üçün əvvəlki paraqrafdakı düsturdan istifadə edirik. Alırıq:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Radianlarla hesablanmış bucaq 31,26^o uyğun gəlir. Beləliklə, məsələnin vəziyyətindən olan təyyarələr 31, 26^{o bucaq altında kəsişir.}