Nöqtədən müstəviyə və nöqtədən xəttə olan məsafəni təyin etmək üçün düsturlar

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Nöqtədən müstəviyə və ya düz xəttə qədər olan məsafəni bilmək kosmosdakı fiqurların həcmini və səthinin sahəsini hesablamağa imkan verir. Həndəsədə bu məsafənin hesablanması göstərilən həndəsi obyektlər üçün müvafiq tənliklərdən istifadə etməklə həyata keçirilir. Məqalədə onu müəyyən etmək üçün hansı düsturlardan istifadə oluna biləcəyini göstərəcəyik.

Xətti və müstəvi tənlikləri

Nöqtədən müstəviyə və xəttə olan məsafəni təyin etmək üçün düsturlar verməzdən əvvəl bu obyektləri hansı tənliklərin təsvir etdiyini göstərək.

Nöqtəni təyin etmək üçün verilmiş koordinat oxları sistemindəki koordinatlar toplusundan istifadə olunur. Burada biz ancaq oxların eyni vahid vektorlara malik olduğu və qarşılıqlı perpendikulyar olan Kartezian düzbucaqlı sistemini nəzərdən keçirəcəyik. Təyyarədə ixtiyari nöqtə iki koordinatla, fəzada isə üç koordinatla təsvir edilir.

Düz xətti təyin etmək üçün müxtəlif növ tənliklərdən istifadə olunur. Məqalənin mövzusuna uyğun olaraq təqdim edirikonlardan yalnız ikisi, iki ölçülü məkanda xətləri müəyyən etmək üçün istifadə olunur.

Vektor tənliyi. Onun aşağıdakı qeydi var:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Buranın birinci termini xətt üzərində yerləşən məlum nöqtənin koordinatlarını təmsil edir. İkinci termin istiqamət vektorunun koordinatlarının ixtiyari λ ədədinə vurulmasıdır.

Ümumi tənlik. Onun qeydi belədir:

Ax + By + C=0;

burada A, B, C bəzi əmsallardır.

Ümumi tənlik daha çox müstəvidə xətləri təyin etmək üçün istifadə olunur, lakin müstəvidə nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapmaq üçün vektor ifadəsi ilə işləmək daha rahatdır.

Üçölçülü fəzada müstəvi bir neçə riyazi üsulla da yazıla bilər. Buna baxmayaraq, əksər hallarda problemlərdə aşağıdakı kimi yazılmış ümumi bir tənlik var:

Ax + By + Cz + D=0.

Bu qeydin digərlərinə nisbətən üstünlüyü ondadır ki, o, müstəviyə perpendikulyar olan vektorun koordinatlarını açıq şəkildə ehtiva edir. Bu vektor onun üçün bələdçi adlanır, normalın istiqaməti ilə üst-üstə düşür və koordinatları (A; B; C) bərabərdir.

Qeyd edək ki, yuxarıdakı ifadə ikiölçülü fəzada düz xətt üçün ümumi tənliyin yazılması forması ilə üst-üstə düşür, ona görə də məsələləri həll edərkən bu həndəsi obyektləri qarışdırmamağa diqqət yetirməlisiniz.

Nöqtə ilə xətt arasındakı məsafə

Gəlin düz xətt ilə arasındakı məsafənin necə hesablanacağını göstərəkiki ölçülü fəzada nöqtə.

Qoy Q(x₁; y_{1) nöqtəsi və verilən sətir olsun:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Xətlə nöqtə arasındakı məsafə Q nöqtəsindən onun üzərinə endirilmiş bu xəttə perpendikulyar olan seqmentin uzunluğu kimi başa düşülür.

Bu məsafəni hesablamazdan əvvəl bu tənlikdə Q koordinatlarını əvəz etməlisiniz. Əgər onlar onu qane edərlərsə, onda Q verilmiş xəttə aiddir və müvafiq məsafə sıfıra bərabərdir. Əgər nöqtənin koordinatları bərabərliyə gətirib çıxarmırsa, onda həndəsi cisimlər arasındakı məsafə sıfırdan fərqlidir. Bu düsturla hesablana bilər:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Burada P, PQ¯ vektorunun başlanğıcı olan düz xəttin ixtiyari nöqtəsidir. u¯ vektoru düz xətt üçün bələdçi seqmentdir, yəni onun koordinatları (a; b).

Bu düsturdan istifadə etmək saydakı çarpaz hasili hesablamaq bacarığını tələb edir.

Nöqtə və xətt problemi

Deyək ki, siz Q(-3; 1) ilə tənliyi təmin edən düz xətt arasındakı məsafəni tapmalısınız:

y=5x -2.

Q-nin koordinatlarını ifadədə əvəz etməklə, Q-nun xətt üzərində olmadığına əmin ola bilərik. Əgər bu tənliyi vektor şəklində təqdim edirsinizsə, yuxarıdakı paraqrafda verilmiş d formulunu tətbiq edə bilərsiniz. Gəlin bunu belə edək:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

İndi bu xəttin istənilən nöqtəsini götürək, məsələn (0; -2) və ondan başlayan və Q: ilə bitən vektor quraq.

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

İndi məsafəni təyin etmək üçün düsturu tətbiq edin, əldə edirik:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Nöqtədən təyyarəyə qədər olan məsafə

Düz xətt vəziyyətində olduğu kimi, müstəvi ilə fəzadakı nöqtə arasındakı məsafə dedikdə, verilmiş nöqtədən müstəviyə perpendikulyar şəkildə endirilən və onu kəsən seqmentin uzunluğu başa düşülür.

Kosmosda bir nöqtə üç koordinatla verilir. Əgər onlar (x₁; y₁; z_{1) bərabərdirsə, o zaman aralarındakı məsafə təyyarə və həmin nöqtə düsturla hesablana bilər:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Qeyd edək ki, düsturdan istifadə etmək yalnız təyyarədən xəttə qədər olan məsafəni tapmağa imkan verir. Perpendikulyar seqmentin müstəvi ilə kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını tapmaq üçün bu seqmentin aid olduğu xətt üçün tənlik yazmaq, sonra isə bu xətt və verilmiş müstəvi üçün ümumi nöqtəni tapmaq lazımdır.

Təyyarə və nöqtə ilə bağlı problem

Nöqtənin koordinatlarına (3; -1; 2) malik olduğu və müstəvi ilə verilmiş olduğu məlumdursa, nöqtədən müstəviyə olan məsafəni tapın:

-y + 3z=0.

Müvafiq düsturdan istifadə etmək üçün əvvəlcə əmsalları yazırıqverilmiş təyyarə. Dəyişən x və sərbəst müddət olmadığı üçün A və D əmsalları sıfıra bərabərdir. Bizdə:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Bu müstəvinin başlanğıcdan keçdiyini və x oxunun ona aid olduğunu göstərmək asandır.

Nöqtənin koordinatlarını və müstəvi əmsallarını d məsafəsi üçün düsturla əvəz etsək:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Qeyd edək ki, əgər siz nöqtənin x-koordinatını dəyişdirsəniz, d məsafəsi dəyişməyəcək. Bu fakt o deməkdir ki, (x; -1; 2) nöqtələr çoxluğu verilmiş müstəviyə paralel düz xətt təşkil edir.