"Sonsuzluq" sözündə hər bir insanın öz assosiasiyaları var. Bir çoxları xəyallarında üfüqdən kənara çıxan dənizi çəkir, digərlərinin isə gözləri qarşısında sonsuz ulduzlu səmanın şəkli var. Rəqəmlərlə işləməyə öyrəşmiş riyaziyyatçılar sonsuzluğu tamam başqa cür təsəvvür edirlər. Əsrlər boyu onlar ölçmək üçün tələb olunan fiziki kəmiyyətlərin ən böyüyünü tapmağa çalışırlar. Onlardan biri Graham nömrəsidir. Orada neçə sıfır var və nə üçün istifadə olunur, bu məqalə izah ediləcək.
Sonsuz böyük rəqəm
Riyaziyyatda bu, x dəyişəninin adıdır, əgər hər hansı M müsbət ədədi üçün N natural ədədi təyin oluna bilər ki, bütün n ədədləri üçün N-dən böyük olsun. bərabərsizlik |x | > M. Bununla belə, yox, məsələn, Z tam ədədini sonsuz böyük hesab etmək olmaz, çünki o, həmişə (Z + 1) -dən kiçik olacaqdır.
"nəhənglər" haqqında bir neçə söz
Fiziki məna daşıyan ən böyük ədədlər belə hesab olunur:
- 1080. Adətən quinquavigintillion adlanan bu rəqəm Kainatdakı kvarkların və leptonların (ən kiçik hissəciklər) təxmini sayını göstərmək üçün istifadə olunur.
- 1 Google. Onluq sistemdə belə bir ədəd 100 sıfır olan vahid kimi yazılır. Bəzi riyazi modellərə görə, böyük partlayış anından ən böyük qara dəliyin partlamasına qədər 1 ildən 1,5 quqol il keçməlidir, bundan sonra kainatımız mövcudluğunun son mərhələsinə keçəcək, yəni. fərz edək ki, bu rəqəm müəyyən fiziki məna daşıyır.
- 8, 5 x 10185. Plank sabiti 1,616199 x 10-35 m-dir, yəni onluq qeyddə 0,000000000000000000000000000616199 m kimi görünür. Bir düymdə təxminən 1 googol Plank uzunluğu var. Təxminən 8,5 x 10185 Plank uzunluğunun bütün kainatımıza sığacağı təxmin edilir.
- 277 232 917 – 1. Bu, məlum olan ən böyük sadə ədəddir. Əgər onun ikili notasiyası kifayət qədər yığcam formaya malikdirsə, onda onu onluq formada təsvir etmək üçün ən azı 13 milyon simvol tələb olunacaq. O, 2017-ci ildə Mersenne nömrələrinin axtarışı layihəsinin bir hissəsi kimi tapılıb. Həvəskarlar bu istiqamətdə işləməyə davam etsələr, kompüter texnologiyasının hazırkı inkişaf səviyyəsində yaxın gələcəkdə çətin ki, 277 232 917-dən çox olan Mersenne nömrəsini tapa bilsinlər.- 1, belə olsa daşanslı qalib 150.000 ABŞ dolları alacaq.
- Hugoplex. Burada sadəcə 1 götürürük və ondan sonra 1 googol miqdarında sıfırları əlavə edirik. Bu rəqəmi 10^10^100 kimi yaza bilərsiniz. Onu onluq formada göstərmək qeyri-mümkündür, çünki Kainatın bütün məkanı hər birində 10 “Word” şrifti ilə 0 yazılacaq kağız parçaları ilə doludursa, bu halda yalnız yarısı olacaq. googolplex nömrəsi üçün 1-dən sonra bütün 0 alınacaq.
- 10^10^10^10^10^1.1. Bu, Puankare teoreminə görə, Kainatımızın təsadüfi kvant dalğalanmaları nəticəsində bu günə yaxın vəziyyətə qayıdacağı illərin sayını göstərən rəqəmdir.
Qrehemin rəqəmləri necə yarandı
1977-ci ildə məşhur elmi populyarlaşdıran Martin Qardner Scientific American jurnalında Ramse nəzəriyyəsinin problemlərindən birinin Qrehem tərəfindən sübuta yetirilməsinə dair məqalə dərc etdi. Orada o, alimin təyin etdiyi həddi ciddi riyazi mülahizələrdə istifadə edilən ən böyük rəqəm adlandırıb.
Ronald Lewis Graham kimdir
80 yaşlarında olan alim Kaliforniyada anadan olub. 1962-ci ildə Berkli Universitetində riyaziyyat üzrə fəlsəfə doktoru elmi dərəcəsi almışdır. O, 37 il Bell Labs-da işləyib və sonra AT&T Labs-a keçib. Alim 20-ci əsrin ən böyük riyaziyyatçılarından biri olan Pal Erdős ilə fəal əməkdaşlıq edib və bir çox nüfuzlu mükafatların laureatıdır. Grahamın elmi biblioqrafiyasında 320-dən çox elmi məqalə var.
70-ci illərin ortalarında alimi nəzəriyyə ilə bağlı problem maraqlandırırdı. Ramsey. Onun sübutunda məhlulun yuxarı həddi müəyyən edilmişdir ki, bu da çox böyük rəqəmdir və sonradan Ronald Qrahamın adını daşıyır.
Hiperkub problemi
Qrehem nömrəsinin mahiyyətini başa düşmək üçün əvvəlcə onun necə əldə edildiyini başa düşməlisiniz.
Alim və onun həmkarı Brüs Rotşild aşağıdakı problemi həll edirdi:
n-ölçülü hiperkub var. Onun təpələrinin bütün cütləri elə birləşdirilir ki, 2təpəsi olan tam qrafik alınsın. Onun hər bir kənarı ya mavi, ya da qırmızı rəngdədir. Hiperkubda olmalı olan təpələrin minimum sayını tapmaq tələb olunurdu ki, hər bir belə rəngləmə eyni müstəvidə yerləşən 4 təpə ilə tam monoxromatik subqrafı ehtiva etsin.
Qərar
Graham və Rothschild sübut etdilər ki, problemin həlli N' 6 ⩽ N' ⩽N şərtini ödəyir, burada N dəqiq müəyyən edilmiş, çox böyük ədəddir.
N üçün aşağı sərhəd sonradan digər elm adamları tərəfindən dəqiqləşdirildi və N-nin 13-dən böyük və ya ona bərabər olması lazım olduğunu sübut etdi. Beləliklə, yuxarıda göstərilən şərtlərə cavab verən hiperkubun təpələrinin ən kiçik sayının ifadəsi oldu. 13 ⩽ N'⩽ N.
Knut oxun qeydi
Qrehem nömrəsini təyin etməzdən əvvəl onun simvolik təsviri üsulu ilə tanış olmalısınız, çünki nə onluq, nə də ikilik qeydlər bunun üçün tamamilə uyğun deyil.
Hazırda bu kəmiyyəti təmsil etmək üçün Knuthun ox qeydindən istifadə olunur. Onun sözlərinə görə:
ab=a "yuxarı ox" b.
Çoxlu eksponentasiya əməliyyatı üçün giriş təqdim edildi:
a "yuxarı ox" "yuxarı ox" b=ab="b ədəd miqdarında a-dan ibarət qüllə."
Və pentasiya üçün, yəni əvvəlki operatorun təkrar eksponentasiyasının simvolik təyinatı üçün Knuth artıq 3 oxdan istifadə edib.
Qrehem nömrəsi üçün bu qeyddən istifadə etməklə, bizdə 64 ədəd həcmində bir-birinin içində "ox" ardıcıllığı var.
Miqyas
Təxəyyülü həyəcanlandıran və insan şüurunun hüdudlarını genişləndirən, onu Kainatın hüdudlarından kənara çıxaran onların məşhur nömrəsini Qrem və onun həmkarları hiperkubun sübutunda N rəqəminin yuxarı həddi kimi əldə etmişlər. yuxarıda göstərilən problem. Adi bir insan üçün onun miqyasının nə qədər böyük olduğunu təsəvvür etmək olduqca çətindir.
Hərflərin sayı və ya bəzən səhv olaraq deyildiyi kimi Qrehemin sayında sıfırlar sualı bu dəyər haqqında ilk dəfə eşidən hər kəsi maraqlandırır.
Təkcə onu demək kifayətdir ki, biz 64 üzvdən ibarət sürətlə böyüyən ardıcıllıqla qarşı-qarşıyayıq. Hətta onun ilk müddətini təsəvvür etmək mümkün deyil, çünki o, 3-dən ibarət olan n "qüllədən" ibarətdir. Artıq onun 3 üçlükdən ibarət “aşağı mərtəbəsi” 7.625.597.484.987-yə bərabərdir, yəni 7 milyardı ötür, yəni 64-cü mərtəbə haqqında (üzv deyil!). Beləliklə, Graham nömrəsinin nə olduğunu dəqiq söyləmək hazırda mümkün deyil, çünki onu hesablamaq kifayət deyil. Bu gün Yer üzündə mövcud olan bütün kompüterlərin ümumi gücü.
Rekord pozuldu?
Kruskal teoreminin isbatlanması prosesində Qrehemin nömrəsi “pedestaldan atıldı”. Alim aşağıdakı problemi təklif etdi:
Sonlu ağacların sonsuz ardıcıllığı var. Kruskal sübut etdi ki, hər hansı bir qrafikin həm daha böyük qrafikin bir hissəsi, həm də onun dəqiq surəti olan bölməsi həmişə mövcuddur. Bu ifadə heç bir şübhə yaratmır, çünki sonsuzluqda həmişə dəqiq təkrarlanan birləşmənin olacağı açıqdır
Daha sonra Harvey Fridman yalnız elə asiklik qrafikləri (ağacları) nəzərə alaraq bu problemi bir qədər dar altdı ki, əmsalı i olan konkret biri üçün ən çox (i + k) təpələri var. O, asiklik qrafiklərin sayının nə qədər olması lazım olduğunu öyrənməyə qərar verdi ki, onların tapşırığının bu üsulu ilə həmişə başqa ağaca daxil edilmiş alt ağacı tapmaq mümkün olsun.
Bu məsələ ilə bağlı araşdırmalar nəticəsində məlum oldu ki, N k-dən asılı olaraq çox böyük sürətlə böyüyür. Xüsusilə, əgər k=1 olarsa, onda N=3. Lakin k=2-də N artıq 11-ə çatır. Ən maraqlısı k=3 olduqda başlayır. Bu zaman N sürətlə "havaya qalxır" və elə bir dəyərə çatır ki, Qrem rəqəmindən dəfələrlə böyükdür. Nə qədər böyük olduğunu təsəvvür etmək üçün Ronald Graham tərəfindən hesablanmış rəqəmi G64 (3) şəklində yazmaq kifayətdir. Sonra Fridman-Kruskal dəyəri (rev. FinKraskal(3)), G(G(187196)) səviyyəsində olacaq. Başqa sözlə, sonsuz dərəcədə böyük olan meqa-dəyər əldə edilirağlasığmaz dərəcədə böyük Graham rəqəmi. Eyni zamanda, hətta sonsuzluqdan dəfələrlə az olacaq. Bu konsepsiya haqqında daha ətraflı danışmağın mənası var.
Sonsuzluq
İndi barmaqlardakı Qrem nömrəsinin nə olduğunu izah etdikdən sonra bu fəlsəfi konsepsiyaya qoyulan və qoyulan mənası başa düşməliyik. Axı “sonsuzluq” və “sonsuz böyük rəqəm” müəyyən kontekstdə eyni sayıla bilər.
Bu məsələnin öyrənilməsinə ən böyük töhfə Aristotel tərəfindən verilmişdir. Antik dövrün böyük mütəfəkkiri sonsuzluğu potensial və aktuala bölmüşdü. Sonuncu dedikdə, o, sonsuz şeylərin mövcudluğunun reallığını nəzərdə tuturdu.
Aristotelə görə, bu fundamental konsepsiya haqqında fikir mənbələri bunlardır:
- zaman;
- dəyərlərin ayrılması;
- sərhəd anlayışı və ondan kənarda bir şeyin varlığı;
- yaradıcı təbiətin tükənməzliyi;
- hüdudu olmayan düşünmək.
Sonsuzluğun müasir şərhində siz kəmiyyət ölçüsünü təyin edə bilməzsiniz, ona görə də ən böyük rəqəmin axtarışı əbədi davam edə bilər.
Nəticə
"Sonsuzluğa nəzər salın" metaforası və Qrem nömrəsini müəyyən mənada sinonim hesab etmək olarmı? Əksinə bəli və yox. Hər ikisini hətta ən güclü təxəyyüllə belə təsəvvür etmək mümkün deyil. Ancaq artıq qeyd edildiyi kimi, onu "ən çox, ən çox" hesab etmək olmaz. Başqa bir şey budur ki, hazırda Graham sayından daha böyük dəyərlərin müəyyən edilmiş bir dəyəri yoxdurfiziki hiss.
Həmçinin sonsuz saydaxassələrinə malik deyil, məsələn:
- ∞ + 1=∞;
- həm tək, həm də cüt ədədlərin sonsuz sayda var;
- ∞ - 1=∞;
- tək ədədlərin sayı bütün ədədlərin tam yarısıdır;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Xülasə etmək üçün: Qrem nömrəsi Ginnesin Rekordlar Kitabına görə riyazi sübut praktikasında ən böyük rəqəmdir. Bununla belə, bu dəyərdən dəfələrlə böyük rəqəmlər var.
Çox güman ki, gələcəkdə daha böyük "nəhənglərə" ehtiyac yaranacaq, xüsusən də insan günəş sistemimizdən kənara çıxarsa və ya şüurumuzun indiki səviyyəsində təsəvvür olunmayan bir şey icad edərsə.
