Hesablama, törəməni, diferensialları və onların funksiyanın öyrənilməsində istifadəsini öyrənən hesablamanın bir qoludur.
Görünüş Tarixi
Diferensial hesablama müstəqil bir fən kimi 17-ci əsrin ikinci yarısında diferensiallar hesabında əsas müddəaları formalaşdıran və inteqrasiya ilə diferensiallaşma arasındakı əlaqəni fərq edən Nyuton və Leybnisin işi sayəsində meydana çıxdı. Bu andan etibarən intizam inteqralların hesablanması ilə birlikdə inkişaf etdi və bununla da riyazi analizin əsasını təşkil etdi. Bu hesablamaların meydana çıxması riyaziyyat aləmində yeni müasir dövr açdı və elmdə yeni fənlərin yaranmasına səbəb oldu. O, həmçinin riyaziyyat elminin təbiət elmləri və texnologiyada tətbiqi imkanlarını genişləndirdi.
Əsas anlayışlar
Diferensial hesablama riyaziyyatın fundamental anlayışlarına əsaslanır. Onlar: həqiqi ədəd, davamlılıq, funksiya və limitdir. Zamanla onlar inteqral və diferensial hesablamalar sayəsində müasir görünüş qazandılar.
Yaradılma prosesi
Differensial hesablamanın tətbiqi, sonra isə elmi metod şəklində formalaşması, Nikolay Kuza tərəfindən yaradılmış fəlsəfi nəzəriyyənin yaranmasından əvvəl baş vermişdir. Onun əsərləri qədim elmin mühakimələrindən irəli gələn təkamül inkişafı hesab olunur. Filosofun özü riyaziyyatçı olmamasına baxmayaraq, onun riyaziyyat elminin inkişafındakı xidmətləri danılmazdır. Kuzanski o dövrün riyaziyyatını şübhə altına alaraq hesabın ən dəqiq elm sahəsi hesab edilməsindən uzaqlaşan ilk şəxslərdən biri olmuşdur.
Qədim riyaziyyatçılar vahiddən universal meyar kimi istifadə edirdilər, filosof isə dəqiq rəqəm əvəzinə yeni ölçü kimi sonsuzluğu təklif edirdi. Bu baxımdan, riyaziyyat elmində dəqiqliyin təmsili tərsinə çevrilir. Elmi bilik, onun fikrincə, rasional və intellektual bölünür. İkincisi, alimin fikrincə, daha dəqiqdir, çünki birinci yalnız təxmini nəticə verir.
İdeya
Diferensial hesablamada əsas ideya və konsepsiya müəyyən nöqtələrin kiçik məhəllələrindəki funksiya ilə bağlıdır. Bunun üçün müəyyən edilmiş nöqtələrin kiçik qonşuluğunda davranışı çoxhədli və ya xətti funksiyanın davranışına yaxın olan funksiyanı öyrənmək üçün riyazi aparat yaratmaq lazımdır. Bu, törəmə və diferensialın tərifinə əsaslanır.
Törəmə anlayışının yaranmasına təbiət elmləri və riyaziyyatdan gələn çoxlu sayda problem səbəb olmuşdur.bu, eyni tipli limitlərin dəyərlərinin tapılmasına səbəb oldu.
Misal olaraq orta məktəbdən başlayaraq verilən əsas problemlərdən biri düz xətt boyunca hərəkət edən nöqtənin sürətini təyin etmək və bu əyriyə toxunan xətt çəkməkdir. Diferensial bununla əlaqədardır, çünki xətti funksiyanın nəzərdən keçirilən nöqtəsinin kiçik qonşuluğunda funksiyanı təxmini etmək mümkündür.
Həqiqi dəyişən funksiyasının törəməsi anlayışı ilə müqayisədə diferensialların tərifi sadəcə olaraq ümumi xarakterli funksiyaya, xüsusən də bir Evklid fəzasının digərində təsvirinə keçir.
Törəmə
Nöqtə Oy oxu istiqamətində hərəkət etsin, anın müəyyən başlanğıcından hesablanan x-i götürdük. Belə hərəkəti y=f(x) funksiyası ilə təsvir etmək olar, bu funksiya daşınan nöqtənin koordinatının hər an x anına təyin edilir. Mexanikada bu funksiyaya hərəkət qanunu deyilir. Hərəkətin, xüsusən qeyri-bərabərliyin əsas xüsusiyyəti ani sürətdir. Nöqtə mexanika qanununa uyğun olaraq Oy oxu boyunca hərəkət etdikdə, təsadüfi zaman anında x, f (x) koordinatını alır. Δx zamanın artımını ifadə etdiyi x + Δx anında onun koordinatı f(x + Δx) olacaqdır. Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) düsturu belə yaranır ki, bu da funksiyanın artımı adlanır. O, x-dən x + Δx-ə qədər zaman nöqtəsinin keçdiyi yolu təmsil edir.
Bunun ortaya çıxması ilə əlaqədarzamanda sürət, törəmə təqdim edilir. İxtiyari funksiyada sabit nöqtədəki törəmə hədd adlanır (onun mövcud olduğunu fərz etməklə). O, müəyyən simvollarla təyin edilə bilər:
f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Törəmənin hesablanması prosesi diferensiallaşma adlanır.
Bir neçə dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı
Bu hesablama metodu bir neçə dəyişənli funksiyanın tədqiqi zamanı istifadə olunur. İki dəyişən x və y olduqda, A nöqtəsində x-ə nisbətən qismən törəmə bu funksiyanın sabit y ilə x-ə nisbətən törəməsi adlanır.
Aşağıdakı simvollarla təmsil oluna bilər:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x və ya ∂f(x, y)’/∂x.
Tələb olunan Bacarıqlar
Uğurla öyrənmək və diffuzları həll etmək üçün inteqrasiya və diferensiallaşma bacarıqları tələb olunur. Diferensial tənlikləri başa düşməyi asanlaşdırmaq üçün siz törəmə və qeyri-müəyyən inteqral mövzusunu yaxşı başa düşməlisiniz. Dolayı şəkildə verilmiş bir funksiyanın törəməsinin necə tapılacağını öyrənmək də zərər vermir. Bu, inteqralların öyrənilməsi və diferensiallaşma prosesində tez-tez istifadə edilməli olması ilə əlaqədardır.
Diferensial tənliklərin növləri
Birinci dərəcəli diferensial tənliklərlə bağlı demək olar ki, bütün test işlərində 3 növ tənlik var: homojen, ayrıla bilən dəyişənlər, xətti qeyri-homogen.
Tənliklərin daha nadir növləri də var: ümumi diferensiallarla, Bernoulli tənlikləri və başqaları.
Qərarın əsasları
İlk olaraq məktəb kursundan cəbri tənlikləri xatırlamalısınız. Onların tərkibində dəyişənlər və rəqəmlər var. Adi tənliyi həll etmək üçün verilmiş şərti ödəyən ədədlər toplusunu tapmaq lazımdır. Bir qayda olaraq, belə tənliklərin bir kökü var idi və düzgünlüyünü yoxlamaq üçün bu dəyəri naməlum ilə əvəz etmək kifayət idi.
Diferensial tənlik buna bənzəyir. Ümumiyyətlə, belə birinci dərəcəli tənliyə aşağıdakılar daxildir:
- Müstəqil dəyişən.
- Birinci funksiyanın törəməsi.
- Funksiya və ya asılı dəyişən.
Bəzi hallarda naməlumlardan biri, x və ya y əskik ola bilər, lakin bu o qədər də vacib deyil, çünki həll və diferensial üçün daha yüksək dərəcəli törəmələr olmayan birinci törəmənin olması zəruridir. düzgün hesablama.
Diferensial tənliyi həll etmək, verilmiş ifadəyə uyğun gələn bütün funksiyalar çoxluğunu tapmaq deməkdir. Belə funksiyalar toplusu çox vaxt DE-nin ümumi həlli adlanır.
İnteqral hesablama
İnteqral hesablama riyazi analizin inteqral anlayışını, xassələrini və hesablanması üsullarını öyrənən bölmələrindən biridir.
Çox vaxt inteqralın hesablanması əyri xəttin sahəsinin hesablanması zamanı baş verir. Bu sahə, verilmiş bir rəqəmdə yazılmış çoxbucaqlının sahəsinin tərəfində tədricən artımla meyl etdiyi hədd deməkdir, halbuki bu tərəflər əvvəllər göstərilən hər hansı bir ixtiyaridən daha az edilə bilər.kiçik dəyər.
İxtiyari həndəsi fiqurun sahəsinin hesablanmasında əsas fikir düzbucaqlının sahəsini hesablamaq, yəni onun sahəsinin uzunluq və enin hasilinə bərabər olduğunu sübut etməkdir. Həndəsə gəldikdə, bütün konstruksiyalar bir hökmdar və kompasdan istifadə edərək hazırlanır və sonra uzunluğun enə nisbəti rasional dəyərdir. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini hesablayarkən müəyyən edə bilərsiniz ki, əgər onun yanına eyni üçbucağı qoysanız, onda düzbucaqlı yaranır. Paraleloqramda sahə oxşar, lakin bir az daha mürəkkəb üsulla, düzbucaqlı və üçbucaq vasitəsilə hesablanır. Çoxbucaqlılarda sahə ona daxil olan üçbucaqlar vasitəsilə hesablanır.
İxtiyari əyrinin qənaətini təyin edərkən bu üsul işləməyəcək. Əgər onu tək kvadratlara bölsəniz, doldurulmamış yerlər olacaq. Bu halda, yuxarıda və aşağıda düzbucaqlı olan iki örtükdən istifadə etməyə çalışır, nəticədə bunlar funksiyanın qrafikini ehtiva edir və yoxdur. Bu düzbucaqlılara bölmə üsulu burada mühüm olaraq qalır. Həmçinin, getdikcə daha kiçik arakəsmələr götürsək, yuxarı və aşağı sahə müəyyən bir dəyərdə yaxınlaşmalıdır.
Dördbucaqlılara bölünmə üsuluna qayıtmaq lazımdır. İki məşhur üsul var.
Riemann Leybniz və Nyutonun yaratdığı inteqralın tərifini subqrafın sahəsi kimi rəsmiləşdirdi. Bu halda, müəyyən sayda şaquli düzbucaqlılardan ibarət olan və bölmək yolu ilə əldə edilən rəqəmlər nəzərdən keçirildi.seqment. Bölmə azaldıqca, oxşar fiqurun sahəsinin azaldılması limiti olduqda, bu hədd verilmiş intervalda funksiyanın Riemann inteqralı adlanır.
İkinci üsul Lebesq inteqralının qurulmasıdır ki, bu da müəyyən edilmiş sahənin inteqralın hissələrinə bölünməsi yeri üçün və sonra bu hissələrdə alınan dəyərlərdən inteqral cəminin tərtib edilməsindən ibarətdir., onun dəyər diapazonu intervallara bölünür və sonra bu inteqralların ilkin təsvirlərinin müvafiq ölçüləri ilə yekunlaşdırılır.
Müasir üstünlüklər
Differensial və inteqral hesablamanın öyrənilməsi üçün əsas dərsliklərdən biri Fixtenqolts tərəfindən yazılmışdır - "Diferensial və inteqral hesablama kursu". Onun dərsliyi bir çox nəşrlərdən və başqa dillərə tərcümələrdən keçmiş riyazi analizin öyrənilməsi üçün fundamental bələdçidir. Universitet tələbələri üçün yaradılmış və uzun müddətdir ki, bir çox təhsil müəssisələrində əsas dərs vəsaitlərindən biri kimi istifadə olunur. Nəzəri məlumatlar və praktiki bacarıqlar verir. İlk dəfə 1948-ci ildə nəşr edilib.
Funksiya tədqiqat alqoritmi
Funksiyanı diferensial hesablama metodlarından istifadə etməklə araşdırmaq üçün artıq verilmiş alqoritmə əməl etməlisiniz:
- Funksiyanın əhatə dairəsini tapın.
- Verilmiş tənliyin köklərini tapın.
- İfratları hesablayın. Bunu etmək üçün törəməni və onun sıfıra bərabər olduğu nöqtələri hesablayın.
- Nəticədə dəyəri tənliyə əvəz edin.
Diferensial tənliklərin çeşidləri
birinci dərəcəli nəzarət (əks halda, diferensi altək dəyişənli hesablama) və onların növləri:
- Ayrılan tənlik: f(y)dy=g(x)dx.
- Ən sadə tənliklər və ya bir dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı: y'=f(x).
- Xətti qeyri-homogen birinci dərəcəli DE: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernoulli diferensial tənliyi: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Cəmi diferensialları olan tənlik: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
İkinci tərtib diferensial tənliklər və onların növləri:
- Sabit əmsal qiymətli xətti ikinci dərəcəli homogen diferensial tənlik: y +py'+qy=0 p, q R-ə aiddir.
- Sabit əmsallı xətti qeyri-homogen ikinci dərəcəli diferensial tənlik: y +py'+qy=f(x).
- Xətti homojen diferensial tənlik: y +p(x)y'+q(x)y=0 və qeyri-homogen ikinci dərəcəli tənlik: y +p(x)y'+q(x)y=f(x).
Ali tərtibli diferensial tənliklər və onların növləri:
- Nizamla azaldıla bilən diferensial tənlik: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Xətti ali tərtibli homojen tənlik: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0, və qeyri-homogen: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Diferensial tənlik ilə məsələnin həlli addımları
Məsafədən idarəetmənin köməyi ilə təkcə riyazi və ya fiziki suallar deyil, həm də müxtəlif məsələlər həll olunur.biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya və s. Mövzuların müxtəlifliyinə baxmayaraq, belə problemləri həll edərkən vahid məntiqi ardıcıllığa riayət etmək lazımdır:
- Uzaqdan idarəetmənin tərtibi. Maksimum dəqiqlik tələb edən ən çətin addımlardan biri, çünki hər hansı bir səhv tamamilə yanlış nəticələrə səbəb olacaqdır. Prosesə təsir edən bütün amillər nəzərə alınmalı və ilkin şərtlər müəyyən edilməlidir. O, həmçinin faktlara və məntiqi nəticələrə əsaslanmalıdır.
- Təsvir edilmiş tənliyin həlli. Bu proses ilk addımdan daha sadədir, çünki o, yalnız ciddi riyazi hesablamalar tələb edir.
- Nəticələrin təhlili və qiymətləndirilməsi. Nəticənin praktiki və nəzəri dəyərini müəyyən etmək üçün əldə edilmiş həll qiymətləndirilməlidir.
Tibbdə diferensial tənliklərdən istifadə nümunəsi
Tibb sahəsində uzaqdan idarəetmənin istifadəsi epidemioloji riyazi modelin qurulması zamanı baş verir. Eyni zamanda, unutmaq olmaz ki, bu tənliklərə tibbə yaxın olan biologiya və kimyada da rast gəlinir, çünki burada müxtəlif bioloji populyasiyaların və insan orqanizmində gedən kimyəvi proseslərin öyrənilməsi mühüm rol oynayır.
Yuxarıdakı epidemiya nümunəsində təcrid olunmuş bir cəmiyyətdə infeksiyanın yayılmasını nəzərdən keçirə bilərik. Sakinlər üç növə bölünür:
- Hər biri yoluxucu (inkubasiya dövrü qısadır) olan fərdlərdən, infeksiya daşıyıcılarından ibarət olan x(t) nömrəsi.
- İkinci növə daxildiryoluxmuş şəxslərlə təmasda yoluxmağa qadir olan həssas fərdlər.
- Üçüncü növə immun olan və ya xəstəlik səbəbindən ölmüş immun fərdlər z(t) daxildir.
Şəxslərin sayı sabitdir, doğumlar, təbii ölümlər və miqrasiya nəzərə alınmır. Əsasda iki fərziyyə olacaq.
Müəyyən zaman nöqtəsində insident faizi x(t)y(t) təşkil edir (halların sayının xəstə və həssas nümayəndələr arasındakı kəsişmələrin sayına mütənasib olması nəzəriyyəsinə əsaslanaraq, birinci yaxınlaşma x(t)y(t) ilə mütənasib olacaq), bununla əlaqədar olaraq halların sayı artır və həssasların sayı ax(t)y(t) düsturu ilə hesablanan sürətlə azalır. a > 0).
İmmunitet qazanmış və ya ölən immun fərdlərin sayı halların sayına mütənasib sürətlə artır, bx(t) (b > 0).
Nəticədə siz hər üç göstəricini nəzərə alaraq tənliklər sistemi qura və onun əsasında nəticə çıxara bilərsiniz.
İqtisadiyyat nümunəsi
İqtisadi təhlildə diferensial hesabdan tez-tez istifadə olunur. İqtisadi təhlildə əsas vəzifə iqtisadiyyatdan funksiya şəklində yazılan kəmiyyətlərin öyrənilməsidir. Bu, vergilərin artırılmasından dərhal sonra gəlirlərin dəyişməsi, rüsumların tətbiqi, istehsalın maya dəyəri dəyişdikdə şirkət gəlirlərinin dəyişməsi, təqaüdçü işçilərin hansı nisbətdə yeni avadanlıqla əvəz edilə biləcəyi kimi problemləri həll edərkən istifadə olunur. Belə məsələləri həll etmək lazımdırsonra diferensial hesablamadan istifadə etməklə öyrənilən daxil dəyişənlərindən əlaqə funksiyası qurun.
İqtisadi sferada çox vaxt ən optimal göstəriciləri tapmaq lazımdır: maksimum əmək məhsuldarlığı, ən yüksək gəlir, ən aşağı xərclər və s. Hər bir belə göstərici bir və ya bir neçə arqumentin funksiyasıdır. Məsələn, istehsala əmək və kapital daxilolmalarının funksiyası kimi baxmaq olar. Bu baxımdan, uyğun dəyərin tapılması bir və ya bir neçə dəyişəndən funksiyanın maksimum və ya minimumunun tapılmasına endirilə bilər.
Bu qəbildən olan problemlər iqtisadi sahədə ekstremal problemlər sinfini yaradır, onların həlli diferensial hesablama tələb edir. İqtisadi göstəricini başqa bir göstəricinin funksiyası kimi minimuma endirmək və ya maksimumlaşdırmaq lazım olduqda, maksimum nöqtədə, arqumentin artımı sıfıra meyl edərsə, funksiyanın artımının arqumentlərə nisbəti sıfıra meyl edəcəkdir. Əks halda, belə bir nisbət hansısa müsbət və ya mənfi dəyərə meyl etdikdə, göstərilən nöqtə uyğun deyil, çünki arqumenti artırmaq və ya az altmaqla asılı dəyəri lazımi istiqamətdə dəyişə bilərsiniz. Diferensial hesablama terminologiyasında bu o demək olacaq ki, funksiyanın maksimumu üçün tələb olunan şərt onun törəməsinin sıfır qiymətidir.
İqtisadiyyatda bir neçə dəyişəni olan funksiyanın ekstremumunu tapmaqda çox vaxt problemlər yaranır, çünki iqtisadi göstəricilər bir çox amillərdən ibarətdir. Bu kimi suallar yaxşıdır.diferensial hesablama üsullarını tətbiq etməklə bir neçə dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsində öyrənilmişdir. Belə problemlərə təkcə maksimum və minimuma endirilmiş funksiyalar deyil, həm də məhdudiyyətlər daxildir. Bu cür suallar riyazi proqramlaşdırma ilə bağlıdır və onlar xüsusi işlənmiş metodların köməyi ilə, həmçinin bu elm sahəsinə əsaslanaraq həll edilir.
İqtisadiyyatda istifadə olunan diferensial hesablama üsulları arasında mühüm bölmə marjinal təhlildir. İqtisadi sferada bu termin, onların marjinal göstəricilərinin təhlili əsasında yaradılması, istehlakı həcminin dəyişdirilməsi zamanı dəyişən göstəricilərin və nəticələrin öyrənilməsi üsullarının məcmusuna aiddir. Məhdudlaşdırıcı göstərici bir neçə dəyişəni olan törəmə və ya qismən törəmədir.
Bir neçə dəyişənin diferensial hesabı riyazi analiz sahəsində mühüm mövzudur. Ətraflı araşdırma üçün ali təhsil üçün müxtəlif dərsliklərdən istifadə edə bilərsiniz. Ən məşhurlarından biri Fikhtengolts tərəfindən yaradılmışdır - "Diferensial və inteqral hesablama kursu". Adından da göründüyü kimi, inteqrallarla işləmək bacarığı diferensial tənliklərin həlli üçün böyük əhəmiyyət kəsb edir. Bir dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı baş verdikdə, həlli daha sadə olur. Baxmayaraq ki, qeyd etmək lazımdır ki, eyni əsas qaydalara tabedir. Funksiyanı diferensial hesablama ilə praktikada öyrənmək üçün orta məktəbdə verilən və yeniləri tətbiq edildikdə bir qədər mürəkkəbləşən artıq mövcud olan alqoritmə əməl etmək kifayətdir.dəyişənlər.
