Ehtimal nəzəriyyəsi riyaziyyatın yalnız ali təhsil müəssisələrinin tələbələri tərəfindən öyrənilən xüsusi sahəsidir. Siz hesablamaları və düsturları sevirsiniz? Diskret təsadüfi dəyişənin normal paylanması, ansamblın entropiyası, riyazi gözlənti və dispersiya ilə tanışlıq perspektivlərindən qorxmursunuz? O zaman bu mövzu sizin üçün çox maraqlı olacaq. Gəlin elmin bu bölməsinin ən mühüm əsas anlayışlarından bəziləri ilə tanış olaq.
Əsasları xatırlayın
Ehtimal nəzəriyyəsinin ən sadə anlayışlarını xatırlasanız belə, məqalənin ilk bəndlərini nəzərdən qaçırmayın. Fakt budur ki, əsasları dəqiq başa düşmədən siz aşağıda müzakirə olunan düsturlarla işləyə bilməyəcəksiniz.
Beləliklə, bəzi təsadüfi hadisə, bəzi təcrübə var. Görülən hərəkətlər nəticəsində bir neçə nəticə əldə edə bilərik - onlardan bəziləri daha çox yayılmışdır, digərləri isə daha azdır. Hadisənin baş vermə ehtimalı bir növdən faktiki alınan nəticələrin sayının mümkün olanların ümumi sayına nisbətidir. Yalnız bu anlayışın klassik tərifini bilməklə, davamlı riyazi gözləntiləri və dispersiyanı öyrənməyə başlaya bilərsiniz.təsadüfi dəyişənlər.
Arifmetik orta
Hətta məktəbdə riyaziyyat dərslərində arifmetik orta ilə işləməyə başladın. Bu konsepsiya ehtimal nəzəriyyəsində geniş istifadə olunur və buna görə də onu nəzərdən qaçırmaq olmaz. Hazırda bizim üçün əsas odur ki, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyaları üçün düsturlarda onunla qarşılaşacağıq.
Bizim ədədlər ardıcıllığı var və arifmetik ortanı tapmaq istəyirik. Bizdən tələb olunan hər şey mövcud olan hər şeyi cəmləmək və ardıcıllıqla elementlərin sayına bölməkdir. 1-dən 9-a qədər rəqəmlərimiz olsun. Elementlərin cəmi 45 olacaq və biz bu dəyəri 9-a böləcəyik. Cavab: - 5.
Dispersiya
Elmi dillə desək, dispersiya əldə edilmiş xüsusiyyət qiymətlərinin arifmetik ortadan kənarlaşmalarının orta kvadratıdır. Biri böyük latın D hərfi ilə işarələnir. Onu hesablamaq üçün nə lazımdır? Ardıcıllığın hər bir elementi üçün mövcud ədədlə arifmetik orta arasındakı fərqi hesablayırıq və kvadratını alırıq. Nəzərdən keçirdiyimiz hadisə üçün nəticələr ola biləcək qədər çox dəyər olacaq. Sonra, alınan hər şeyi ümumiləşdiririk və ardıcıllıqdakı elementlərin sayına bölürük. Əgər beş mümkün nəticəmiz varsa, onda beşə bölün.
Dispersiyanın həmçinin problemləri həll edərkən tətbiq etmək üçün yadda saxlamalı olduğunuz xüsusiyyətlər var. Məsələn, təsadüfi dəyişən X dəfə artırsa, dispersiya kvadratdan X dəfə artır (yəni XX). Heç vaxt sıfırdan az deyil və ondan asılı deyildəyərləri bərabər dəyərlə yuxarı və ya aşağı dəyişdirmək. Həmçinin, müstəqil sınaqlar üçün cəmin dispersiyası fərqlərin cəminə bərabərdir.
İndi biz mütləq diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyasına və riyazi gözləntiyə dair nümunələri nəzərdən keçirməliyik.
Fərz edək ki, biz 21 təcrübə keçirdik və 7 fərqli nəticə əldə etdik. Onların hər birini müvafiq olaraq 1, 2, 2, 3, 4, 4 və 5 dəfə müşahidə etdik. Fərq nə olacaq?
İlk olaraq orta arifmetiki hesablayaq: elementlərin cəmi, təbii ki, 21-dir. Onu 7-yə bölün, 3 əldə edin. İndi ilkin ardıcıllıqdakı hər nömrədən 3 çıxın, hər dəyərin kvadratına salın və əlavə edin. nəticələr birlikdə. Belə çıxır ki, 12. İndi bizə nömrəni elementlərin sayına bölmək qalır və deyəsən, hamısı budur. Ancaq bir tutma var! Gəlin bunu müzakirə edək.
Təcrübələrin sayından asılılıq
Məlum olur ki, dispersiya hesablanarkən məxrəc iki ədəddən biri ola bilər: ya N, ya da N-1. Burada N yerinə yetirilən təcrübələrin sayı və ya ardıcıllıqdakı elementlərin sayıdır (bu, əslində eynidir). Bu nədən asılıdır?
Əgər testlərin sayı yüzlərlə ölçülürsə, onda məxrəcə N qoymalıyıq. Vahidlərlədirsə, N-1. Alimlər sərhədi kifayət qədər simvolik şəkildə çəkmək qərarına gəldilər: bu gün o, 30 rəqəmi boyunca uzanır. Əgər biz 30-dan az təcrübə aparmışıqsa, onda məbləği N-1-ə, çox olarsa, N-ə böləcəyik.
Tapşırıq
Gəlin dispersiya və gözləmə probleminin həlli nümunəmizə qayıdaq. BizN və ya N-1-ə bölünməli olan 12 aralıq nömrəsini aldı. 30-dan az olan 21 təcrübə apardığımız üçün ikinci variantı seçəcəyik. Cavab belədir: dispersiya 12 / 2=2.
Gözlənti
Bu məqalədə nəzərdən keçirməli olduğumuz ikinci konsepsiyaya keçək. Riyazi gözlənti bütün mümkün nəticələrin müvafiq ehtimallara vurulmasının əlavə edilməsinin nəticəsidir. Nəticələrin sayından asılı olmayaraq, əldə edilən dəyər, eləcə də dispersiyanın hesablanması nəticəsi bütün tapşırıq üçün yalnız bir dəfə alındığını başa düşmək vacibdir.
Gözlənti düsturu olduqca sadədir: biz nəticə çıxarırıq, onu ehtimalına vururuq, ikinci, üçüncü nəticə üçün eynisini əlavə edirik və s. Bu konsepsiya ilə bağlı hər şeyi hesablamaq asandır. Məsələn, riyazi gözləntilərin cəmi cəminin riyazi gözləntisinə bərabərdir. Eyni şey iş üçün də keçərlidir. Ehtimal nəzəriyyəsindəki hər kəmiyyət belə sadə əməliyyatları yerinə yetirməyə imkan vermir. Tapşırığı götürək və eyni anda öyrəndiyimiz iki anlayışın dəyərini hesablayaq. Üstəlik, nəzərimizdən yayınmışdıq - artıq məşq etmək vaxtıdır.
Başqa bir misal
50 sınaq keçirdik və müxtəlif faizlərdə görünən 10 növ nəticə əldə etdik - 0-dan 9-a qədər rəqəmlər. Bunlar müvafiq olaraq: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Xatırladaq ki, ehtimalları əldə etmək üçün faiz dəyərlərini 100-ə bölmək lazımdır. Beləliklə, biz 0,02 alırıq; 0, 1 və s. Təsadüfi variasiya üçün təmsil edəkproblemin həlli üçün dəyər və riyazi gözlənti nümunəsi.
İbtidai məktəbdən xatırladığımız düsturdan istifadə edərək arifmetik ortanı hesablayın: 50/10=5.
İndi isə hesablamağı asanlaşdırmaq üçün ehtimalları nəticələrin sayına "parça şəklində" çevirək. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 və 9 alırıq. Alınan hər bir dəyərdən arifmetik ortanı çıxarırıq, bundan sonra əldə edilən nəticələrin hər birinin kvadratını alırıq. Nümunə olaraq birinci elementdən istifadə edərək bunu necə edəcəyinə baxın: 1 - 5=(-4). Əlavə: (-4)(-4)=16. Digər dəyərlər üçün bu əməliyyatları özünüz edin. Hər şeyi düzgün etmisinizsə, bütün aralıq nəticələri əlavə etdikdən sonra 90 əldə edəcəksiniz.
90-ı N-ə bölməklə dispersiya və orta hesablamağa davam edin. Nə üçün biz N-1 deyil, N-ni seçirik? Düzdü, çünki həyata keçirilən təcrübələrin sayı 30-u keçir. Beləliklə: 90/10=9. Biz dispersiyanı əldə etdik. Fərqli bir nömrə alsanız, ümidsiz olmayın. Çox güman ki, hesablamalarda banal səhv etdiniz. Yazdıqlarınızı iki dəfə yoxlayın və hər şey mütləq yerinə düşəcək.
Nəhayət, gözlənti düsturunu xatırlayaq. Bütün hesablamaları verməyəcəyik, yalnız bütün tələb olunan prosedurları yerinə yetirdikdən sonra yoxlaya biləcəyiniz cavabı yazacağıq. Gözlənti 5, 48-ə bərabər olacaq. Biz yalnız birinci elementlərin nümunəsindən istifadə edərək əməliyyatların necə aparılacağını xatırlayırıq: 00, 02 + 10, 1… və s. Gördüyünüz kimi, biz sadəcə olaraq nəticənin dəyərini onun ehtimalına vururuq.
Sayma
Varisiya və gözlənilən dəyərlə yaxından əlaqəli başqa bir anlayışdırstandart sapma. O, ya latın hərfləri ilə sd, ya da yunanca kiçik "sigma" ilə işarələnir. Bu konsepsiya dəyərlərin orta hesabla mərkəzi xüsusiyyətdən necə kənara çıxdığını göstərir. Onun dəyərini tapmaq üçün dispersiyanın kvadrat kökünü hesablamalısınız.
Normal paylanmanın qrafikini qurursanız və standart kənarlaşmanın qiymətini birbaşa onun üzərində görmək istəyirsinizsə, bu, bir neçə mərhələdə həyata keçirilə bilər. Şəklin yarısını rejimin soluna və ya sağına çəkin (mərkəzi dəyər), üfüqi oxa perpendikulyar çəkin ki, yaranan fiqurların sahələri bərabər olsun. Paylanmanın ortası ilə üfüqi oxa nəticə proyeksiyası arasındakı seqmentin dəyəri standart kənarlaşma olacaq.
Proqram təminatı
Düsturların təsvirindən və təqdim olunan nümunələrdən göründüyü kimi, dispersiya və riyazi gözləntilərin hesablanması arifmetik nöqteyi-nəzərdən ən asan prosedur deyil. Vaxt itirməmək üçün ali təhsildə istifadə olunan proqramdan istifadə etmək məqsədəuyğundur - bu, "R" adlanır. O, statistika və ehtimal nəzəriyyəsindən bir çox anlayışlar üçün dəyərləri hesablamağa imkan verən funksiyalara malikdir.
Məsələn, siz dəyərlər vektorunu təyin edirsiniz. Bu, aşağıdakı kimi edilir: vektor <-c(1, 5, 2…). İndi bu vektor üçün bəzi dəyərləri hesablamaq lazım olduqda, bir funksiya yazır və onu arqument kimi verirsiniz. Variasiyanı tapmaq üçün var istifadə etməlisiniz. Onun bir nümunəsiistifadə: var(vektor). Sonra sadəcə "enter" düyməsini basın və nəticəni əldə edin.
Sonda
Varisiya və riyazi gözlənti ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarıdır, onlarsız gələcəkdə nəyisə hesablamaq çətindir. Universitetlərdə mühazirələrin əsas kursunda onlar artıq mövzunun öyrənilməsinin ilk aylarında nəzərdən keçirilir. Məhz bu sadə məfhumları dərk etmədiklərinə və onları hesablaya bilməmələrinə görə bir çox tələbələr proqramdan dərhal geri qalmağa başlayır və sonradan sessiyanın sonunda zəif qiymətlər alır və bu da onları təqaüddən məhrum edir.
Bu məqalədə təqdim olunanlara bənzər problemləri həll edərək gündə yarım saat ən azı bir həftə məşq edin. Sonra hər hansı ehtimal nəzəriyyəsi testində siz kənar məsləhətlər və fırıldaqçı vərəqlər olmadan nümunələrin öhdəsindən gələcəksiniz.
