Dünya elə qurulub ki, çoxlu sayda məsələlərin həlli kvadrat tənliyin köklərini tapmağa gəlir. Tənliklərin kökləri müxtəlif nümunələri təsvir etmək üçün vacibdir. Bu, hətta qədim Babilin tədqiqatçılarına məlum idi. Astronomlar və mühəndislər də bu cür problemləri həll etmək məcburiyyətində qaldılar. Hələ eramızın 6-cı əsrində hind alimi Aryabhata kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün əsasları işləyib hazırladı. Düsturlar 19-cu əsrdə tamamlandı.
Ümumi anlayışlar
Sizi kvadrat bərabərliklərin əsas qanunauyğunluqları ilə tanış olmağa dəvət edirik. Ümumilikdə bərabərlik aşağıdakı kimi yazıla bilər:
ax2 + bx + c=0, Kvadrat tənliyin köklərinin sayı bir və ya ikiyə bərabər ola bilər. Diskriminant anlayışından istifadə edərək sürətli təhlil edilə bilər:
D=b2 - 4ac
Hesablanmış dəyərdən asılı olaraq əldə edirik:
- D > 0 olduqda iki fərqli kök var. Kvadrat tənliyin köklərini təyin etmək üçün ümumi düstur (-b± √D) / (2a) kimi görünür.
- D=0, bu halda kök birdir və x=-b / (2a) dəyərinə uyğundur
- D < 0, diskriminantın mənfi dəyəri üçün tənliyin həlli yoxdur.
Qeyd: diskriminant mənfi olarsa, tənliyin yalnız həqiqi ədədlər bölgəsində kökləri yoxdur. Əgər cəbr mürəkkəb köklər anlayışına qədər genişləndirilirsə, onda tənliyin həlli var.
Kökləri tapmaq üçün düsturu təsdiq edən hərəkətlər silsiləsi verək.
Tənliyin ümumi formasından belə çıxır:
ax2 + bx=-c
Sağ və sol hissələri 4a-ya vurub b2 əlavə edirik,alırıq
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Sol tərəfi polinomun kvadratına çevirin (2ax + b)2. 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2 tənliyinin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü çıxarırıq, b əmsalını sağ tərəfə köçürür, alırıq:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Buradan:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Göstərmək üçün nə tələb olunurdu.
Xüsusi hal
Bəzi hallarda problemin həlli sadələşdirilə bilər. Beləliklə, bərabər b əmsalı üçün daha sadə düstur alırıq.
k=1/2b işarələyin, onda kvadrat tənliyin köklərinin ümumi formasının düsturu formanı alır:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
D=0 olduqda x=-k / a alırıq
Digər xüsusi hal a=1 olan tənliyin həllidir.
x2 + bx + c=0 forması üçün köklər x=-k ± √(k2 - c olacaq) diskriminant 0-dan böyük olan. D=0 olduğu halda kök sadə düsturla müəyyən ediləcək: x=-k.
Qrafiklərdən istifadə edin
İstənilən insan, özü də bilmədən, davamlı olaraq kvadrat funksiya ilə yaxşı təsvir edilən fiziki, kimyəvi, bioloji və hətta sosial hadisələrlə qarşılaşır.
Qeyd: kvadratik funksiya əsasında qurulmuş əyriyə parabola deyilir.
Budur bəzi nümunələr.
- Mərminin trayektoriyasını hesablayarkən üfüqə bucaq altında atılan cismin parabolası boyunca hərəkət xüsusiyyətindən istifadə edilir.
- Parabolanın yükü bərabər paylamaq xüsusiyyəti memarlıqda geniş istifadə olunur.
Parabolik funksiyanın əhəmiyyətini başa düşərək, "diskriminant" və "kvadrat tənliyin kökləri" anlayışlarından istifadə edərək, onun xassələrini araşdırmaq üçün qrafikdən necə istifadə edəcəyimizi anlayaq.
a və b əmsallarının qiymətindən asılı olaraq əyrinin mövqeyi üçün yalnız altı variant var:
- Driminant müsbətdir, a və b fərqli işarələrə malikdir. Parabolanın budaqları yuxarıya baxır, kvadrat tənliyin iki həlli var.
- Diskriminant və b əmsalı sıfıra bərabərdir, a əmsalı sıfırdan böyükdür. Qrafik müsbət zonadadır, tənliyin 1 kökü var.
- Diskriminant və bütün əmsallar müsbətdir. Kvadrat tənliyin həlli yoxdur.
- Diskriminant və a əmsalı mənfidir, b sıfırdan böyükdür. Qrafikin budaqları aşağıya doğru yönəldilmişdir, tənliyin iki kökü var.
- Diskriminant vəb əmsalı sıfıra bərabərdir, a əmsalı mənfidir. Parabola aşağı baxır, tənliyin bir kökü var.
- Diskriminantın və bütün əmsalların dəyərləri mənfidir. Heç bir həll yolu yoxdur, funksiya dəyərləri tamamilə mənfi zonadadır.
Qeyd: a=0 variantı nəzərə alınmır, çünki bu halda parabola düz xəttə çevrilir.
Yuxarıdakıların hamısı aşağıdakı şəkildə yaxşı təsvir edilmişdir.
Problemin həlli nümunələri
Şərt: ümumi xassələrdən istifadə edərək, kökləri bir-birinə bərabər olan kvadratik tənlik qurun.
Həll:
problemin şərtinə görə x1 =x2, və ya -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Qeydin sadələşdirilməsi:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, mötərizələri açın və oxşar şərtləri verin. Tənlik 2√(b2 - 4ac)=0 olur. Bu ifadə b2 - 4ac=0 olduqda doğrudur, buna görə də b 2=4ac, onda b=2√(ac) dəyəritənliyində əvəz olunur
ax2 + 2√(ac)x + c=0, azaldılmış formada x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Cavab:
0-a bərabər olmayan və hər hansı c üçün, b=2√(c / a) olarsa, yalnız bir həll var.
Kvadrik tənliklər bütün sadəliyinə baxmayaraq mühəndislik hesablamalarında böyük əhəmiyyət kəsb edir. Demək olar ki, hər hansı bir fiziki proses istifadə edərək müəyyən yaxınlaşma ilə təsvir edilə bilərnizamın güc funksiyaları n. Kvadrat tənlik ilk belə yaxınlaşma olacaq.
