9-cu sinifdə məktəblərdə cəbrin ümumi kursunda "Arifmetik irəliləyiş" mövzusu öyrənilir. Bu mövzu ədədlər silsiləsi riyaziyyatının daha da dərindən öyrənilməsi üçün vacibdir. Bu yazıda biz arifmetik irəliləyiş, onun fərqi, eləcə də məktəblilərin qarşılaşa biləcəyi tipik tapşırıqlarla tanış olacağıq.
Cəbri irəliləmə anlayışı
Rəqəmsal irəliləyiş bəzi riyazi qanun tətbiq edilərsə, hər bir sonrakı elementin əvvəlki elementdən alına bildiyi ədədlər ardıcıllığıdır. Proqresiyanın iki sadə növü var: həndəsi və arifmetik ki, bu da cəbri adlanır. Gəlin bunun üzərində daha ətraflı dayanaq.
Bir az rasional ədəd təsəvvür edək, onu a1 simvolu ilə işarə edək, burada indeks nəzərdən keçirilən seriyada onun sıra nömrəsini göstərir. a1 nömrəsinə başqa bir ədəd əlavə edək, onu d ilə işarə edək. Sonra ikinciseriyanın elementi aşağıdakı kimi əks etdirilə bilər: a2=a1+d. İndi yenidən d əlavə edin, əldə edirik: a3=a2+d. Bu riyazi əməliyyatı davam etdirərək, siz arifmetik irəliləyiş adlanacaq tam bir sıra ədədlər əldə edə bilərsiniz.
Yuxarıdakılardan başa düşüldüyü kimi, bu ardıcıllığın n-ci elementini tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə etməlisiniz: a =a1+ (n -1)d. Həqiqətən də, ifadədə n=1-i əvəz etməklə, 1=a1 alırıq, əgər n=2 olarsa, onda düstur nəzərdə tutur: a2=a1 + 1d və s.
Məsələn, arifmetik irəliləyişin fərqi 5-dirsə və a1=1 olarsa, bu o deməkdir ki, sözügedən tipin ədəd seriyası belə görünür: 1, 6, 11, 16, 21, … Gördüyünüz kimi, onun şərtlərinin hər biri əvvəlkindən 5 böyükdür.
Arifmetik irəliləyiş fərqi üçün düsturlar
Nəzərdən keçən ədədlər seriyasının yuxarıdakı tərifindən belə çıxır ki, onu müəyyən etmək üçün iki ədəd bilmək lazımdır: a1 və d. Sonuncu bu irəliləyişin fərqi adlanır. Bütün seriyanın davranışını unikal şəkildə müəyyənləşdirir. Həqiqətən, d müsbət olarsa, o zaman ədəd seriyası daim artacaq, əksinə, mənfi d vəziyyətində, seriyadakı ədədlər yalnız modul olaraq artacaq, onların mütləq dəyəri isə n ədədinin artması ilə azalacaq.
Arifmetik irəliləyişin fərqi nədir? Bu dəyəri hesablamaq üçün istifadə olunan iki əsas düsturları nəzərdən keçirin:
- d=an+1-a , bu düstur birbaşa sözügedən ədəd seriyasının tərifindən irəli gəlir.
- d=(-a1+a)/(n-1), bu ifadə verilmiş düsturdan d ifadəsi ilə alınır məqalənin əvvəlki bəndində. Qeyd edək ki, n=1 olduqda bu ifadə qeyri-müəyyən olur (0/0). Bu onunla əlaqədardır ki, seriyanın fərqini müəyyən etmək üçün onun ən azı 2 elementini bilmək lazımdır.
Bu iki əsas düstur irəliləyiş fərqini tapmaq üçün istənilən problemi həll etmək üçün istifadə olunur. Bununla belə, bilməli olduğunuz başqa bir düstur var.
İlk elementlərin cəmi
Cəbri irəliləyişin istənilən sayda üzvlərinin cəmini təyin etmək üçün istifadə oluna bilən düstur, tarixi sübutlara görə, ilk dəfə 18-ci əsr riyaziyyatının "şahzadəsi" Karl Qauss tərəfindən əldə edilmişdir. Alman alimi hələ kənd məktəbinin ibtidai siniflərində oxuyarkən qeyd etdi ki, 1-dən 100-ə qədər sıradakı natural ədədləri toplamaq üçün əvvəlcə birinci elementlə sonuncunu cəmləmək lazımdır (nəticədə qiymət bərabər olacaq). sondan əvvəlki və ikinci, sondan əvvəlki və üçüncü elementlərin cəminə və s.) və sonra bu rəqəm bu məbləğlərin sayına, yəni 50-yə vurulmalıdır.
Müəyyən bir misalda göstərilən nəticəni əks etdirən düstur ixtiyari hal üçün ümumiləşdirilə bilər. Bu belə görünəcək: S =n/2(a +a1). Qeyd edək ki, göstərilən dəyəri tapmaq üçün d fərqini bilmək tələb olunmur,irəliləyişin iki şərti məlumdursa (a və a1).
Nümunə №1. a1 və an
seriyasının iki şərtini bilməklə fərqi müəyyənləşdirin
Yuxarıda qeyd olunan düsturları məqalədə necə tətbiq edəcəyimizi göstərək. Sadə bir misal verək: arifmetik irəliləyişin fərqi məlum deyil, a13=-5, 6 və a1 olarsa, onun nəyə bərabər olacağını müəyyən etmək lazımdır. =-12, 1.
Ədədi ardıcıllığın iki elementinin qiymətlərini bildiyimizə və onlardan biri birinci rəqəm olduğuna görə, d fərqini təyin etmək üçün 2 nömrəli düsturdan istifadə edə bilərik. Bizdə: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. İfadədə biz n=13 dəyərindən istifadə etdik, çünki bu seriya nömrəsi olan üzv məlumdur.
Yaradılan fərq problemin şərtində verilmiş elementlərin mənfi qiymətə malik olmasına baxmayaraq, irəliləyişin artdığını göstərir. Görünür ki, a13>a1, baxmayaraq ki, |a13|<|a 1 |.
Nümunə №2. №1
nümunəsindəki irəliləyişin müsbət üzvləri
Yeni problemi həll etmək üçün əvvəlki nümunədə əldə edilən nəticədən istifadə edək. O, aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: №1 misalda irəliləyişin elementləri hansı ardıcıllıq nömrəsindən müsbət qiymət almağa başlayır?
Göstərildiyi kimi, a1=-12, 1 və d=0 olan irəliləyiş. 54167 artır, ona görə də bəzi nömrələrdən rəqəmlər yalnız müsbət almağa başlayacaq dəyərlər. Bu n ədədini təyin etmək üçün sadə bərabərsizliyi həll etmək lazımdır, yəniriyazi olaraq aşağıdakı kimi yazılır: a >0 və ya müvafiq düsturdan istifadə edərək bərabərsizliyi yenidən yazırıq: a1 + (n-1)d>0. Naməlum n-i tapmaq lazımdır, onu ifadə edək: n>-1a1/d + 1. İndi fərqin və birinci üzvün məlum qiymətlərini əvəz etmək qalır. ardıcıllığın. Alırıq: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 və ya n>23, 338. n yalnız tam ədədlər qəbul edə bildiyindən, yaranan bərabərsizlikdən belə çıxır ki, silsilənin istənilən üzvləri 23-dən böyük rəqəm müsbət olacaq.
Bu arifmetik irəliləyişin 23-cü və 24-cü elementlərini hesablamaq üçün yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək cavabınızı yoxlayın. Bizdə: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (mənfi rəqəm); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (müsbət dəyər). Beləliklə, alınan nəticə düzgündür: n=24-dən başlayaraq, nömrələr seriyasının bütün üzvləri sıfırdan böyük olacaq.
Nümunə №3. Neçə log uyğun olacaq?
Maraqlı bir problem verək: ağac kəsmə zamanı aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi kəsilmiş logları üst-üstə yığmaq qərara alındı. Ümumilikdə 10 cərgənin sığacağını bilə-bilə neçə jurnalı bu şəkildə yığmaq olar?
Lentləri yığmağın bu üsulunda bir maraqlı şeyi müşahidə edə bilərsiniz: hər bir sonrakı cərgədə əvvəlkindən bir az log olacaq, yəni fərqi d=1 olan cəbri irəliləyiş var. Hər cərgədəki qeydlərin sayının bu irəliləyişin üzvü olduğunu fərz etsək,və həmçinin nəzərə alsaq ki, a1=1 (yalnız bir log ən yuxarıda yerləşəcək), biz a10 rəqəmini tapırıq. Bizdə: a10=1 + 1(10-1)=10. Yəni yerdə uzanan 10-cu cərgədə 10 log olacaq.
Bu "piramidal" konstruksiyanın ümumi məbləğini Gauss düsturundan istifadə etməklə əldə etmək olar. Alırıq: S10=10/2(10+1)=55 qeyd.
