Cəbri bərabərsizliklər və ya onların həlli inteqral və ya tam ədədlərdə axtarılan rasional əmsallı sistemləri. Bir qayda olaraq, Diophantine tənliklərində naməlumların sayı daha çoxdur. Beləliklə, onlar qeyri-müəyyən bərabərsizliklər kimi də tanınırlar. Müasir riyaziyyatda yuxarıdakı konsepsiya həlli Q-rasional dəyişənlər sahəsinin, p-adik dəyişənlər sahəsinin və s. sahəsinin bir qədər genişlənməsinin cəbri tam ədədlərində axtarılan cəbri tənliklərə tətbiq edilir.
Bu bərabərsizliklərin mənşəyi
Diofantin tənliklərinin tədqiqi ədədlər nəzəriyyəsi ilə cəbr həndəsəsinin sərhədindədir. Tam dəyişənlərdə həll yollarının tapılması ən qədim riyazi problemlərdən biridir. Artıq eramızdan əvvəl II minilliyin əvvəllərində. qədim babillilər iki naməlumlu tənliklər sistemini həll edə bildilər. Riyaziyyatın bu sahəsi ən çox qədim Yunanıstanda inkişaf etmişdir. Diofantın arifmetikası (təxminən eramızın III əsri) müxtəlif növ və tənlik sistemlərini ehtiva edən əhəmiyyətli və əsas mənbədir.
Bu kitabda Diophantus ikinci və üçüncü bərabərsizlikləri öyrənmək üçün bir sıra üsulları qabaqcadan görmüşdü.19-cu əsrdə tam inkişaf etmiş dərəcələr. Qədim Yunanıstanın bu tədqiqatçısı tərəfindən rasional ədədlər nəzəriyyəsinin yaradılması onun kitabında sistemli şəkildə izlənilən qeyri-müəyyən sistemlərin məntiqi həllərinin təhlilinə gətirib çıxardı. Onun işində spesifik Diofant tənliklərinin həlli yolları olsa da, onun bir neçə ümumi metodla da tanış olduğunu düşünməyə əsas var.
Bu bərabərsizliklərin öyrənilməsi adətən ciddi çətinliklərlə əlaqələndirilir. Onların tərkibində F (x, y1, …, y) tam əmsallı çoxhədlilər olduğuna görə. Buna əsaslanaraq, hər hansı verilmiş x üçün F (x, y1, …., ytənliyinin olub-olmamasını müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilən vahid alqoritmin olmadığı qənaətinə gəlindi.). Vəziyyət y1, …, y üçün həll edilə bilər. Bu cür çoxhədlilərə nümunələr yazıla bilər.
Ən sadə bərabərsizlik
ax + by=1, burada a və b nisbətən tam və sadə ədədlərdir, onun çoxlu sayda icrası var (əgər x0, y0 nəticə formalaşır, sonra x=x0 + b və y=y0 dəyişənlər cütü -an, burada n ixtiyaridir, eyni zamanda bərabərsizlik kimi qəbul ediləcək). Diofant tənliklərinin başqa bir nümunəsi x2 + y2 =z2-dir. Bu bərabərsizliyin müsbət inteqral həlləri x, y və düz üçbucaqların kiçik tərəflərinin uzunluqları, eləcə də yan ölçüləri tam ədəd olan z hipotenuzasıdır. Bu rəqəmlər Pifaqor nömrələri kimi tanınır. Göstərilən əsas ilə əlaqədar bütün üçlükləryuxarıdakı dəyişənlər x=m2 – n2 ilə verilir, y=2mn, z=m2+ n2, burada m və n tam və sadə ədədlərdir (m>n>0).
Diophantus "Arifmetika"sında öz bərabərsizliklərinin xüsusi növlərinin rasional (mütləq inteqral deyil) həll yollarını axtarır. Birinci dərəcəli diofant tənliklərinin həlli üçün ümumi nəzəriyyə 17-ci əsrdə C. G. Baschet tərəfindən hazırlanmışdır. 19-cu əsrin əvvəllərində digər elm adamları əsasən ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0 kimi oxşar bərabərsizlikləri tədqiq etdilər. burada a, b, c, d, e və f ümumi, heterojendir, ikinci dərəcəli iki naməlumdur. Lagrange öz tədqiqatında davamlı fraksiyalardan istifadə etmişdir. Kvadrat formalar üçün Gauss bəzi həll növlərinin əsasını təşkil edən ümumi nəzəriyyə işləyib hazırladı.
Bu ikinci dərəcəli bərabərsizliklərin tədqiqində yalnız 20-ci əsrdə əhəmiyyətli irəliləyiş əldə edilmişdir. A. Thue tapdı ki, Diofant tənliyi a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, burada n≧3, a0, …, a , c tam ədədlər və a0tn + …+ a sonsuz sayda tam həllə malik ola bilməz. Bununla belə, Thue metodu düzgün inkişaf etdirilməmişdir. A. Beyker bu qəbildən olan bəzi tənliklərin icrasına dair təxminlər verən effektiv teoremlər yaratmışdır. BN Delaunay bu bərabərsizliklərin daha dar bir sinfinə tətbiq edilə bilən başqa bir araşdırma metodu təklif etdi. Xüsusilə, ax3 + y3 =1 forması bu şəkildə tamamilə həll edilə bilər.
Diofantin tənlikləri: həll üsulları
Diofantın nəzəriyyəsinin bir çox istiqamətləri var. Beləliklə, bu sistemdə məşhur problem Diofant tənliklərinin xn + y =z qeyri-trivial həllinin olmaması fərziyyəsidir. n əgər n ≧ 3 (Fermatın sualı). Bərabərsizliyin tam yerinə yetirilməsinin öyrənilməsi Pifaqor üçlüyü probleminin təbii ümumiləşdirilməsidir. Eyler n=4 üçün Fermat məsələsinin müsbət həllini əldə etdi. Bu nəticəyə əsasən, o, n tək sadə ədəddirsə, tənliyin sıfırdan fərqli tədqiqinə, çatışmayan tam ədədin sübutuna istinad edir.
Qərarla bağlı araşdırma tamamlanmayıb. Onun həyata keçirilməsində çətinliklər cəbri tam ədədlərin halqasında sadə faktorizasiyanın unikal olmaması ilə əlaqədardır. Baş göstəricilərin bir çox sinifləri üçün bu sistemdə bölənlər nəzəriyyəsi n Fermat teoreminin doğruluğunu təsdiq etməyə imkan verir. Beləliklə, iki naməlumlu xətti Diofant tənliyi mövcud üsul və üsullarla yerinə yetirilir.
Təsvir olunan tapşırıqların növləri və növləri
Cəbri tam ədədlərin halqalarının arifmetikasından bir çox başqa məsələlərdə və Diofant tənliklərinin həllində də istifadə olunur. Məsələn, belə üsullar N(a1 x1 +…+ a formalı bərabərsizlikləri yerinə yetirərkən tətbiq edilirdi. x)=m, burada N(a) a normasıdır və x1, …, xn inteqral rasional dəyişənlər tapılır. Bu sinfə x2–dy2=1 Pell tənliyi daxildir.
Görünən a1, …, a dəyərləri, bu tənliklər iki növə bölünür. Birinci növə - tam formalar adlanan - m=[Q(a1, …, a):Q], Q üzərində Q (a1, …, a ) cəbri göstəricilərinin dərəcəsi var. Natamam növlər aşağıdakılardır. maksimum a i m-dən azdır.
Tam formalar daha sadədir, onların öyrənilməsi tamamlanıb və bütün həll yolları təsvir edilə bilər. İkinci növ, natamam növlər daha mürəkkəbdir və belə bir nəzəriyyənin inkişafı hələ tamamlanmamışdır. Bu cür tənliklər F(x, y)=C bərabərsizliyini ehtiva edən Diofant təxminlərindən istifadə etməklə tədqiq edilir, burada F (x, y) n≧3 dərəcəli reduksiya olunmayan, bircins çoxhədlidir. Beləliklə, biz güman edə bilərik ki, yi→∞. Müvafiq olaraq, əgər yi kifayət qədər böyükdürsə, onda bərabərsizlik Thue, Siegel və Roth teoreminə zidd olacaq, buradan belə nəticə çıxır ki, F(x, y)=C, burada F üçüncü dərəcəli və ya daha yüksək formada, reduksiya olunmayan sonsuz sayda həllə malik ola bilməz.
Diofantin tənliyini necə həll etmək olar?
Bu nümunə hamı arasında olduqca dar bir sinifdir. Məsələn, sadəliyinə baxmayaraq, x3 + y3 + z3=N və x2 +y 2 +z2 +u2 =N bu sinfə daxil deyillər. Həlllərin öyrənilməsi Diophantine tənliklərinin kifayət qədər diqqətlə öyrənilmiş bir sahəsidir, burada əsas rəqəmlərin kvadrat formaları ilə təmsil olunur. Laqranjyerinə yetirilmənin bütün təbii N üçün mövcud olduğunu söyləyən bir teorem yaratdı. İstənilən natural ədəd üç kvadratın cəmi kimi göstərilə bilər (Qauss teoremi), lakin o, 4a şəklində olmamalıdır. (8K- 1), burada a və k qeyri-mənfi tam eksponentlərdir.
F tipli Diofant tənliyi sisteminin rasional və ya inteqral həlləri (x1, …, x)=a, burada F (x 1, …, x) tam əmsallı kvadrat formadır. Beləliklə, Minkowski-Hasse teoreminə görə ∑aijxixj=b ijbərabərsizliyi və b rasionaldır, hər sadə p ədədi üçün həqiqi və p-adik ədədlərdə inteqral həllə malikdir, yalnız bu strukturda həll oluna bilər.
Müəyyən çətinliklərə görə üçüncü dərəcəli və yuxarı ixtiyari formaları olan ədədlərin tədqiqi daha az dərəcədə öyrənilmişdir. Əsas icra üsulu triqonometrik cəmlər üsuludur. Bu halda tənliyin həlli sayı açıq şəkildə Furye inteqralı ilə yazılır. Bundan sonra, uyğun uyğunluqların bərabərsizliyinin yerinə yetirilmə sayını ifadə etmək üçün ətraf mühit metodundan istifadə olunur. Triqonometrik cəmlərin metodu bərabərsizliklərin cəbri xüsusiyyətlərindən asılıdır. Xətti Diofant tənliklərinin həlli üçün çoxlu sayda elementar üsullar var.
Diofantin analizi
Mövzusu həndəsə üsulları ilə cəbrin tənlik sistemlərinin inteqral və rasional həlllərinin öyrənilməsi olan riyaziyyat kafedrası, eynikürələr. 19-cu əsrin ikinci yarısında bu ədəd nəzəriyyəsinin meydana çıxması əmsallı ixtiyari sahədən Diofant tənliklərinin öyrənilməsinə səbəb oldu və həllər ya onun içində, ya da onun halqalarında nəzərdən keçirildi. Cəbri funksiyalar sistemi ədədlərlə paralel inkişaf etmişdir. D. Hilbert və xüsusən də L. Kronecker tərəfindən vurğulanan ikisi arasındakı əsas analogiya adətən qlobal adlanan müxtəlif arifmetik anlayışların vahid qurulmasına səbəb oldu.
Sabitlərin sonlu sahəsi üzərində öyrənilən cəbri funksiyalar bir dəyişən olduqda bu xüsusilə nəzərə çarpır. Sinif sahə nəzəriyyəsi, bölən, budaqlanma və nəticələr kimi anlayışlar yuxarıdakıların yaxşı təsviridir. Bu nöqteyi-nəzər diofant bərabərsizlikləri sistemində yalnız sonralar qəbul edilmiş və təkcə ədədi əmsallarla deyil, həm də funksiya olan əmsallarla sistemli tədqiqatlar yalnız 1950-ci illərdə başlamışdır. Bu yanaşmada həlledici amillərdən biri cəbr həndəsəsinin inkişafı idi. Eyni mövzunun iki eyni dərəcədə vacib tərəfi kimi yaranan ədədlər və funksiya sahələrinin eyni vaxtda öyrənilməsi nəinki nəfis və inandırıcı nəticələr verdi, həm də iki mövzunun qarşılıqlı zənginləşməsinə səbəb oldu.
Cəbri həndəsədə müxtəliflik anlayışı verilmiş K sahəsi üzərində qeyri-invariant bərabərsizliklər toplusu ilə, onların həlli isə K-də və ya onun sonlu uzantısında qiymətləri olan rasional nöqtələrlə əvəz olunur. Buna görə demək olar ki, Diofant həndəsəsinin əsas problemi rasional nöqtələrin öyrənilməsidirX(K) cəbri çoxluğunun, X isə K sahəsində müəyyən ədədlərdir. Tam ədədin icrası xətti Diofant tənliklərində həndəsi məna daşıyır.
Bərabərsizlik araşdırmaları və icra seçimləri
Cəbri növlər üzrə rasional (və ya inteqral) nöqtələri öyrənərkən ilk problem yaranır ki, bu da onların mövcudluğudur. Hilbertin onuncu məsələsi bu problemin həlli üçün ümumi metodun tapılması problemi kimi tərtib edilmişdir. Alqoritmin dəqiq tərifinin yaradılması prosesində və çoxlu sayda problemlər üçün belə icraların olmadığı sübut edildikdən sonra problem aşkar mənfi nəticə əldə etdi və ən maraqlı sual Diofant tənliklərinin siniflərinin müəyyənləşdirilməsidir. bunun üçün yuxarıdakı sistem mövcuddur. Cəbr nöqteyi-nəzərindən ən təbii yanaşma Hasse prinsipi adlanır: ilkin K sahəsi bütün mümkün təxminlər üzərində Kv tamamlamaları ilə birlikdə öyrənilir. X(K)=X(Kv) mövcudluq üçün zəruri şərt olduğundan və K nöqtəsi X(Kv çoxluğunu nəzərə alır.) bütün v. üçün boş deyil
Əhəmiyyət ondan ibarətdir ki, o, iki problemi bir araya gətirir. İkincisi daha sadədir, məlum alqoritmlə həll olunur. X müxtəlifliyinin proyektiv olduğu xüsusi halda Hansel lemması və onun ümumiləşdirmələri daha da reduksiyanı mümkün edir: problem sonlu sahə üzərində rasional nöqtələrin öyrənilməsinə qədər endirilə bilər. Sonra o, ya ardıcıl araşdırmalar, ya da daha təsirli üsullar vasitəsilə konsepsiya yaratmağa qərar verir.
Sonuncumühüm mülahizə odur ki, X(Kv) çoxluqları sonlu sayda v istisna olmaqla hamısı üçün boş deyildir, buna görə də şərtlərin sayı həmişə sonludur və onlar effektiv şəkildə sınaqdan keçirilə bilər. Bununla belə, Hasse prinsipi dərəcə əyrilərinə şamil edilmir. Məsələn, 3x3 + 4y3=5 bütün p-adic nömrə sahələrində xallara malikdir və real ədədlər sistemində, lakin rasional nöqtələri yoxdur.
Bu üsul Hasse prinsipindən "sapma" yerinə yetirmək üçün Abel sortlarının əsas homojen fəzalarının siniflərini təsvir edən konsepsiyanın qurulması üçün başlanğıc nöqtəsi rolunu oynadı. Hər bir manifold (Tate-Şafareviç qrupu) ilə əlaqələndirilə bilən xüsusi bir quruluş baxımından təsvir edilmişdir. Nəzəriyyənin əsas çətinliyi qrupların hesablanması üsullarının əldə edilməsinin çətin olmasıdır. Bu konsepsiya digər cəbr növlərinə də şamil edilmişdir.
Bərabərsizlikləri yerinə yetirmək üçün alqoritm axtarın
Diofantin tənliklərinin öyrənilməsində istifadə olunan digər bir evristik fikir ondan ibarətdir ki, əgər bərabərsizliklər toplusunda iştirak edən dəyişənlərin sayı çox olarsa, o zaman sistemin adətən həlli var. Ancaq hər hansı bir konkret hal üçün bunu sübut etmək çox çətindir. Bu tip problemlərə ümumi yanaşma analitik ədədlər nəzəriyyəsindən istifadə edir və triqonometrik məbləğlər üçün hesablamalara əsaslanır. Bu üsul əvvəlcə xüsusi növ tənliklərə tətbiq edilib.
Lakin sonralar onun köməyi ilə sübut olundu ki, tək dərəcənin forması F olarsa, d-dəvə n dəyişənləri və rasional əmsalları ilə, onda n d ilə müqayisədə kifayət qədər böyükdür, buna görə də proyektiv hipersəth F=0 rasional nöqtəyə malikdir. Artin zənninə görə, bu nəticə hətta n > d2. Bu, yalnız kvadrat formalar üçün sübut edilmişdir. Oxşar problemlər digər sahələr üçün də tələb oluna bilər. Diofant həndəsəsinin mərkəzi problemi tam və ya rasional nöqtələr çoxluğunun strukturu və onların öyrənilməsidir və aydınlaşdırılmalı olan ilk sual bu çoxluğun sonlu olub-olmamasıdır. Bu problemdə, sistemin dərəcəsi dəyişənlərin sayından çox böyükdürsə, vəziyyət adətən sonlu sayda icraya malikdir. Bu, əsas fərziyyədir.
Xətlər və əyrilər üzrə bərabərsizliklər
X(K) qrupu r dərəcəsinin sərbəst strukturunun və n sırasının sonlu qrupunun birbaşa cəmi kimi təqdim edilə bilər. 1930-cu illərdən başlayaraq, bu ədədlərin verilmiş K sahəsi üzərindən bütün elliptik əyrilər çoxluğunda məhdud olub-olmaması məsələsi tədqiq edilmişdir. Burulma n-nin məhdudluğu yetmişinci illərdə nümayiş etdirilmişdir. Funksional halda ixtiyari yüksək dərəcəli əyrilər var. Rəqəmsal halda bu suala hələ də cavab yoxdur.
Nəhayət, Mordellin fərziyyəsi g>1 cinsindən olan əyri üçün inteqral nöqtələrin sayının sonlu olduğunu bildirir. Funksional halda bu konsepsiya 1963-cü ildə Yu. İ. Manin tərəfindən nümayiş etdirilmişdir. Diofant həndəsəsində sonluq teoremlərinin sübutunda istifadə olunan əsas alət hündürlükdür. Cəbri növlərdən birinin üstündəki ölçülər abeliandırelliptik əyrilərin çoxölçülü analoqları olan manifoldlar ən dərindən öyrənilmişdir.
A. Weil rasional nöqtələr qrupunun generatorlarının sayının sonluğu haqqında teoremi istənilən ölçülü Abel növlərinə (Mordell-Weil konsepsiyası) ümumiləşdirərək onu genişləndirdi. 1960-cı illərdə Birç və Svinnerton-Dyerin fərziyyəsi ortaya çıxdı, bu, qrupu və manifoldun zeta funksiyalarını təkmilləşdirdi. Rəqəmsal sübutlar bu fərziyyəni dəstəkləyir.
Həlletmə problemi
Hər hansı Diofant tənliyinin həlli olub-olmadığını müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilən alqoritmin tapılması problemi. Qarşıya qoyulan problemin əsas xüsusiyyəti istənilən bərabərsizlik üçün uyğun olan universal metodun axtarışıdır. Belə bir üsul həm də yuxarıdakı sistemləri həll etməyə imkan verərdi, çünki o, P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 və ya p21+ ⋯ + P2K=0-a ekvivalentdir. n12+⋯+pK2=0. Tam ədədlərdə xətti bərabərsizliklərin həllinin belə universal yolunun tapılması problemini D. Gilbert.
1950-ci illərin əvvəllərində Diofant tənliklərinin həlli üçün alqoritmin mövcud olmadığını sübut etməyə yönəlmiş ilk tədqiqatlar ortaya çıxdı. Bu zaman Davis fərziyyəsi ortaya çıxdı ki, hər hansı bir sadalanan çoxluq da yunan aliminə aiddir. Çünki alqoritmik olaraq qərar verilməyən çoxluqların nümunələri məlumdur, lakin rekursiv olaraq sadalana bilir. Buradan belə çıxır ki, Devis zənninin doğruluğu və bu tənliklərin həlli problemimənfi icraya malikdir.
Bundan sonra, Davis fərziyyəsi üçün, eyni zamanda həlli olan (yaxud da olmayan) bərabərsizliyi çevirmək üçün bir üsul olduğunu sübut etmək qalır. Göstərilmişdir ki, Diofant tənliyinin belə dəyişməsi o halda mümkündür ki, o, yuxarıdakı iki xassələrə malik olsun: 1) bu tipli istənilən həlldə v ≦ uu; 2) istənilən k üçün eksponensial artımla icra var.
Bu sinifin xətti Diofant tənliyinin nümunəsi sübutu tamamladı. Rasional ədədlərdə bu bərabərsizliklərin həlli və tanınması üçün alqoritmin mövcudluğu problemi hələ də kifayət qədər öyrənilməmiş mühüm və açıq sual hesab olunur.
