Bertran paradoksu ehtimal nəzəriyyəsinin klassik şərhində problemdir. Cozef bunu “Hesablama ehtimalları” (1889) əsərində nümunə kimi təqdim etmişdir ki, əgər mexanizm və ya metod təsadüfi dəyişən yaradırsa, ehtimallar yaxşı müəyyən edilə bilməz.
Problem Bəyanatı
Bertran paradoksu belədir.
İlk olaraq dairənin içinə yazılmış bərabərtərəfli üçbucağı nəzərdən keçirin. Bu halda, diametri təsadüfi seçilir. Üçbucağın kənarından uzun olma ehtimalı nədir?
Bertrand üç arqument irəli sürdü, bunların hamısı doğru görünür, lakin fərqli nəticələr verir.
Təsadüfi Son Nöqtə Metodu
Dairədə iki yer seçmək və onları birləşdirən qövs çəkmək lazımdır. Hesablama üçün Bertrandın ehtimal paradoksu nəzərə alınır. Təsəvvür etmək lazımdır ki, üçbucaq elə fırlanır ki, onun təpəsi akkordun son nöqtələrindən biri ilə üst-üstə düşsün. Ödəməyə dəyərnəzərə alın ki, digər hissə iki yer arasında qövs üzərindədirsə, dairə üçbucağın kənarından daha uzundur. Qövsün uzunluğu çevrənin üçdə bir hissəsidir, ona görə də təsadüfi akkordun daha uzun olma ehtimalı 1/3-dir.
Seçim üsulu
Dairənin radiusunu və üzərindəki nöqtəni seçmək lazımdır. Bundan sonra, bu yerdən diametrə perpendikulyar bir akkord qurmalısınız. Ehtimal nəzəriyyəsinin Bertrandın nəzərdən keçirilən paradoksunu hesablamaq üçün üçbucağın tərəfin radiusa perpendikulyar olması üçün fırlandığını təsəvvür etmək lazımdır. Seçilmiş nöqtə dairənin mərkəzinə yaxındırsa, akkord ayaqdan daha uzundur. Və bu halda üçbucağın tərəfi radiusu ikiyə bölür. Buna görə də, akkordun yazılmış fiqurun kənarından uzun olma ehtimalı 1/2-dir.
Təsadüfi akkordlar
Midpoint metodu. Dairə üzərində bir yer seçmək və verilmiş orta ilə bir akkord yaratmaq lazımdır. Seçilmiş yer radius 1/2 olan konsentrik dairə daxilindədirsə, ox yazılan üçbucağın kənarından daha uzundur. Kiçik dairənin sahəsi böyük rəqəmin dörddə birini təşkil edir. Buna görə də, təsadüfi akkordun ehtimalı yazılan üçbucağın kənarından daha uzundur və 1/4-ə bərabərdir.
Yuxarıda göstərildiyi kimi, seçim üsulları diametrlər olan müəyyən akkordlara verdiyi çəki ilə fərqlənir. Metod 1-də diametr olub-olmamasından asılı olmayaraq hər bir akkord tam olaraq bir şəkildə seçilə bilər.
2-ci üsulda hər düz xətt iki yolla seçilə bilər. Halbuki hər hansı digər akkord seçiləcəkimkanlardan yalnız biri.
Metod 3-də hər orta nöqtə seçiminin tək parametri var. Bütün diametrlərin orta nöqtəsi olan dairənin mərkəzi istisna olmaqla. Bütün sualları nəticədə yaranan ehtimallara təsir etmədən parametrləri istisna etmək üçün "sifariş vermək"lə bu problemlərin qarşısını almaq olar.
Seçilmiş üsullar da aşağıdakı kimi görüntülənə bilər. Diametri olmayan bir akkord unikal olaraq orta nöqtəsi ilə müəyyən edilir. Yuxarıda təqdim olunan üç seçim metodunun hər biri ortanın fərqli paylanmasını yaradır. 1 və 2-ci seçimlər iki fərqli qeyri-bərabər arakəsmə təmin edir, üsul 3 isə vahid paylama verir.
Bertran probleminin həllinin klassik paradoksu akkordun "təsadüfi" seçildiyi üsuldan asılıdır. Belə çıxır ki, əvvəlcədən təsadüfi seçim üsulu göstərilibsə, problemin dəqiq müəyyən edilmiş həlli var. Bunun səbəbi hər bir fərdi metodun öz akkord paylanmasına malik olmasıdır. Bertrand tərəfindən göstərilən üç hökm müxtəlif seçim üsullarına uyğundur və əlavə məlumat olmadıqda, birini digərindən üstün tutmaq üçün heç bir səbəb yoxdur. Müvafiq olaraq, qeyd olunan problemin vahid həlli yoxdur.
Ümumi cavabın unikal edilməsinə misal olaraq akkordun son nöqtələrinin 0 və c arasında bərabər məsafədə olduğunu müəyyən etmək olar, burada c dairənin çevrəsidir. Bu bölgü Bertrandın birinci arqumentindəki kimidir və nəticədə unikal ehtimal 1/3 olacaq.
Bu Bertrand Russell paradoksu və klassikanın digər unikallığımümkünlüyün təfsirləri daha ciddi formalaşdırmalara haqq qazandırır. Ehtimal tezliyi və subyektivist Bayes nəzəriyyəsi daxil olmaqla.
Bertran paradoksunun əsasında nə dayanır
1973-cü ildə yazdığı "Yaxşı qoyulmuş problem" məqaləsində Edvin Ceyns özünəməxsus həllini təklif etdi. O qeyd edib ki, Bertrandın paradoksu “maksimum cəhalət” prinsipinə əsaslanan müqəddiməyə əsaslanır. Bu o deməkdir ki, problem bəyanatında göstərilməyən heç bir məlumatdan istifadə etməməlisiniz. Jaynes, Bertrandın probleminin dairənin mövqeyini və ya ölçüsünü təyin etmədiyinə diqqət çəkdi. Və iddia etdi ki, buna görə də istənilən qəti və obyektiv qərar ölçü və mövqeyə "laqeyd" olmalıdır.
İllüstrasiya məqsədləri üçün
Bütün akkordların 2 sm-lik dairənin üzərinə təsadüfi yerləşdirildiyini fərz etsək, indi siz ona uzaqdan saman atmalısınız.
Sonra daha böyük rəqəmə uyğun gələn daha kiçik diametrli (məsələn, 1 santimetr) başqa bir dairə götürməlisiniz. Sonra bu kiçik dairədə akkordların paylanması maksimumda olduğu kimi olmalıdır. İkinci rəqəm də birincinin daxilində hərəkət edərsə, ehtimal, prinsipcə, dəyişməməlidir. 3-cü üsul üçün aşağıdakı dəyişikliyin baş verəcəyini görmək çox asandır: kiçik qırmızı dairədə akkordların paylanması böyük dairə üzrə paylanmadan keyfiyyətcə fərqli olacaq.
Eyni şey 1-ci üsul üçün də olur. Qrafik görünüşdə onu görmək daha çətin olsa da.
Metod 2 yeganədirbu həm miqyas, həm də tərcümə invariantıdır.
3 nömrəli metod sadəcə genişləndirilə bilər.
Metod 1 heç biri deyil.
Lakin Janes bu üsulları qəbul etmək və ya rədd etmək üçün invariantlardan asanlıqla istifadə etməyib. Bu, onun ağlabatan məna aspektlərinə uyğun gələn başqa bir təsvir edilməmiş metodun olması ehtimalını tərk edərdi. Jaynes invariantları təsvir edən inteqral tənliklər tətbiq etdi. Ehtimal paylanmasını birbaşa müəyyən etmək. Onun problemində inteqral tənliklərin həqiqətən də unikal həlli var və yuxarıda ikinci təsadüfi radius metodu məhz bu adlanırdı.
2015-ci il məqaləsində Alon Drory iddia edir ki, Ceynsin prinsipi Bertrandın iki başqa həlli də verə bilər. Müəllif əmin edir ki, invariantlığın yuxarıdakı xassələrinin riyazi həyata keçirilməsi unikal deyil, insanın istifadə etmək qərarına gəldiyi əsas təsadüfi seçim prosedurundan asılıdır. O, göstərir ki, üç Bertrand həllinin hər biri fırlanma, miqyaslama və tərcümə dəyişməzliyindən istifadə etməklə əldə edilə bilər. Eyni zamanda, Ceyns prinsipinin laqeydlik tərzinin özü kimi şərhə məruz qaldığı qənaətinə gəlmək.
Fiziki təcrübələr
Metod 2 statistik mexanika və qaz strukturu kimi xüsusi fizioloji anlayışlarda mövcud olan transformasiya invariantlarını təmin edən yeganə həll yoludur. Təklif olunanda daCeynsin kiçik dairədən saman atma təcrübəsi.
Lakin, digər üsullara uyğun cavablar verən digər praktiki təcrübələr hazırlana bilər. Məsələn, ilk təsadüfi son nöqtə metodunun həllinə nail olmaq üçün ərazinin mərkəzinə sayğac əlavə edə bilərsiniz. Və iki müstəqil fırlanmanın nəticələri akkordun son yerlərini vurğulasın. Üçüncü metodun həllinə gəlmək üçün, məsələn, dairəni bəkməzlə örtmək və milçəyin düşdüyü ilk nöqtəni orta akkord kimi qeyd etmək olar. Bir neçə mütəfəkkir fərqli nəticələr çıxarmaq üçün tədqiqatlar yaratmış və nəticələri empirik şəkildə təsdiq etmişdir.
Son hadisələr
2007-ci ildə yazdığı "Bertran Paradoksu və Laqeydlik Prinsipi" adlı məqaləsində Nikolas Şakel iddia edir ki, bir əsrdən çox vaxt keçməsinə baxmayaraq problem hələ də həll olunmamış qalır. O, biganəlik prinsipini təkzib etməyə davam edir. Bundan əlavə, 2013-cü ildə "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical" adlı məqaləsində Darrell R. Robottom göstərir ki, təklif olunan qərarların hamısının onun öz sualı ilə heç bir əlaqəsi yoxdur. Beləliklə, məlum oldu ki, paradoksu həll etmək əvvəllər düşünüldüyündən qat-qat çətin olacaq.
Şakel vurğulayır ki, indiyə qədər bir çox alim və elmdən uzaq insanlar Bertrandın paradoksunu həll etməyə çalışıblar. İki fərqli yanaşmanın köməyi ilə hələ də aradan qaldırılır.
Ekvivalent olmayan məsələlər arasındakı fərqin nəzərdən keçirildiyi və problemin həmişə düzgün hesab edildiyi məsələlər. Şakel kitablarında Luidən sitat gətirirMarinoff (diferensiasiya strategiyasının tipik eksponenti kimi) və Edvin Ceyns (düşünülmüş nəzəriyyənin müəllifi kimi).
Lakin, Diederik Aerts və Massimiliano Sassoli de Bianchi özlərinin son işlərində "Mürəkkəb Problemin həlli" hesab edirlər ki, Bertrand paradoksunu həll etmək üçün binaları qarışıq strategiyada axtarmaq lazımdır. Bu müəlliflərin fikrincə, ilk addım təsadüfiləşdirilmiş obyektin xarakterini aydın şəkildə ifadə etməklə problemi həll etməkdir. Və yalnız bundan sonra hər hansı bir problem düzgün hesab edilə bilər. Janes belə düşünür.
Deməli, onu həll etmək üçün maksimum cəhalət prinsipindən istifadə etmək olar. Bu məqsədlə və problem akkordun necə seçiləcəyini dəqiqləşdirmədiyi üçün prinsip müxtəlif imkanlar səviyyəsində deyil, daha dərindən tətbiq edilir.
Hissələrin seçimi
Problemin bu hissəsi müəlliflərin universal orta adlandırdıqları bütün mümkün yollar üzrə meta-ortanın hesablanmasını tələb edir. Bununla məşğul olmaq üçün diskretləşdirmə metodundan istifadə edirlər. Wiener proseslərində ehtimal qanununun müəyyən edilməsində görülən işlərdən ilhamlanaraq. Onların yaxşı qoyulmuş problemi orijinal müəllifin problemindən fərqli olsa da, onların nəticəsi Jaynesin rəqəmsal nəticəsi ilə uyğun gəlir.
İqtisadiyyat və ticarətdə, yaradıcısı Cozef Bertrandın şərəfinə adlandırılan Bertrand Paradoksu, iki oyunçunun (firmanın) Nash tarazlığına çatdığı bir vəziyyəti təsvir edir. Hər iki firma marjinal xərcə bərabər qiymət təyin etdikdə(MS).
Bertran paradoksu bir müddəaya əsaslanır. Cournot rəqabəti kimi modellərdə firmaların sayının artması qiymətlərin marjinal xərclərlə yaxınlaşması ilə əlaqələndirilir. Bu alternativ modellərdə Bertrandın paradoksu qiymətləri maya dəyərindən yuxarı yükləməklə müsbət mənfəət əldə edən az sayda firmanın oliqopoliyasındadır.
Başlamaq üçün, iki firmanın A və B-nin hər biri eyni istehsal və paylama xərclərinə malik olan homojen məhsul satdığını fərz etmək lazımdır. Buradan belə nəticə çıxır ki, alıcılar məhsulu yalnız qiymətə görə seçirlər. Bu o deməkdir ki, tələb sonsuz qiymət elastikidir. Nə A, nə də B digərlərindən daha yüksək qiymət təyin etməyəcək, çünki bu, bütün Bertrand paradoksunun dağılmasına səbəb olacaq. Bazar iştirakçılarından biri rəqibinə boyun əyəcək. Eyni qiyməti təyin etsələr, şirkətlər mənfəəti bölüşəcəklər.
Digər tərəfdən, hər hansı firma qiymətini cüzi də olsa aşağı salsa, bütün bazarı və əhəmiyyətli dərəcədə yüksək gəlir əldə edəcək. A və B bunu bildiklərinə görə, məhsul sıfır iqtisadi mənfəətlə satılana qədər hər biri rəqibini aşağı salmağa çalışacaq.
Son işlər göstərdi ki, Bertrandın qarışıq strategiya paradoksunda inhisar məbləğinin sonsuz olması şərti ilə müsbət iqtisadi mənfəətlə əlavə tarazlıq ola bilər. Yekun mənfəət üçün qiymət rəqabəti şəraitində müsbət artımın qarışıq tarazlıqda və hətta daha ümumi halda mümkün olmadığı göstərilmişdir.əlaqəli sistemlər.
Əslində Bertrandın iqtisadiyyatdakı paradoksu praktikada nadir hallarda müşahidə olunur, çünki real məhsullar demək olar ki, həmişə qiymətdən başqa bir şəkildə fərqləndirilir (məsələn, etiket üçün artıq ödəniş). Firmaların istehsal və paylama imkanlarında məhdudiyyətlər var. Bu səbəbdən iki biznes nadir hallarda eyni xərclərə malikdir.
Bertrandın nəticəsi paradoksaldır, çünki firmaların sayı birdən ikiyə artarsa, qiymət inhisardan rəqabət qabiliyyətinə düşür və bundan sonra artan firmaların sayı ilə eyni səviyyədə qalır. Bu o qədər də real deyil, çünki reallıqda bazar gücünə malik bir neçə firmanın olduğu bazarlar qiymətləri marjinal xərclərdən yuxarı qaldırmağa meyllidirlər. Empirik təhlil göstərir ki, iki rəqibi olan əksər sənayelər müsbət gəlir gətirir.
Müasir dünyada elm adamları paradoksa Kurnot rəqabət modeli ilə daha uyğun olan həllər tapmağa çalışırlar. Bazarda iki firmanın mükəmməl rəqabət və inhisar səviyyələri arasında müsbət mənfəət əldə etdiyi yerlərdə.
Bertran paradoksunun iqtisadiyyatla birbaşa əlaqəli olmamasının bəzi səbəbləri:
- Tutum limitləri. Bəzən firmaların bütün tələbatı ödəmək üçün kifayət qədər imkanları olmur. Bu məqamı ilk dəfə Frensis Edgeworth qaldırdı və Bertrand-Edgeworth modelinin yaranmasına səbəb oldu.
- Tam qiymətlər. MC-dən yuxarı qiymətlər xaric edilir, çünki bir firma təsadüfi olaraq digərini aşağı sala bilər.az miqdarda. Əgər qiymətlər diskretdirsə (məsələn, onlar tam ədədləri qəbul etməlidirlər), onda bir firma digərini ən azı bir rubl az altmalıdır. Bu o deməkdir ki, kiçik valyutanın dəyəri MC-dən yuxarıdır. Əgər başqa firma onun üçün qiyməti daha yüksək təyin edərsə, başqa firma onu aşağı salıb bütün bazarı ələ keçirə bilər, Bertrandın paradoksu məhz bundan ibarətdir. Bu ona heç bir qazanc gətirməyəcək. Bu biznes satışları 50/50 nisbətində başqa firma ilə bölüşməyə və sırf müsbət gəlir əldə etməyə üstünlük verəcək.
- Məhsul fərqləndirmə. Fərqli firmaların məhsulları bir-birindən fərqlənirsə, o zaman istehlakçılar daha aşağı qiymətə malik məhsullara tam keçid etməyə bilər.
- Dinamik rəqabət. Təkrarlanan qarşılıqlı əlaqə və ya təkrar qiymət rəqabəti dəyər tarazlığına səbəb ola bilər.
- Daha yüksək məbləğ üçün daha çox əşyalar. Bu, təkrarlanan qarşılıqlı əlaqədən irəli gəlir. Bir şirkət qiymətini bir az daha yüksək təyin edərsə, yenə də təxminən eyni sayda alış əldə edəcək, lakin hər bir məhsul üçün daha çox qazanc əldə edəcək. Buna görə də, digər şirkət öz qeydini artıracaq və s. (Yalnız təkrarlarda, əks halda dinamika başqa istiqamətə gedir).
Oliqopoliya
İki şirkət bir qiymətə razılaşa bilsə, müqaviləni saxlamaq onların uzunmüddətli maraqlarına uyğundur: dəyərin azaldılmasından əldə olunan gəlir müqaviləyə əməl olunmasından əldə edilən gəlirdən iki dəfə azdır və yalnız digər firma müqaviləni kəsənə qədər davam edir. öz qiymətləri.
Nəzəriyyəehtimallar (riyaziyyatın qalan hissəsi kimi) əslində yeni bir ixtiradır. Və inkişaf hamar deyil. Ehtimal hesabını rəsmiləşdirmək üçün ilk cəhdləri Markiz de Laplas etdi və o, konsepsiyanı nəticəyə aparan hadisələrin sayının nisbəti kimi müəyyən etməyi təklif etdi.
Bu, əlbəttə ki, yalnız bütün mümkün hadisələrin sayı məhdud olduqda məna kəsb edir. Üstəlik, bütün hadisələrin baş vermə ehtimalı eynidir.
Beləliklə, o zaman bu anlayışların möhkəm əsası yox idi. Tərifi sonsuz sayda hadisələrə şamil etmək cəhdləri daha böyük çətinliklərə səbəb oldu. Bertrandın paradoksu riyaziyyatçıları bütün ehtimal anlayışına qarşı ehtiyatlı olmağa vadar edən belə kəşflərdən biridir.
