Elementar anlayışlardan uzaqlaşsaq, riyaziyyat mahiyyətcə mücərrəd bir elmdir. Beləliklə, bir neçə alma üzərində riyaziyyatın əsasını təşkil edən əsas əməliyyatları əyani şəkildə təsvir edə bilərsiniz, lakin fəaliyyət müstəvisi genişlənən kimi bu obyektlər qeyri-kafi olur. Kimsə alma üzərində sonsuz dəstlər üzərində əməliyyatları təsvir etməyə çalışıbmı? Məsələ bundadır, yox. Riyaziyyatın mühakimələrində işlədiyi anlayışlar nə qədər mürəkkəbləşsə, onların başa düşülməsini asanlaşdırmaq üçün nəzərdə tutulmuş vizual ifadələri bir o qədər problemli görünürdü. Bununla belə, həm müasir tələbələrin, həm də ümumilikdə elmin xoşbəxtliyi üçün Eyler dairələri yaradılmışdır ki, onların nümunələri və imkanları aşağıda nəzərdən keçiriləcək.
Bir az tarix
1707-ci il aprelin 17-də dünya elmə riyaziyyat, fizika, gəmiqayırma və hətta musiqi nəzəriyyəsinə verdiyi töhfələri qiymətləndirmək mümkün olmayan görkəmli alim Leonhard Euler verdi.
Elmin bir yerdə dayanmamasına baxmayaraq, onun əsərləri bu günə kimi bütün dünyada tanınır və tələb olunur. Cənab Eylerin rus ali riyaziyyat məktəbinin formalaşmasında bilavasitə iştirak etməsi, xüsusən də taleyin hökmü ilə iki dəfə dövlətimizə qayıtması xüsusi maraq doğurur. Alim öz məntiqi ilə şəffaf, lazımsız hər şeyi kəsən və ən qısa müddətdə ümumidən xüsusiyə keçən alqoritmlər qurmaq kimi unikal qabiliyyətinə malik idi. Biz onun bütün xidmətlərini sadalamayacağıq, çünki bu, xeyli vaxt aparacaq və birbaşa məqalənin mövzusuna keçəcəyik. Məhz o, dəstlər üzərində əməliyyatların qrafik təsvirindən istifadə etməyi təklif etdi. Eyler dairələri istənilən, hətta ən mürəkkəb problemin həllini təsəvvür edə bilir.
Nə mənası var?
Təcrübədə sxemi aşağıda göstərilən Eyler çevrələrindən təkcə riyaziyyatda istifadə oluna bilməz, çünki "çoxluq" anlayışı təkcə bu fənnə xas deyil. Beləliklə, onlar idarəetmədə uğurla tətbiq olunur.
Yuxarıdakı diaqram A (irrasional ədədlər), B (rasional ədədlər) və C (natural ədədlər) çoxluqlarının münasibətlərini göstərir. Dairələr göstərir ki, C çoxluğu B çoxluğuna daxildir, A çoxluğu isə onlarla heç bir şəkildə kəsişmir. Nümunə ən sadədir, lakin o, sonsuzluğuna görə real müqayisə üçün həddən artıq mücərrəd olan “dəstlərin əlaqələri”nin xüsusiyyətlərini aydın şəkildə izah edir.
Məntiq cəbri
Bu əraziriyazi məntiq həm doğru, həm də yalan ola bilən ifadələrlə işləyir. Məsələn, elementardan: 625 rəqəmi 25-ə bölünür, 625 rəqəmi 5-ə bölünür, 625 rəqəmi sadədir. Birinci və ikinci müddəalar doğrudur, sonuncu isə yanlışdır. Əlbəttə ki, praktikada hər şey daha mürəkkəbdir, lakin mahiyyət aydın şəkildə göstərilir. Və təbii ki, Eyler dairələri yenidən həll prosesində iştirak edir, onlardan istifadə nümunələri diqqətdən kənarda qalmamaq üçün çox rahat və vizualdır.
Bir az nəzəriyyə:
- Qoy A və B çoxluqları mövcud olsun və boş olmasın, onda onlar üçün aşağıdakı kəsişmə, birləşmə və inkar əməliyyatları müəyyən edilir.
- A və B çoxluqlarının kəsişməsi həm A çoxluğuna, həm də B çoxluğuna eyni vaxtda aid olan elementlərdən ibarətdir.
- A və B çoxluqlarının birliyi A və ya B çoxluğuna aid olan elementlərdən ibarətdir.
- A çoxluğunun inkarı A çoxluğuna aid olmayan elementlərdən ibarət çoxluqdur.
Bütün bunlar Eyler dairələri tərəfindən məntiqdə yenidən təsvir edilir, çünki onların köməyi ilə mürəkkəblik dərəcəsindən asılı olmayaraq hər bir tapşırıq aydın və əyani olur.
Məntiq cəbrinin aksiomları
Fərz edək ki, 1 və 0 var və A dəstində müəyyən olunub, onda:
- A çoxluğunun inkarının inkarı A çoxluğudur;
- A çoxluğunun A olmayan ilə birliyi 1-dir;
- A dəstinin 1 ilə birləşməsi 1-dir;
- A çoxluğunun özü ilə birləşməsi A çoxluğudur;
- A dəstinin birliyi0 ilə A dəsti var;
- A çoxluğunun A olmayan ilə kəsişməsi 0-dır;
- A çoxluğunun özü ilə kəsişməsi A çoxluğudur;
- A çoxluğunun 0 ilə kəsişməsi 0-dır;
- A dəstinin 1 ilə kəsişməsi A çoxluğudur.
Məntiq cəbrinin əsas xassələri
Qoy A və B çoxluqları mövcud olsun və boş olmasın, onda:
- A və B çoxluqlarının kəsişməsi və birləşməsi üçün kommutativ qanun tətbiq edilir;
- kombinasiya qanunu A və B çoxluqlarının kəsişməsinə və birliyinə tətbiq edilir;
- paylayıcı qanun A və B çoxluqlarının kəsişməsinə və birliyinə şamil edilir;
- A və B çoxluqlarının kəsişməsinin inkarı A və B çoxluqlarının inkarlarının kəsişməsidir;
- A və B çoxluqlarının birliyinin inkarı A və B çoxluqlarının inkarlarının birliyidir.
Aşağıda Eyler dairələri, A, B və C çoxluqlarının kəsişməsi və birləşmə nümunələri göstərilir.
Perspektivlər
Leonhard Eulerin əsərləri haqlı olaraq müasir riyaziyyatın əsası hesab edilir, lakin indi onlar insan fəaliyyətinin nisbətən yaxınlarda meydana çıxan sahələrində uğurla istifadə olunur, məsələn, korporativ idarəetməni götürək: Eylerin dairələri, nümunələri və qrafikləri riyaziyyatın mexanizmlərini təsvir edir. inkişaf modelləri, istər rus, istərsə də ingilis-amerikan versiyası.
