Riyazi məsələlər bir çox elmlərdə istifadə olunur. Bunlara təkcə fizika, kimya, mühəndislik və iqtisadiyyat deyil, həm də tibb, ekologiya və digər fənlər daxildir. Vacib dilemmaların həlli üçün mənimsənilməsi lazım olan vacib anlayışlardan biri funksiyanın törəməsidir. Bunun fiziki mənasını izah etmək məsələnin mahiyyətində təşəbbüsü olmayanlara göründüyü qədər çətin deyil. Bunun üçün real həyatda və adi gündəlik vəziyyətlərdə uyğun nümunələr tapmaq kifayətdir. Əslində, hər hansı bir motorist hər gün sürətölçənə baxanda avtomobilinin sürətini müəyyən bir vaxtın müəyyən bir anında təyin edərkən oxşar vəzifənin öhdəsindən gəlir. Axı törəmənin fiziki mənasının mahiyyəti məhz bu parametrdədir.
Sürəti necə tapmaq olar
Hər hansı bir beşinci sinif şagirdi qət etdiyi məsafəni və səyahət vaxtını bilməklə yolda olan şəxsin sürətini təyin edə bilər. Bunu etmək üçün verilən dəyərlərdən birincisi ikinciyə bölünür. AmmaHər bir gənc riyaziyyatçı bilmir ki, o, hazırda funksiya və arqumentin artımlarının nisbətini tapır. Həqiqətən, əgər hərəkəti qrafik şəklində təsəvvür etsək, y oxu boyunca yolu və vaxtı absis boyunca çəksək, tam olaraq belə olacaq.
Lakin hərəkətin vahid olduğunu nəzərə alaraq yolun böyük hissəsində müəyyən etdiyimiz piyada və ya hər hansı digər obyektin sürəti yaxşı dəyişə bilər. Fizikada hərəkətin bir çox formaları var. Bu, yalnız sabit bir sürətlənmə ilə deyil, ixtiyari bir şəkildə yavaşlatmaq və artırmaq olar. Qeyd etmək lazımdır ki, bu halda hərəkəti təsvir edən xətt artıq düz xətt olmayacaq. Qrafik olaraq, ən mürəkkəb konfiqurasiyaları qəbul edə bilər. Lakin qrafikdəki hər hansı nöqtə üçün biz həmişə xətti funksiya ilə təmsil olunan tangens çəkə bilərik.
Vaxtdan asılı olaraq yerdəyişmə dəyişməsinin parametrini aydınlaşdırmaq üçün ölçülmüş seqmentləri qıs altmaq lazımdır. Onlar sonsuz kiçik olduqda, hesablanmış sürət ani olacaq. Bu təcrübə bizə törəməni təyin etməyə kömək edir. Onun fiziki mənası da məntiqi olaraq belə mülahizədən irəli gəlir.
Həndəsə baxımından
Məlumdur ki, cismin sürəti nə qədər çox olarsa, yerdəyişmənin zamandan asılılığının qrafiki və deməli, müəyyən nöqtədə qrafa toxunanın meyl bucağı bir o qədər dik olar. Belə dəyişikliklərin göstəricisi x oxu ilə tangens xətti arasındakı bucağın tangensi ola bilər. O, sadəcə törəmənin dəyərini müəyyən edir və uzunluqların nisbəti ilə hesablanırhər hansı bir nöqtədən x oxuna enmiş perpendikulyar tərəfindən əmələ gələn düzbucaqlı üçbucaqda bitişik ayağın əksinə.
Bu, birinci törəmənin həndəsi mənasıdır. Fiziki olan, bizim vəziyyətimizdə əks ayağın dəyərinin qət edilən məsafə, bitişik olanın isə vaxt olması ilə ortaya çıxır. Onların nisbəti sürətdir. Və yenə belə nəticəyə gəlirik ki, hər iki boşluq sonsuz kiçik olmağa meylli olduqda təyin olunan ani sürət törəmə anlayışının mahiyyətini təşkil edərək onun fiziki mənasını göstərir. Bu misaldakı ikinci törəmə bədənin sürətlənməsi olacaq ki, bu da öz növbəsində sürətin dəyişmə sürətini nümayiş etdirir.
Fizikada törəmələrin tapılması nümunələri
Törəmə sözün hərfi mənasında hərəkətdən danışmasaq belə, hər hansı funksiyanın dəyişmə sürətinin göstəricisidir. Bunu aydın şəkildə nümayiş etdirmək üçün bir neçə konkret misal çəkək. Tutaq ki, cari güc zamandan asılı olaraq aşağıdakı qanuna uyğun olaraq dəyişir: I=0, 4t2. Prosesin 8-ci saniyəsinin sonunda bu parametrin dəyişmə sürətinin qiymətini tapmaq tələb olunur. Nəzərə alın ki, istədiyiniz dəyərin özü, tənlikdən mühakimə oluna biləcəyi kimi, daim artır.
Bunu həll etmək üçün fiziki mənası daha əvvəl nəzərdən keçirilən ilk törəməni tapmaq lazımdır. Burada dI / dt=0.8t. Sonra, onu t \u003d 8-də tapırıq, cari gücün dəyişmə sürətinin 6,4 A / c olduğunu alırıq. Burada belə hesab olunurcərəyan amperlə, vaxt isə müvafiq olaraq saniyələrlə ölçülür.
Hər şey dəyişir
Materiyadan ibarət görünən ətraf aləm, onda baş verən müxtəlif proseslərin hərəkətində olmaqla, daim dəyişikliklərə məruz qalır. Onları təsvir etmək üçün müxtəlif parametrlərdən istifadə etmək olar. Əgər onlar asılılıqla birləşirlərsə, o zaman riyazi olaraq dəyişikliklərini aydın göstərən funksiya kimi yazılır. Hərəkətin olduğu yerdə (hansı formada ifadə edilirsə), törəmə də mövcuddur, fiziki mənasını hazırda nəzərdən keçiririk.
Bu münasibətlə aşağıdakı nümunə. Tutaq ki, bədən istiliyi qanuna uyğun olaraq dəyişir T=0, 2 t 2. Onun qızma sürətini 10-cu saniyənin sonunda tapmalısınız. Problem əvvəlki vəziyyətdə təsvir edilənə bənzər şəkildə həll edilir. Yəni törəməni tapırıq və t \u003d 10 dəyərini ona əvəz edirik, T \u003d 0, 4 t \u003d 4 alırıq. Bu o deməkdir ki, son cavab saniyədə 4 dərəcədir, yəni istilik prosesi və dərəcələrlə ölçülən temperatur dəyişikliyi məhz belə bir sürətlə baş verir.
Praktiki məsələlərin həlli
Əlbəttə, real həyatda hər şey nəzəri problemlərdən qat-qat mürəkkəbdir. Təcrübədə kəmiyyətlərin qiyməti adətən təcrübə zamanı müəyyən edilir. Bu halda, müəyyən bir səhvlə ölçmələr zamanı oxunuşlar verən alətlər istifadə olunur. Buna görə hesablamalarda parametrlərin təxmini dəyərləri ilə məşğul olmaq və əlverişsiz nömrələri yuvarlaqlaşdırmağa müraciət etmək lazımdır,eləcə də digər sadələşdirmələr. Bunu nəzərə alaraq, onların təbiətdə baş verən ən mürəkkəb proseslərin yalnız bir növ riyazi modeli olduğunu nəzərə alaraq, törəmənin fiziki mənası ilə bağlı məsələlərə yenidən keçəcəyik.
Vulkan püskürməsi
Təsəvvür edək ki, vulkan püskürür. O, nə qədər təhlükəli ola bilər? Bu suala cavab vermək üçün bir çox amilləri nəzərə almaq lazımdır. Onlardan birini yerləşdirməyə çalışacağıq.
"Alovlu canavar"ın ağzından daşlar şaquli olaraq yuxarıya doğru atılır, ilkin sürəti çıxdıqları andan xaricə 120 m/s təşkil edir. Onların maksimum hündürlüyə çata biləcəklərini hesablamaq lazımdır.
İstənilən dəyəri tapmaq üçün metrlə ölçülən H hündürlüyünün digər qiymətlərdən asılılığı üçün tənlik quracağıq. Bunlara ilkin sürət və vaxt daxildir. Sürətlənmə dəyəri məlum sayılır və təxminən 10 m/s2 bərabərdir.
Qismən törəmə
İndi funksiyanın törəməsinin fiziki mənasını bir qədər fərqli bucaqdan nəzərdən keçirək, çünki tənliyin özündə bir deyil, bir neçə dəyişən ola bilər. Məsələn, əvvəlki məsələdə vulkanın ventilyasiyasından atılan daşların hündürlüyünün asılılığı təkcə zaman xüsusiyyətlərinin dəyişməsi ilə deyil, həm də ilkin sürətin qiyməti ilə müəyyən edilmişdir. Sonuncu sabit, sabit dəyər hesab olunurdu. Ancaq tamamilə fərqli şərtlərə malik digər vəzifələrdə hər şey fərqli ola bilər. Əgər miqdarlar üzərində kompleksbir neçə funksiya, hesablamalar aşağıdakı düsturlara uyğun aparılır.
Tez-tez törəmənin fiziki mənası adi halda olduğu kimi müəyyən edilməlidir. Bu, dəyişənin parametri artdıqca müəyyən bir nöqtədə funksiyanın dəyişmə sürətidir. Elə hesablanır ki, bütün digər komponentlər sabit kimi götürülür, yalnız biri dəyişən hesab olunur. Sonra hər şey adi qaydalara uyğun baş verir.
Bir çox məsələlərdə əvəzolunmaz məsləhətçi
Törəmənin fiziki mənasını başa düşərək, belə biliklərlə cavabı tapmaq mümkün olan mürəkkəb və mürəkkəb məsələlərin həllinə dair nümunələr vermək çətin deyil. Əgər avtomobilin sürətindən asılı olaraq yanacaq sərfiyyatını təsvir edən funksiyamız varsa, sonuncunun hansı parametrlərində benzin sərfiyyatının ən az olacağını hesablaya bilərik.
Tibbdə həkimin təyin etdiyi dərmana insan orqanizminin necə reaksiya verəcəyini proqnozlaşdırmaq olar. Dərman qəbulu müxtəlif fizioloji parametrlərə təsir göstərir. Bunlara qan təzyiqi, ürək dərəcəsi, bədən istiliyində dəyişikliklər və s. Hamısı qəbul edilən dərmanın dozasından asılıdır. Bu hesablamalar həm əlverişli təzahürlərdə, həm də xəstənin bədənində dəyişikliklərə ölümcül təsir göstərə bilən arzuolunmaz qəzalarda müalicənin gedişatını proqnozlaşdırmağa kömək edir.
Şübhəsiz ki, texniki mənada törəmənin fiziki mənasını başa düşmək vacibdir.məsələlər, xüsusən də elektrik mühəndisliyi, elektronika, dizayn və tikinti.
Əyləc məsafəsi
Növbəti problemi nəzərdən keçirək. Sabit sürətlə hərəkət edərək körpüyə yaxınlaşan avtomobil girişə 10 saniyə qalmış sürəti az altmalı olub, çünki sürücü 36 km/saatdan çox sürətlə hərəkəti qadağan edən yol nişanını görüb. Əyləc məsafəsini S=26t - t2 düsturu ilə təsvir etmək olarsa, sürücü qaydaları pozubmu?
Birinci törəməni hesablayaraq sürət düsturunu tapırıq, v=28 – 2t alırıq. Sonra t=10 dəyərini göstərilən ifadəyə əvəz edin.
Bu dəyər saniyələrlə ifadə edildiyi üçün sürət 8 m/s təşkil edir ki, bu da 28,8 km/saat deməkdir. Bu, sürücünün vaxtında sürəti az altmağa başladığını və yol hərəkəti qaydalarını və deməli, sürət nişanında göstərilən həddi pozmadığını anlamağa imkan verir.
Bu, törəmənin fiziki mənasının vacibliyini sübut edir. Bu problemin həlli nümunəsi bu konsepsiyanın həyatın müxtəlif sahələrində istifadəsinin genişliyini nümayiş etdirir. O cümlədən gündəlik vəziyyətlər.
İqtisadiyyatda törəmə
19-cu əsrə qədər iqtisadçılar əsasən, istər əmək məhsuldarlığı, istərsə də məhsulun qiyməti olsun, orta hesabla fəaliyyət göstərirdilər. Ancaq müəyyən vaxtdan etibarən bu sahədə effektiv proqnozlar vermək üçün dəyərlərin məhdudlaşdırılması daha çox zəruri oldu. Bunlara marjinal fayda, gəlir və ya xərc daxildir. Bunu başa düşmək iqtisadi tədqiqatlarda tamamilə yeni alətin yaradılmasına təkan verdi.yüz ildən artıqdır mövcud olan və inkişaf edən.
Minimum və maksimum kimi anlayışların üstünlük təşkil etdiyi bu cür hesablamaları aparmaq üçün törəmənin həndəsi və fiziki mənasını anlamaq lazımdır. Bu fənlərin nəzəri əsaslarını yaradanlar sırasında ABŞ Cevons, K. Menqer və başqaları kimi görkəmli ingilis və avstriyalı iqtisadçıların adını çəkmək olar. Əlbəttə ki, iqtisadi hesablamalarda məhdudlaşdırıcı dəyərlərdən istifadə etmək həmişə əlverişli deyil. Və, məsələn, rüblük hesabatlar mütləq mövcud sxemə uyğun gəlmir, lakin yenə də belə bir nəzəriyyənin tətbiqi bir çox hallarda faydalı və effektivdir.
