Furye çevrilməsi bəzi real dəyişənin funksiyalarını müqayisə edən transformasiyadır. Bu əməliyyat hər dəfə fərqli səsləri qəbul etdikdə həyata keçirilir. Qulaq, şüurumuzun yalnız ali riyaziyyatın müvafiq bölməsini öyrəndikdən sonra yerinə yetirməyə qadir olduğu avtomatik "hesablama" həyata keçirir. İnsanın eşitmə orqanı bir transformasiya qurur, bunun nəticəsində səs (bərk, maye və ya qaz mühitində dalğa şəklində yayılan elastik bir mühitdə şərti hissəciklərin salınım hərəkəti) ardıcıl dəyərlər spektri şəklində təmin edilir. müxtəlif hündürlüklü tonların səs səviyyəsinin. Bundan sonra beyin bu məlumatı hər kəsə tanış olan səsə çevirir.
Riyazi Furye Çevrilmə
Səs dalğalarının və ya digər salınım proseslərinin çevrilməsi (işıq radiasiyasından və okean axınından ulduz və ya günəş aktivliyi dövrlərinə qədər) riyazi üsullardan istifadə etməklə də həyata keçirilə bilər. Beləliklə, bu üsullardan istifadə edərək, salınan prosesləri sinusoidal komponentlər toplusu, yəni dalğalı əyrilər kimi təqdim etməklə funksiyaları parçalamaq mümkündür.dəniz dalğası kimi alçaqdan yüksəkə, sonra geri alçağa gedin. Furye çevrilməsi - funksiyası müəyyən bir tezlikə uyğun gələn hər bir sinusoidin fazasını və ya amplitüdünü təsvir edən bir çevrilmə. Faza əyrinin başlanğıc nöqtəsidir və amplituda onun hündürlüyüdür.
Fourier transformasiyası (nümunələr fotoda göstərilmişdir) müxtəlif elm sahələrində istifadə olunan çox güclü bir vasitədir. Bəzi hallarda, işıq, istilik və ya elektrik enerjisinin təsiri altında baş verən dinamik prosesləri təsvir edən kifayət qədər mürəkkəb tənliklərin həlli vasitəsi kimi istifadə olunur. Digər hallarda o, mürəkkəb salınım siqnallarında nizamlı komponentləri müəyyən etməyə imkan verir, bunun sayəsində siz kimya, tibb və astronomiyada müxtəlif eksperimental müşahidələri düzgün şərh edə bilərsiniz.
Tarixi məlumat
Bu üsulu tətbiq edən ilk şəxs fransız riyaziyyatçısı Jan Baptiste Furye olmuşdur. Daha sonra onun adını daşıyan transformasiya əvvəlcə istilik keçirmə mexanizmini təsvir etmək üçün istifadə edilmişdir. Furye bütün yetkin həyatını istiliyin xüsusiyyətlərini öyrənməklə keçirdi. O, cəbri tənliklərin köklərini təyin edən riyazi nəzəriyyəyə böyük töhfə vermişdir. Furye Politexnik Məktəbində analiz professoru, Misirologiya İnstitutunun katibi idi, imperator xidmətində idi, burada Turinə gedən yolun tikintisi zamanı (onun rəhbərliyi altında 80 min kvadrat kilometrdən çox malyariya) fərqləndi.bataqlıqlar). Lakin bütün bu gərgin fəaliyyət alimin riyazi analiz aparmasına mane olmadı. 1802-ci ildə o, bərk cisimlərdə istiliyin yayılmasını təsvir edən bir tənlik əldə etdi. 1807-ci ildə alim bu tənliyin həlli üçün "Furye çevrilməsi" adlanan üsul kəşf etdi.
İstilikkeçiricilik Analizi
Alim istilik keçirmə mexanizmini təsvir etmək üçün riyazi üsul tətbiq etdi. Hesablamada heç bir çətinlik olmadığı əlverişli bir nümunə, istilik enerjisinin yanğının bir hissəsinə batırılmış bir dəmir halqa vasitəsilə yayılmasıdır. Təcrübələr aparmaq üçün Furye bu halqanın bir hissəsini qırmızı-isti qızdırdı və nazik qumda basdırdı. Bundan sonra onun qarşı tərəfində temperatur ölçmə apardı. Əvvəlcə istiliyin paylanması qeyri-müntəzəmdir: halqanın bir hissəsi soyuq, digəri isə isti olur; bu zonalar arasında kəskin temperatur gradienti müşahidə edilə bilər. Bununla birlikdə, metalın bütün səthində istilik yayılması prosesində daha vahid olur. Beləliklə, tezliklə bu proses sinusoid şəklini alır. Əvvəlcə qrafik kosinus və ya sinus funksiyasının dəyişmə qanunlarına uyğun olaraq rəvan artır və eyni zamanda hamar şəkildə azalır. Dalğa tədricən azalır və nəticədə temperatur halqanın bütün səthində eyni olur.
Bu metodun müəllifi təklif etdi ki, ilkin qeyri-müntəzəm paylanma bir sıra elementar sinusoidlərə parçalana bilər. Onların hər birinin öz mərhələsi (ilkin mövqe) və öz temperaturu olacaqmaksimum. Üstəlik, hər bir belə komponent minimumdan maksimuma dəyişir və üzük ətrafında tam sayda dəfə tam çevrilir. Bir dövrə malik komponentə əsas harmonik, iki və ya daha çox dövrü olan qiymətə isə ikinci və s. Beləliklə, temperaturun maksimumunu, fazasını və ya mövqeyini təsvir edən riyazi funksiya paylama funksiyasının Furye çevrilməsi adlanır. Alim riyazi olaraq təsvir edilməsi çətin olan tək komponenti istifadəsi asan alətə - kosinus və sinus seriyasına çevirdi və bu, orijinal paylanmanı verəcək.
Təhlilin mahiyyəti
Bu təhlili həlqəvi formaya malik bərk cisim vasitəsilə istiliyin yayılmasının transformasiyasına tətbiq edərək, riyaziyyatçı sinusoidal komponentin dövrlərinin artırılmasının onun sürətlə çürüməsinə səbəb olacağını əsaslandırdı. Bu, əsas və ikinci harmoniklərdə aydın görünür. Sonuncuda, temperatur bir keçiddə iki dəfə, birincidə isə yalnız bir dəfə maksimum və minimum dəyərlərə çatır. Belə çıxır ki, ikinci harmonikdə istiliyin keçdiyi məsafə əsasdakının yarısı olacaq. Bundan əlavə, ikincidəki gradient də birincidən iki dəfə dik olacaq. Buna görə də, daha intensiv istilik axını iki dəfə qısa məsafəni qət etdiyinə görə, bu harmonik zaman funksiyası olaraq əsasdan dörd dəfə daha sürətli çürüyəcəkdir. Gələcəkdə bu proses daha da sürətlə gedəcək. Riyaziyyatçı hesab edirdi ki, bu üsul zamanla temperaturun ilkin paylanması prosesini hesablamağa imkan verir.
Müasirlərə meydan oxumaq
Furye çevirmə alqoritmi o dövrdə riyaziyyatın nəzəri əsaslarına meydan oxudu. On doqquzuncu əsrin əvvəllərində Laqranj, Laplas, Puasson, Legendre və Biot da daxil olmaqla ən görkəmli elm adamları onun ilkin temperatur paylanmasının fundamental harmonik və daha yüksək tezliklər şəklində komponentlərə parçalanması barədə bəyanatını qəbul etmədilər. Bununla belə, Elmlər Akademiyası riyaziyyatçının əldə etdiyi nəticələri diqqətdən kənarda qoya bilməyib və onu istilik keçirmə qanunları nəzəriyyəsi, eləcə də fiziki təcrübələrlə müqayisə etdiyi üçün mükafatla təltif edib. Furyenin yanaşmasında əsas etiraz fasiləsiz funksiyanın davamlı olan bir neçə sinusoidal funksiyanın cəmi ilə təmsil olunması idi. Axı onlar cırıq düz və əyri xətləri təsvir edirlər. Alimin müasirləri fasiləsiz funksiyaların kvadrat, xətti, sinusoid və ya eksponensial kimi davamlı funksiyaların birləşməsi ilə təsvir edildiyi zaman oxşar vəziyyətlə heç vaxt qarşılaşmayıblar. Riyaziyyatçının ifadələrində haqlı olduğu halda, triqonometrik funksiyanın sonsuz seriyasının cəmini dəqiq addım-addım birinə endirmək lazımdır. O zaman belə bir açıqlama absurd görünürdü. Bununla belə, şübhələrə baxmayaraq, bəzi tədqiqatçılar (məsələn, Claude Navier, Sophie Germain) tədqiqatların əhatəsini genişləndirdilər və onları istilik enerjisinin paylanmasının təhlilindən kənara çıxardılar. Bu arada, riyaziyyatçılar bir neçə sinusoidal funksiyanın cəminin kəsikli funksiyanın dəqiq təsvirinə endirilə biləcəyi sualı ilə mübarizə aparmağa davam etdilər.
200 yaşlıtarix
Bu nəzəriyyə iki əsr ərzində inkişaf edib, bu gün nəhayət formalaşıb. Onun köməyi ilə məkan və ya müvəqqəti funksiyalar öz tezlik, faza və amplituda malik olan sinusoidal komponentlərə bölünür. Bu çevrilmə iki fərqli riyazi üsulla əldə edilir. Onlardan birincisi orijinal funksiya davamlı olduqda, ikincisi isə diskret fərdi dəyişikliklər dəsti ilə təmsil olunduqda istifadə olunur. İfadə diskret intervallarla müəyyən edilən dəyərlərdən alınırsa, o zaman diskret tezlikləri olan bir neçə sinusoidal ifadəyə bölünə bilər - ən aşağıdan, sonra isə əsasdan iki dəfə, üç dəfə və s. Belə bir məbləğ Furye seriyası adlanır. İlkin ifadəyə hər bir real ədəd üçün qiymət verilirsə, o zaman bütün mümkün tezliklərin bir neçə sinusoidalına parçalana bilər. O, adətən Furye inteqralı adlanır və həlli funksiyanın inteqral çevrilmələrini nəzərdə tutur. Dönüşümün necə əldə edilməsindən asılı olmayaraq, hər tezlik üçün iki ədəd göstərilməlidir: amplituda və tezlik. Bu dəyərlər vahid kompleks ədəd kimi ifadə edilir. Mürəkkəb dəyişənlərin ifadələri nəzəriyyəsi Furye çevrilməsi ilə birlikdə müxtəlif elektrik dövrələrinin layihələndirilməsində, mexaniki vibrasiyaların təhlilində, dalğaların yayılma mexanizminin öyrənilməsində və sairdə hesablamalar aparmağa imkan verdi.
Fourier Transform Today
Bu gün bu prosesin öyrənilməsi əsasən effektiv tapmağa qədər azaldılırfunksiyadan onun çevrilmiş formasına keçid üsulları və əksinə. Bu həll birbaşa və tərs Furye çevrilməsi adlanır. Bunun mənası nədi? İnteqralı təyin etmək və birbaşa Furye çevrilməsini yaratmaq üçün riyazi və ya analitik üsullardan istifadə etmək olar. Onları praktikada istifadə edərkən müəyyən çətinliklərin yaranmasına baxmayaraq, əksər inteqrallar artıq tapılıb və riyazi istinad kitablarına daxil edilib. Forması eksperimental məlumatlara əsaslanan ifadələri və ya inteqralları cədvəllərdə mövcud olmayan və analitik formada təqdim etmək çətin olan funksiyaları hesablamaq üçün ədədi üsullardan istifadə edilə bilər.
Kompüterlərin yaranmasından əvvəl belə çevrilmələrin hesablamaları çox yorucu idi, onlar dalğa funksiyasını təsvir edən nöqtələrin sayından asılı olan çoxlu sayda hesab əməliyyatlarının əl ilə yerinə yetirilməsini tələb edirdi. Hesablamaları asanlaşdırmaq üçün bu gün yeni analitik metodların tətbiqinə imkan verən xüsusi proqramlar mövcuddur. Beləliklə, 1965-ci ildə James Cooley və John Tukey "Fast Furier Transform" kimi tanınan proqram təminatı yaratdılar. O, əyrinin təhlilində vurmaların sayını az altmaqla hesablamalar üçün vaxta qənaət etməyə imkan verir. Sürətli Furye çevirmə metodu əyrinin çoxlu sayda vahid nümunə dəyərlərinə bölünməsinə əsaslanır. Müvafiq olaraq, xalların sayında eyni azalma ilə vurmaların sayı yarıya endirilir.
Furye çevrilməsinin tətbiqi
Buproses elmin müxtəlif sahələrində istifadə olunur: ədədlər nəzəriyyəsi, fizika, siqnalların emalı, kombinatorika, ehtimal nəzəriyyəsi, kriptoqrafiya, statistika, okeanologiya, optika, akustika, həndəsə və s. Onun tətbiqinin zəngin imkanları bir sıra faydalı xüsusiyyətlərə əsaslanır ki, bunlar "Furye transformasiya xassələri" adlanır. Bunları nəzərə alın.
1. Funksiyaya çevrilmə xətti operatordur və müvafiq normallaşdırma ilə unitardır. Bu xassə Parseval teoremi və ya ümumiyyətlə Plancherel teoremi və ya Pontryaqinin dualizmi kimi tanınır.
2. Dönüşüm geri çevrilə bilər. Üstəlik, əks nəticə birbaşa həlldə olduğu kimi demək olar ki, eyni formaya malikdir.
3. Sinusoidal əsas ifadələr öz diferensiallaşdırılmış funksiyalardır. Bu o deməkdir ki, belə təqdimat sabit əmsallı xətti tənlikləri adi cəbri tənliklərə dəyişir.
4. "Qıvrılma" teoreminə görə, bu proses mürəkkəb əməliyyatı elementar vurmaya çevirir.
5. Diskret Furye çevrilməsi "sürətli" metoddan istifadə edərək kompüterdə tez hesablana bilər.
Furye çevrilməsinin növləri
1. Çox vaxt bu termin müəyyən bucaq tezlikləri və amplitüdləri olan kompleks eksponensial ifadələrin cəmi kimi hər hansı kvadrat-inteqral ifadəni təmin edən davamlı çevrilməni ifadə etmək üçün istifadə olunur. Bu növün bir neçə fərqli forması var, bunlar ola bilərsabit əmsallarla fərqlənir. Davamlı metoda riyazi arayış kitablarında tapıla bilən çevrilmə cədvəli daxildir. Ümumiləşdirilmiş hal fraksiya çevrilməsidir, onun vasitəsilə verilmiş prosesi lazımi real gücə çatdırmaq olar.
2. Davamlı rejim məhdud ərazidə mövcud olan və onları sinusoidlər seriyası kimi təmsil edən müxtəlif dövri funksiyalar və ya ifadələr üçün müəyyən edilmiş Furye sıralarının ilkin texnikasının ümumiləşdirilməsidir.
3. Diskret Furye çevrilməsi. Bu üsul kompüter texnologiyasında elmi hesablamalar və rəqəmsal siqnalların işlənməsi üçün istifadə olunur. Bu tip hesablamaları həyata keçirmək üçün davamlı Furye inteqralları əvəzinə diskret çoxluqda fərdi nöqtələri, dövri və ya məhdud sahələri müəyyən edən funksiyaların olması tələb olunur. Bu vəziyyətdə siqnalın çevrilməsi sinusoidlərin cəmi kimi təmsil olunur. Eyni zamanda, “sürətli” metoddan istifadə istənilən praktiki problemə diskret həllər tətbiq etməyə imkan verir.
4. Pəncərəli Furye çevrilməsi klassik metodun ümumiləşdirilmiş formasıdır. Standart həlldən fərqli olaraq, verilmiş dəyişənin mövcudluğunun tam diapazonunda qəbul edilən siqnal spektrindən istifadə edildikdə, burada ilkin dəyişənin (vaxtın) saxlanması şərti ilə yalnız yerli tezlik paylanması xüsusi maraq doğurur..
5. İki ölçülü Furye çevrilməsi. Bu üsul ikiölçülü verilənlər massivləri ilə işləmək üçün istifadə olunur. Bu vəziyyətdə əvvəlcə transformasiya bir istiqamətə, sonra isə içəriyə aparılırdigər.
Nəticə
Bu gün Furye metodu elmin müxtəlif sahələrində möhkəm şəkildə yerləşmişdir. Məsələn, 1962-ci ildə DNT-nin ikiqat sarmal forması rentgen şüalarının difraksiyası ilə birləşmiş Furye analizindən istifadə edilərək aşkar edilmişdir. Sonuncular DNT liflərinin kristallarına yönəldilmişdir, nəticədə radiasiyanın difraksiyasından əldə edilən görüntü filmdə qeyd edilmişdir. Bu şəkil, verilmiş kristal quruluşa Furye çevrilməsindən istifadə edərkən amplitüdün dəyəri haqqında məlumat verdi. Faza məlumatları DNT-nin difraksiya xəritəsini oxşar kimyəvi strukturların təhlilindən əldə edilən xəritələrlə müqayisə etməklə əldə edilmişdir. Nəticədə, bioloqlar kristal quruluşu - orijinal funksiyanı bərpa etdilər.
Furye çevrilmələri kosmos, yarımkeçiricilər və plazma fizikası, mikrodalğalı akustika, okeanoqrafiya, radar, seysmologiya və tibbi tədqiqatların öyrənilməsində böyük rol oynayır.
