Furye seriyası ixtiyari olaraq alınmış funksiyanın seriya kimi müəyyən bir dövrlə təmsilidir. Ümumiyyətlə, bu həll elementin ortoqonal əsasda parçalanması adlanır. Furye silsiləsində funksiyaların genişləndirilməsi arqument və konvolyusiyada ifadənin inteqrasiyası, diferensiallaşdırılması, eləcə də yerdəyişməsi zamanı bu transformasiyanın xüsusiyyətlərinə görə müxtəlif problemlərin həlli üçün kifayət qədər güclü vasitədir.
Ali riyaziyyatla, eləcə də fransız alimi Furyenin əsərləri ilə tanış olmayan insan çox güman ki, bu “sətirlərin” nə olduğunu və nə üçün olduğunu başa düşməyəcək. Bu arada, bu transformasiya həyatımızda kifayət qədər sıx bir hala gəldi. O, təkcə riyaziyyatçılar tərəfindən deyil, həm də fiziklər, kimyaçılar, həkimlər, astronomlar, seysmoloqlar, okeanoloqlar və bir çox başqaları tərəfindən istifadə olunur. Dövrünü qabaqlayan bir kəşf etmiş böyük fransız aliminin əsərlərinə daha yaxından nəzər salaq.
İnsan və Furye Çevrilir
Furye seriyası Furye çevrilməsinin üsullarından biridir (analiz və digərləri ilə birlikdə). Bu proses insan hər dəfə səs eşitdikdə baş verir. Qulağımız səsi avtomatik çevirirdalğalar. Elastik mühitdə elementar hissəciklərin salınım hərəkətləri müxtəlif hündürlüklərin tonları üçün səs səviyyəsinin ardıcıl dəyərlərinin cərgələrinə (spektr boyu) parçalanır. Daha sonra beyin bu məlumatları bizə tanış olan səslərə çevirir. Bütün bunlar bizim istəyimizdən və ya şüurumuzdan əlavə öz-özünə baş verir, lakin bu prosesləri başa düşmək üçün ali riyaziyyatı öyrənmək bir neçə il çəkəcək.
Fourier Transformasiyası haqqında ətraflı
Furye çevrilməsi analitik, ədədi və digər üsullarla həyata keçirilə bilər. Furye seriyası hər hansı bir salınım prosesinin parçalanmasının rəqəmsal üsuluna aiddir - okean gelgitləri və işıq dalğalarından günəş (və digər astronomik obyektlər) fəaliyyət dövrlərinə qədər. Bu riyazi üsullardan istifadə edərək, minimumdan maksimuma və əksinə gedən sinusoidal komponentlər silsiləsi kimi istənilən salınım prosesini təmsil edən funksiyaları təhlil etmək mümkündür. Furye çevrilməsi sinusoidlərin müəyyən bir tezlikə uyğun faza və amplitudasını təsvir edən funksiyadır. Bu proses istilik, işıq və ya elektrik enerjisinin təsiri altında baş verən dinamik prosesləri təsvir edən çox mürəkkəb tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Həmçinin Furye seriyası mürəkkəb salınım siqnallarında sabit komponentləri təcrid etməyə imkan verir ki, bu da tibb, kimya və astronomiyada əldə edilmiş eksperimental müşahidələri düzgün şərh etməyə imkan verir.
Tarixi məlumat
Bu nəzəriyyənin banisiJean Baptiste Joseph Furier fransız riyaziyyatçısıdır. Bu çevrilmə sonradan onun adını aldı. Əvvəlcə alim istilik keçirmə mexanizmlərini - bərk cisimlərdə istiliyin yayılmasını öyrənmək və izah etmək üçün öz metodunu tətbiq etdi. Furye təklif etdi ki, istilik dalğasının ilkin qeyri-müntəzəm paylanması ən sadə sinusoidlərə parçalana bilər, onların hər biri öz temperaturu minimum və maksimumuna, həmçinin öz fazasına malik olacaqdır. Bu halda, hər bir belə komponent minimumdan maksimuma və əksinə ölçüləcəkdir. Əyrinin yuxarı və aşağı zirvələrini, eləcə də harmoniklərin hər birinin fazasını təsvir edən riyazi funksiya temperaturun paylanması ifadəsinin Furye çevrilməsi adlanır. Nəzəriyyənin müəllifi riyazi olaraq təsviri çətin olan ümumi paylanma funksiyasını ilkin paylanmaya toplayan çox asan idarə olunan dövri kosinus və sinus funksiyaları seriyasına endirdi.
Dönüşüm prinsipi və müasirlərin baxışları
Alimin müasirləri - XIX əsrin əvvəllərinin aparıcı riyaziyyatçıları bu nəzəriyyəni qəbul etmirdilər. Əsas etiraz Furyenin düz xətti və ya kəsikli əyrini təsvir edən kəsikli funksiyanın davamlı olan sinusoidal ifadələrin cəmi kimi təqdim oluna biləcəyi fikri idi. Nümunə olaraq, Heaviside-nin "addımını" nəzərdən keçirək: onun dəyəri boşluğun solunda sıfır və sağda birdir. Bu funksiya dövrə bağlandıqda elektrik cərəyanının vaxt dəyişənindən asılılığını təsvir edir. O dövrdə nəzəriyyənin müasirləri heç vaxt belə bir şeylə qarşılaşmamışdıfasiləsiz ifadənin eksponensial, sinusoid, xətti və ya kvadratik kimi davamlı, adi funksiyaların kombinasiyası ilə təsvir olunduğu vəziyyət.
Furye nəzəriyyəsində fransız riyaziyyatçılarını nə çaşdırdı?
Axı, əgər riyaziyyatçı öz ifadələrində haqlı idisə, o zaman sonsuz triqonometrik Furye seriyasını yekunlaşdıraraq, bir çox oxşar addımları olsa belə, addım ifadəsinin dəqiq təsvirini əldə edə bilərsiniz. On doqquzuncu əsrin əvvəllərində belə bir bəyanat absurd görünürdü. Lakin bütün şübhələrə baxmayaraq, bir çox riyaziyyatçılar bu hadisənin tədqiqinin əhatə dairəsini genişləndirərək, onu istilik keçiriciliyi tədqiqatları çərçivəsindən kənara çıxardılar. Bununla belə, əksər elm adamları “Sinusoidal silsilənin cəmi fasiləsiz funksiyanın dəqiq dəyərinə yaxınlaşa bilərmi?” sualı üzərində əzab çəkməyə davam edirdilər.
Furye sıralarının yaxınlaşması: misal
Sonsuz ədədlər silsiləsi cəmləmək lazım olduqda yaxınlaşma məsələsi qaldırılır. Bu fenomeni başa düşmək üçün klassik bir nümunəyə nəzər salın. Hər bir ardıcıl addım əvvəlkinin yarısı qədər olarsa, heç vaxt divara çata bilərsinizmi? Tutaq ki, siz hədəfdən iki metr uzaqdasınız, ilk addım sizi yolun yarısına, növbəti addım dörddə üç nişanına yaxınlaşdırır və beşincidən sonra yolun demək olar ki, 97 faizini keçəcəksiniz. Ancaq nə qədər addım atsanız da, ciddi riyazi mənada nəzərdə tutulan məqsədə çata bilməyəcəksiniz. Ədədi hesablamalardan istifadə edərək sübut etmək olar ki, sonda insan istədiyi qədər yaxınlaşa bilər.kiçik müəyyən məsafə. Bu sübut yarım, dörddə bir və s.-nin cəmi dəyərinin birə meyl edəcəyini nümayiş etdirməyə bərabərdir.
Konvergensiyanın sualı: İkinci Gəliş və ya Lord Kelvinin Cihazı
Dəfələrlə bu sual on doqquzuncu əsrin sonunda, axın və axışın intensivliyini proqnozlaşdırmaq üçün Furye seriyalarından istifadə etməyə çalışılan zaman qaldırıldı. Bu zaman Lord Kelvin hərbi və ticarət donanmasının dənizçilərinə bu təbii hadisəni izləməyə imkan verən analoq hesablama cihazı olan cihaz icad etdi. Bu mexanizm, il ərzində müəyyən bir limanda diqqətlə ölçülən gelgit hündürlükləri və onların müvafiq vaxt anları cədvəlindən fazaların və amplitüdlərin dəstlərini təyin etdi. Hər bir parametr gelgit hündürlüyü ifadəsinin sinusoidal komponenti idi və müntəzəm komponentlərdən biri idi. Ölçmələrin nəticələri gələn il üçün zaman funksiyası kimi suyun hündürlüyünü proqnozlaşdıran əyrini sintez edən Lord Kelvinin kalkulyatoruna daxil edildi. Tezliklə dünyanın bütün limanları üçün oxşar əyrilər tərtib edildi.
Və proses fasiləsiz funksiya ilə pozulubsa?
O zaman çoxlu sayda hesablama elementləri olan gelgit dalğasının proqnozlaşdırıcısının çoxlu sayda faza və amplitüdləri hesablaya biləcəyi və beləliklə, daha dəqiq proqnozlar verə biləcəyi açıq görünürdü. Buna baxmayaraq, bu qanunauyğunluğun aşağıdakı gelgit ifadəsi olduğu hallarda müşahidə olunmadığı ortaya çıxdısintez, kəskin sıçrayış ehtiva edirdi, yəni fasiləsiz idi. Zaman anları cədvəlindən məlumat cihaza daxil edilərsə, o, bir neçə Furye əmsalını hesablayır. Orijinal funksiya sinusoidal komponentlər sayəsində bərpa olunur (tapılmış əmsallara görə). Orijinal və bərpa edilmiş ifadə arasındakı uyğunsuzluq istənilən nöqtədə ölçülə bilər. Təkrar hesablamalar və müqayisələr apararkən ən böyük xətanın qiymətinin azalmadığını görmək olar. Bununla belə, onlar kəsilmə nöqtəsinə uyğun bölgədə lokallaşdırılır və istənilən digər nöqtədə sıfıra meyllidirlər. 1899-cu ildə bu nəticə Yale Universitetindən Joshua Willard Gibbs tərəfindən nəzəri olaraq təsdiq edildi.
Furye sıralarının yaxınlaşması və ümumilikdə riyaziyyatın inkişafı
Furye təhlili müəyyən intervalda sonsuz sayda partlama olan ifadələrə tətbiq edilmir. Ümumiyyətlə, Furye seriyası, əgər orijinal funksiya real fiziki ölçmənin nəticəsidirsə, həmişə yaxınlaşır. Bu prosesin konkret funksiya sinifləri üçün yaxınlaşması ilə bağlı suallar riyaziyyatda yeni bölmələrin, məsələn, ümumiləşdirilmiş funksiyalar nəzəriyyəsinin yaranmasına səbəb oldu. L. Şvarts, J. Mikusinski və J. Templ kimi adlarla bağlıdır. Bu nəzəriyyə çərçivəsində Dirac delta funksiyası (bir nöqtənin sonsuz kiçik qonşuluğunda cəmləşmiş tək ərazinin sahəsini təsvir edir) və Heaviside kimi ifadələr üçün aydın və dəqiq nəzəri əsas yaradılmışdır. addım”. Bu iş sayəsində Furye seriyası tətbiq oluna bildiintuitiv anlayışları əhatə edən tənliklərin və problemlərin həlli: nöqtə yükü, nöqtə kütləsi, maqnit dipolları, həmçinin şüa üzərində cəmlənmiş yük.
Furye üsulu
Furye seriyası, müdaxilə prinsiplərinə uyğun olaraq, mürəkkəb formaların daha sadə formalara parçalanması ilə başlayır. Məsələn, istilik axınının dəyişməsi onun qeyri-müntəzəm formalı istilik izolyasiya edən materialdan hazırlanmış müxtəlif maneələrdən keçməsi və ya yerin səthinin dəyişməsi - zəlzələ, göy cisminin orbitinin dəyişməsi - təsiri ilə izah olunur. planetlər. Bir qayda olaraq, sadə klassik sistemləri təsvir edən oxşar tənliklər hər bir fərdi dalğa üçün elementar olaraq həll edilir. Furye göstərdi ki, sadə həllər də daha mürəkkəb problemlərin həllini vermək üçün cəmləşdirilə bilər. Riyaziyyat dili ilə desək, Furye seriyası ifadəni harmoniklərin - kosinus və sinusoidlərin cəmi kimi təqdim etmək üçün bir texnikadır. Buna görə də bu analiz "harmonik analiz" kimi də tanınır.
Fourier seriyası - "kompüter əsrindən" əvvəl ideal texnika
Kompüter texnologiyası yaranmamışdan əvvəl Furye texnikası dünyamızın dalğa təbiəti ilə işləyərkən elm adamlarının arsenalında ən yaxşı silah idi. Mürəkkəb formada olan Furye seriyası təkcə Nyuton mexanikasının qanunlarına birbaşa tətbiq oluna bilən sadə məsələləri deyil, həm də fundamental tənlikləri həll etməyə imkan verir. On doqquzuncu əsrdə Nyuton elminin kəşflərinin əksəriyyəti yalnız Furye texnikası sayəsində mümkün olmuşdur.
Bu gün Furye seriyası
Fourier transform kompüterlərinin inkişafı ilətamamilə yeni səviyyəyə qaldırıldı. Bu texnika elm və texnologiyanın demək olar ki, bütün sahələrində möhkəm şəkildə yerləşmişdir. Məsələn, rəqəmsal audio və video siqnaldır. Onun həyata keçirilməsi yalnız on doqquzuncu əsrin əvvəllərində fransız riyaziyyatçısı tərəfindən hazırlanmış nəzəriyyə sayəsində mümkün olmuşdur. Beləliklə, Furye seriyası mürəkkəb formada kosmosun tədqiqində sıçrayış etməyə imkan verdi. Bundan əlavə, o, yarımkeçirici materialların və plazmanın fizikasının, mikrodalğalı akustikanın, okeanoqrafiyanın, radarın, seysmologiyanın öyrənilməsinə təsir göstərmişdir.
Triqonometrik Furye seriyası
Riyaziyyatda Furye seriyası ixtiyari mürəkkəb funksiyaları daha sadələrin cəmi kimi təqdim etmək üsuludur. Ümumi hallarda belə ifadələrin sayı sonsuz ola bilər. Üstəlik, hesablamada onların sayı nə qədər çox nəzərə alınarsa, son nəticə bir o qədər dəqiqdir. Çox vaxt kosinus və ya sinusun triqonometrik funksiyaları ən sadələri kimi istifadə olunur. Bu halda Furye silsiləsi triqonometrik, belə ifadələrin həlli isə harmonik genişlənməsi adlanır. Bu metod riyaziyyatda mühüm rol oynayır. Hər şeydən əvvəl, triqonometrik sıra təsvir üçün bir vasitə təmin edir, həmçinin funksiyaların öyrənilməsi, nəzəriyyənin əsas aparatıdır. Bundan əlavə, riyazi fizikanın bir sıra məsələlərini həll etməyə imkan verir. Nəhayət, bu nəzəriyyə riyazi analizin inkişafına töhfə verdi, riyaziyyat elminin bir sıra çox mühüm bölmələrinin (inteqrallar nəzəriyyəsi, dövri funksiyalar nəzəriyyəsi) yaranmasına səbəb oldu. Bundan əlavə, o, aşağıdakı nəzəriyyələrin inkişafı üçün başlanğıc nöqtəsi kimi xidmət etdi: çoxluqlar, funksiyalarreal dəyişən, funksional analiz və həmçinin harmonik analizin əsasını qoydu.
