Yəqin ki, törəmə anlayışı hər birimizə məktəb illərindən tanışdır. Adətən tələbələr bunu anlamaqda çətinlik çəkirlər, şübhəsiz ki, çox vacib bir şeydir. O, insanların həyatının müxtəlif sahələrində fəal şəkildə istifadə olunur və bir çox mühəndislik inkişafı məhz törəmədən istifadə etməklə əldə edilən riyazi hesablamalara əsaslanırdı. Amma ədədlərin hansı törəmələri olduğunu, onların necə hesablanacağını və bizim üçün harada faydalı olduğunu təhlil etməyə keçməzdən əvvəl gəlin tarixə qərq edək.
Tarix
Riyazi analizin əsasını təşkil edən törəmə anlayışını ("icad edilmişdir" demək daha yaxşı olardı, çünki təbiətdə belə mövcud deyildi) hamımızın tanıdığı İsaak Nyuton tərəfindən kəşf edilmişdir. ümumdünya cazibə qanununun kəşfindən. Cisimlərin sürəti və sürətlənməsinin təbiətini əlaqələndirmək üçün bu anlayışı ilk dəfə fizikada tətbiq edən o idi. Və bir çox elm adamları hələ də Nyutonu bu möhtəşəm ixtiraya görə tərifləyirlər, çünki əslində o, diferensial və inteqral hesablamaların əsasını, əslində "hesablama" adlanan riyaziyyatın bütöv bir sahəsinin əsasını icad etmişdir. Əgər o vaxt Nobel mükafatı olsaydı, Nyuton onu bir neçə dəfə yüksək ehtimalla alardı.
Başqa böyük ağıllar olmadan olmaz. Nyutondan başqaLeonhard Euler, Louis Lagrange və Gottfried Leibniz kimi görkəmli riyaziyyat dahiləri törəmə və inteqralın inkişafı üzərində çalışdılar. Məhz onların sayəsində biz diferensial hesablama nəzəriyyəsini bu günə qədər mövcud olduğu formada almışıq. Yeri gəlmişkən, törəmənin həndəsi mənasını kəşf edən Leybnits olmuşdur ki, bu da funksiyanın qrafikinə toxunan meylinin tangensindən başqa bir şey olmadığı ortaya çıxdı.
Ədədlərin törəmələri hansılardır? Gəlin məktəbdə yaşadıqlarımızı bir az təkrarlayaq.
Törəmə nədir?
Bu anlayış bir neçə fərqli şəkildə müəyyən edilə bilər. Ən sadə izahat budur ki, törəmə funksiyanın dəyişmə sürətidir. X-in hansısa y funksiyasının qrafikini təsəvvür edin. Düz deyilsə, onda onun qrafikdə bəzi əyriləri, artım və azalma dövrləri var. Bu qrafikin sonsuz kiçik intervalını götürsək, düz xətt seqmenti olacaqdır. Beləliklə, y koordinatı boyunca bu sonsuz kiçik seqmentin ölçüsünün x koordinatı boyunca ölçüsünə nisbəti bu funksiyanın verilmiş nöqtədə törəməsi olacaqdır. Əgər funksiyanı konkret nöqtədə deyil, bütöv hesab etsək, onda biz törəmə funksiyanı, yəni y-nin x-dən müəyyən asılılığını alacağıq.
Bundan başqa, törəmənin funksiyanın dəyişmə sürəti kimi fiziki mənası ilə yanaşı, həndəsi mənası da var. İndi onun haqqında danışacağıq.
Həndəsi məna
Rəqəmlərin törəmələri özləri düzgün başa düşülmədən daşınmayan müəyyən bir ədədi təmsil edirlər.mənası yoxdur. Belə çıxır ki, törəmə təkcə funksiyanın artım və ya azalma sürətini deyil, həm də verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan meylinin tangensini də göstərir. Çox aydın tərif deyil. Bunu daha ətraflı təhlil edək. Tutaq ki, funksiyanın qrafiki var (maraq üçün əyri götürək). Sonsuz sayda nöqtəyə malikdir, lakin yalnız bir nöqtənin maksimum və ya minimuma malik olduğu sahələr var. İstənilən belə nöqtə vasitəsilə həmin nöqtədə funksiyanın qrafikinə perpendikulyar olan xətt çəkmək olar. Belə bir xətt tangens adlanacaqdır. Tutaq ki, biz onu OX oxu ilə kəsişməyə sərf etdik. Beləliklə, tangens və OX oxu arasında əldə edilən bucaq törəmə ilə müəyyən ediləcəkdir. Daha doğrusu, bu bucağın tangensi ona bərabər olacaq.
Xüsusi hallar haqqında bir az danışaq və ədədlərin törəmələrini təhlil edək.
Xüsusi hallar
Daha əvvəl dediyimiz kimi, ədədlərin törəmələri müəyyən bir nöqtədə törəmənin qiymətləridir. Məsələn, y=x2 funksiyasını götürək. Törəmə x ədəddir və ümumi halda 2x-ə bərabər olan funksiyadır. Əgər biz x0=1 nöqtəsində törəməni hesablamalıyıqsa, onda y'(1)=21=2 alırıq. Hər şey çox sadədir. Maraqlı bir hal kompleks ədədin törəməsidir. Kompleks ədədin nə olduğunu ətraflı izah etməyə girməyəcəyik. Tutaq ki, bu, xəyali vahid deyilən bir ədəd - kvadratı -1 olan bir ədəddir. Belə bir törəmənin hesablanması yalnız aşağıdakılar olduqda mümkündürşərtlər:
1) Y və X-ə görə həqiqi və xəyali hissələrin birinci dərəcəli qismən törəmələri olmalıdır.
2) Birinci paraqrafda təsvir edilən qismən törəmələrin bərabərliyi ilə bağlı Koşi-Riman şərtləri yerinə yetirilir.
Daha bir maraqlı hal, əvvəlki kimi mürəkkəb olmasa da, mənfi ədədin törəməsidir. Əslində, hər hansı bir mənfi ədəd -1 ilə vurulan müsbət ədəd kimi təqdim edilə bilər. Yaxşı, sabitin və funksiyanın törəməsi sabitin funksiyanın törəməsi ilə vurulmasına bərabərdir.
Törəmənin gündəlik həyatda rolu haqqında öyrənmək maraqlı olacaq və indi bunu müzakirə edəcəyik.
Tətbiq
Yəqin ki, hər birimiz həyatında heç olmasa bir dəfə riyaziyyatın onun üçün faydalı ola bilməyəcəyini düşünürük. Və törəmə kimi mürəkkəb bir şeyin, yəqin ki, heç bir tətbiqi yoxdur. Əslində riyaziyyat fundamental elmdir və onun bütün bəhrələrini əsasən fizika, kimya, astronomiya və hətta iqtisadiyyat inkişaf etdirir. Törəmə bizə funksiyaların qrafiklərindən nəticə çıxarmaq imkanı verən riyazi analizin başlanğıcı idi və biz onun sayəsində təbiət qanunlarını şərh etməyi və onları öz xeyrimizə çevirməyi öyrəndik.
Nəticə
Əlbəttə, real həyatda hər kəsin törəmə ehtiyacı olmaya bilər. Amma riyaziyyat məntiqi inkişaf etdirir, buna mütləq ehtiyac olacaq. Əbəs yerə riyaziyyatı elmlərin kraliçası adlandırmırlar: o, digər bilik sahələrini dərk etmək üçün əsas təşkil edir.
