Sadə və qısa desək, əhatə dairəsi istənilən funksiyanın qəbul edə biləcəyi dəyərlərdir. Bu mövzunu tam araşdırmaq üçün aşağıdakı məqamları və anlayışları tədricən sökmək lazımdır. Əvvəlcə funksiyanın tərifini və onun yaranma tarixini anlayaq.
Funksiya nədir
Bütün dəqiq elmlər bizə sözügedən dəyişənlərin müəyyən mənada bir-birindən asılı olduğu çoxlu nümunələr təqdim edir. Məsələn, maddənin sıxlığı tamamilə onun kütləsi və həcmi ilə müəyyən edilir. Sabit həcmdə ideal qazın təzyiqi temperaturdan asılı olaraq dəyişir. Bu nümunələri bütün düsturların funksional adlanan dəyişənlər arasında asılılıqları olması faktı birləşdirir.
Funksiya bir kəmiyyətin digərindən asılılığını ifadə edən anlayışdır. O, y=f(x) formasına malikdir, burada y funksiyanın qiymətidir, bu da x - arqumentdən asılıdır. Beləliklə, deyə bilərik ki, y x-in qiymətindən asılı dəyişəndir. x-in birlikdə götürə biləcəyi dəyərlərdirverilmiş funksiyanın sahəsi (D(y) və ya D(f)) və müvafiq olaraq y-nin qiymətləri funksiya dəyərlərinin çoxluğunu (E(f) və ya E(y)) təşkil edir. Elə hallar olur ki, funksiya hansısa düsturla verilir. Bu halda, tərif sahəsi bu cür dəyişənlərin dəyərindən ibarətdir ki, burada düsturla qeyd mənalı olur.
Uyğun və ya bərabər xüsusiyyətlər var. Bunlar bərabər etibarlı dəyərlər diapazonuna malik iki funksiyadır, həmçinin funksiyanın özünün dəyərləri bütün eyni arqumentlər üçün bərabərdir.
Dəqiq elmlərin bir çox qanunları real həyatdakı vəziyyətlərə bənzər şəkildə adlandırılır. Riyazi funksiya ilə bağlı belə maraqlı bir fakt da var. Eyni həddi olan digər ikisi arasında "sandviçlənmiş" funksiyanın həddi haqqında bir teorem var - iki polis haqqında. Onlar bunu belə izah edirlər: iki polis məhbusu aralarındakı kameraya apardığından, cinayətkar ora getməyə məcbur olur və onun sadəcə seçimi yoxdur.
Tarixi xüsusiyyət arayışı
Funksiya anlayışı dərhal yekun və dəqiq olmamışdır, o, uzun bir çevrilmə yolu keçmişdir. Birincisi, Fermatın 17-ci əsrin sonlarında nəşr olunan Təqdimat və Tədqiqat Planı və Bərk Yerlər kitabında aşağıdakılar ifadə edildi:
Son tənlikdə iki naməlum olduqda, yer var.
Ümumiyyətlə, bu əsər funksional asılılıqdan və onun maddi təsvirindən (yer=xətt) danışır.
Həmçinin, təxminən eyni zamanda, Rene Dekart "Həndəsə" (1637) əsərində xətləri onların tənliklərinə görə tədqiq etdi, burada yenə faktiki kəmiyyətin bir-birindən asılılığı.
“Funksiya” termininin özü yalnız 17-ci əsrin sonlarında Leybnizlə ortaya çıxdı, lakin onun müasir şərhində deyil. Elmi işində o hesab edirdi ki, funksiya əyri xəttlə əlaqəli müxtəlif seqmentlərdir.
Amma artıq 18-ci əsrdə funksiya daha düzgün müəyyən edilməyə başlandı. Bernoulli aşağıdakıları yazdı:
Funksiya dəyişən və sabitdən ibarət dəyərdir.
Eulerin fikirləri də buna yaxın idi:
Dəyişən kəmiyyət funksiyası bu dəyişən kəmiyyət və ədədlərdən və ya sabit kəmiyyətlərdən hansısa şəkildə qurulmuş analitik ifadədir.
Bəzi kəmiyyətlər başqalarından elə asılı olduqda ki, sonuncular dəyişdikdə özü də dəyişir, onda birincilər sonuncunun funksiyaları adlanır.
Funksiya Qrafiki
Funksiya qrafiki koordinat müstəvisinin oxlarına aid olan, absisləri arqumentin qiymətlərini alan bütün nöqtələrdən ibarətdir və bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətləri ordinatlardır.
Funksiyanın əhatə dairəsi bilavasitə onun qrafiki ilə bağlıdır, çünki hər hansı absis etibarlı qiymətlər diapazonu ilə xaric edilirsə, onda siz qrafikdə boş nöqtələr çəkmək və ya müəyyən hədlər daxilində qrafiki çəkmək lazımdır. Məsələn, y=tgx formasının qrafiki götürülərsə, x=pi / 2 + pin, n∉R dəyəri tərif sahəsindən xaric edilir, toxunan qrafik olduqda, çəkmək lazımdır.±pi/2 nöqtələrindən keçən y oxuna paralel şaquli xətlər (onlara asimptotlar deyilir).
Funksiyaların hərtərəfli və diqqətlə öyrənilməsi riyaziyyatın hesablama adlanan böyük bir qolunu təşkil edir. Elementar riyaziyyatda funksiyalar haqqında elementar suallara da toxunulur, məsələn, sadə qrafikin qurulması və funksiyanın bəzi əsas xassələrinin qurulması.
Hansı funksiya təyin edilə bilər
Funksiya ola bilər:
- düstur olun, məsələn: y=cos x;
- forma (x; y) cütlərinin istənilən cədvəli ilə təyin olunur;
- dərhal qrafik görünüş əldə edin, bunun üçün formanın əvvəlki elementindən (x; y) olan cütlər koordinat oxlarında göstərilməlidir.
Bəzi yüksək səviyyəli məsələləri həll edərkən diqqətli olun, demək olar ki, hər hansı bir ifadə y (x) funksiyasının dəyərinin bəzi arqumentinə münasibətdə funksiya kimi qəbul edilə bilər. Bu cür tapşırıqlarda tərif sahəsinin tapılması həllin açarı ola bilər.
Əhatə dairəsi nədir?
Funksiyanı öyrənmək və ya qurmaq üçün onu bilməli olduğunuz ilk şey onun əhatə dairəsidir. Qrafikdə yalnız funksiyanın mövcud ola biləcəyi nöqtələr olmalıdır. Tərif sahəsi (x) həm də məqbul dəyərlər sahəsi (ODZ kimi qısaldılmış) kimi istinad edilə bilər.
Funksiyaların qrafikini düzgün və tez qurmaq üçün bu funksiyanın domenini bilməlisiniz, çünki qrafikin görünüşü və düzgünlüyü ondan asılıdır. Tikinti. Məsələn, y=√x funksiyasını qurmaq üçün bilmək lazımdır ki, x yalnız müsbət qiymətlər qəbul edə bilər. Buna görə də o, yalnız birinci koordinat kvadrantında qurulur.
Elementar funksiyalar misalında tərifin əhatə dairəsi
Öz arsenalında riyaziyyat az sayda sadə, müəyyən edilmiş funksiyalara malikdir. Onların məhdud əhatə dairəsi var. Qarşınızda mürəkkəb deyilən bir funksiya olsa belə, bu məsələnin həlli çətinlik yaratmayacaq. Bu, sadəcə bir neçə sadə olanın birləşməsidir.
- Beləliklə, funksiya kəsr ola bilər, məsələn: f(x)=1/x. Beləliklə, dəyişən (bizim arqumentimiz) məxrəcdədir və hamı bilir ki, kəsrin məxrəci 0-a bərabər ola bilməz, ona görə də arqument 0-dan başqa istənilən qiymət ala bilər. Qeyd belə görünəcək: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Məxrəcdə dəyişən olan bəzi ifadə varsa, onda x üçün tənliyi həll etməli və məxrəci 0-a çevirən dəyərləri istisna etməlisiniz. Sxematik təsvir üçün yaxşı seçilmiş 5 nöqtə kifayətdir. Bu funksiyanın qrafiki (0; 0) nöqtəsindən və kombinasiyada Ox və Oy oxlarından keçən şaquli asimptotlu hiperbola olacaqdır. Qrafik təsvir asimptotlarla kəsişirsə, belə bir xəta ən kobud hesab ediləcək.
- Bəs kökün domeni nədir? Tərkibində dəyişən olan radikal ifadəli (f(x)=√(2x + 5)) funksiyanın oblastı da öz nüanslarına malikdir (yalnız cüt dərəcənin kökünə aiddir). kimiarifmetik kök müsbət ifadədir və ya 0-a bərabərdir, onda kök ifadəsi 0-dan böyük və ya bərabər olmalıdır, biz aşağıdakı bərabərsizliyi həll edirik: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, buna görə də bunun oblastı funksiyası: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Qrafik parabolanın 90 dərəcə fırlanan qollarından biridir və birinci koordinat kvadrantında yerləşir.
- Əgər biz loqarifmik funksiya ilə məşğul oluruqsa, o zaman yadda saxlamaq lazımdır ki, loqarifmin əsası və loqarifmin işarəsi altında ifadə ilə bağlı məhdudiyyət var, bu halda tərif sahəsini aşağıdakı kimi tapa bilərsiniz. izləyir. Bizim funksiyamız var: y=loga(x + 7), bərabərsizliyi həll edirik: x + 7 > 0, x > -7. Onda bu funksiyanın oblastı D(y)=x ∈ (-7; +∞) olur.
- Y=tgx və y=ctgx formasının triqonometrik funksiyalarına da diqqət yetirin, çünki y=tgx=sinx/cos/x və y=ctgx=cosx/sinx olduğundan, dəyərləri istisna etməlisiniz məxrəc sıfıra bərabər ola bilər. Əgər triqonometrik funksiyaların qrafikləri ilə tanışsınızsa, onların domenini başa düşmək sadə məsələdir.
Mürəkkəb funksiyalarla işləmək necə fərqlidir
Bir neçə əsas qaydaları yadda saxla. Əgər mürəkkəb funksiya ilə işləyiriksə, onda nəyisə həll etməyə, sadələşdirməyə, kəsrlər əlavə etməyə, ən aşağı ortaq məxrəcə endirməyə və kökləri çıxarmağa ehtiyac yoxdur. Biz bu funksiyanı araşdırmalıyıq, çünki fərqli (hətta eyni) əməliyyatlar funksiyanın əhatə dairəsini dəyişə bilər, nəticədə yanlış cavab verilir.
Məsələn, bizim mürəkkəb funksiyamız var: y=(x2 - 4)/(x - 2). Biz kəsrin payını və məxrəcini azalda bilmərik, çünki bu, yalnız x ≠ 2 olduqda mümkündür və bu funksiyanın təyinat sahəsini tapmaq vəzifəsidir, ona görə də biz payı faktorlara ayırmırıq və heç bir bərabərsizliyi həll etmirik, çünki çılpaq gözlə görünən funksiyanın mövcud olmadığı dəyər. Bu halda x 2 qiymətini qəbul edə bilməz, məxrəc 0-a gedə bilmədiyi üçün qeyd belə görünəcək: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Qarşılıqlı funksiyalar
Başlayanlar üçün deməyə dəyər ki, funksiya yalnız artım və ya azalma intervalında geri çevrilə bilər. Tərs funksiyanı tapmaq üçün qeyddə x və y-ni dəyişdirmək və x üçün tənliyi həll etmək lazımdır. Tərif və dəyər domenləri sadəcə tərsinə çevrilir.
Qaytarılmanın əsas şərti funksiyanın monoton intervalıdır, əgər funksiyada artım və azalma intervalları varsa, onda hər hansı bir intervalın (artan və ya azalan) tərs funksiyasını tərtib etmək olar.
Məsələn, eksponensial funksiya üçün y=exqarşılıq təbii loqarifmik funksiyadır y=logea=lna. Triqonometriya üçün bunlar arc- prefiksi olan funksiyalar olacaq: y=sinx və y=arcsinx və s. Qrafiklər bəzi oxlara və ya asimptotlara görə simmetrik şəkildə yerləşdiriləcək.
Nəticələr
Məqbul dəyərlər diapazonunun axtarışı funksiyaların qrafikini (əgər varsa) araşdırmaqdan ibarətdir.lazımi xüsusi bərabərsizliklər sisteminin qeydi və həlli.
Beləliklə, bu məqalə funksiyanın əhatə dairəsinin nə üçün olduğunu və onu necə tapacağınızı anlamağa kömək etdi. Ümid edirik ki, bu, sizə əsas məktəb kursunu yaxşı başa düşməyə kömək edəcək.
