Kosmosdakı fiqurları nəzərdən keçirərkən, onların səth sahəsini təyin edərkən çox vaxt problemlər yaranır. Belə fiqurlardan biri konusdur. Məqalədə yuvarlaq əsaslı konusun, eləcə də kəsik konusunun yan səthinin nə olduğunu nəzərdən keçirək.
Dairəvi əsaslı konus
Konusun yan səthinin nəzərdən keçirilməsinə keçməzdən əvvəl onun hansı fiqur olduğunu və həndəsi üsullardan istifadə edərək necə əldə olunacağını göstərəcəyik.
Düzbucaqlı ABC üçbucağını götürün, burada AB və AC ayaqlarıdır. Gəlin bu üçbucağı AC ayağına qoyub AB ayağının ətrafında döndərək. Nəticədə, AC və BC tərəfləri aşağıda göstərilən rəqəmin iki səthini təsvir edir.
Fırlanma ilə alınan fiqur dairəvi düz konus adlanır. Dəyirmidir, çünki onun əsası dairədir və düzdür, çünki fiqurun yuxarısından çəkilmiş perpendikulyar (B nöqtəsi) onun mərkəzində dairəni kəsir. Bu perpendikulyarın uzunluğu hündürlük adlanır. Aydındır ki, AB ayağına bərabərdir. Hündürlük adətən h hərfi ilə işarələnir.
Hündürlükdən başqa, nəzərə alınan konus daha iki xətti xüsusiyyətlə təsvir olunur:
- yaradıcı və ya generatrix (hipotenuza BC);
- əsas radius (ayaq AC).
Radius r hərfi, generatoratrix isə g ilə işarələnəcək. Sonra Pifaqor teoremini nəzərə alaraq, nəzərdən keçirilən rəqəm üçün vacib olan bərabərliyi yaza bilərik:
g2=h2+ r2
Konusvari səth
Bütün generatrislərin məcmusu konusun konusvari və ya yanal səthini təşkil edir. Görünüşdə onun hansı düz rəqəmə uyğun olduğunu söyləmək çətindir. Konusvari səthin sahəsini təyin edərkən sonuncunu bilmək vacibdir. Bu problemi həll etmək üçün süpürmə üsulundan istifadə olunur. O, aşağıdakılardan ibarətdir: bir səth ixtiyari bir generatrix boyunca zehni olaraq kəsilir və sonra bir müstəvidə açılır. Süpürgə əldə etməyin bu üsulu ilə aşağıdakı düz rəqəm əmələ gəlir.
Təxmin etdiyiniz kimi, dairə bazaya uyğundur, lakin dairəvi sektor konusvari bir səthdir, sahəsi bizi maraqlandırır. Sektor iki generatris və bir qövs ilə məhdudlaşır. Sonuncunun uzunluğu tam olaraq təməlin çevrəsinin perimetrinə (uzunluğuna) bərabərdir. Bu xüsusiyyətlər dairəvi sektorun bütün xüsusiyyətlərini unikal şəkildə müəyyənləşdirir. Aralıq riyazi hesablamalar verməyəcəyik, ancaq konusun yan səthinin sahəsini hesablaya biləcəyiniz son düsturu dərhal yazın. Formula belədir:
Sb=pigr
Konuvari səthin sahəsi Sb iki parametrin və Pi-nin hasilinə bərabərdir.
Kəsilmiş konus və onun səthi
Əgər adi konus götürsək və yuxarısını paralel müstəvi ilə kəssək, yerdə qalan fiqur kəsilmiş konus olacaq. Yan səthi iki dairəvi əsasla məhdudlaşır. Onların radiuslarını R və r kimi qeyd edək. Fiqurun hündürlüyünü h, generatrisi isə g ilə işarə edirik. Aşağıda bu rəqəm üçün kağız kəsimi var.
Görünür ki, yan səth artıq dairəvi sektor deyil, mərkəzi hissə ondan kəsildiyi üçün sahəsi daha kiçikdir. İnkişaf dörd sətirlə məhdudlaşır, onlardan ikisi düz xətt seqmentləri-generatorlar, digər ikisi isə kəsilmiş konusun əsaslarının müvafiq dairələrinin uzunluqları olan qövslərdir.
Yan səth Sbaşağıdakı kimi hesablanır:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, radius və hündürlük aşağıdakı bərabərliklə əlaqələndirilir:
g2=h2+ (R - r)2
Rəqəmlərin sahələrinin bərabərliyi ilə bağlı problem
Hündürlüyü 20 sm və əsas radiusu 8 sm olan konus verilmişdir. Yan səthi bu konus ilə eyni sahəyə malik olan kəsilmiş konusun hündürlüyünü tapmaq lazımdır. Kəsilmiş fiqur eyni əsas üzərində qurulub və yuxarı əsasın radiusu 3 sm-dir.
İlk öncə konusun və kəsilmiş fiqurun sahələrinin bərabərlik şərtini yazaq. Bizdə:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
İndi hər formanın generatrisləri üçün ifadələri yazaq:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Bərabər sahələr üçün düsturda g1 və g2 əvəz edin və sol və sağ tərəfləri kvadrat edin, biz əldə edirik:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
H2 ifadəsini haradan əldə edirik:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Bu bərabərliyi sadələşdirməyəcəyik, sadəcə olaraq şərtdən məlum olan məlumatları əvəz edəcəyik:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14.85 sm
Beləliklə, fiqurların yan səthlərinin sahələrini bərabərləşdirmək üçün kəsilmiş konus aşağıdakı parametrlərə malik olmalıdır: R=8 sm, r=3 sm, h2≈ 14, 85 sm.
