Vahid cazibə sahəsində uzanmayan çəkisiz sapda (kütləsi bədənin çəkisi ilə müqayisədə cüzidir) asılı olan maddi nöqtədən (gövdədən) ibarət olan mexaniki sistemə riyazi sarkaç deyilir (digər adı osilator). Bu cihazın başqa növləri də var. Bir ipin əvəzinə çəkisiz bir çubuq istifadə edilə bilər. Riyazi sarkaç bir çox maraqlı hadisələrin mahiyyətini aydın şəkildə aça bilər. Kiçik bir salınım amplitüdü ilə onun hərəkəti harmonik adlanır.
Mexanik sistemə baxış
Bu sarkacın salınma dövrünün düsturu holland alimi Huygens (1629-1695) tərəfindən yaradılmışdır. İ. Nyutonun bu müasiri bu mexaniki sistemi çox sevirdi. 1656-cı ildə ilk sarkaçlı saatı yaratdı. Onlar vaxtı müstəsna olaraq ölçdüləro vaxtlar üçün dəqiqlik. Bu ixtira fiziki təcrübələrin və praktik fəaliyyətlərin inkişafında mühüm mərhələ oldu.
Əgər sarkaç tarazlıqdadırsa (şaquli asılı vəziyyətdədirsə), o zaman cazibə qüvvəsi sapın gərginliyi ilə tarazlaşdırılacaq. Uzadılmayan bir ip üzərində düz sarkaç, bir əlaqə ilə iki sərbəstlik dərəcəsi olan bir sistemdir. Yalnız bir komponenti dəyişdirəndə onun bütün hissələrinin xüsusiyyətləri dəyişir. Deməli, ip çubuqla əvəz olunarsa, bu mexaniki sistem yalnız 1 dərəcə sərbəstliyə malik olacaqdır. Riyazi sarkaç hansı xüsusiyyətlərə malikdir? Bu ən sadə sistemdə xaos dövri təlaşın təsiri altında yaranır. Asma nöqtəsinin hərəkət etmədiyi, əksinə salındığı halda, sarkaç yeni bir tarazlıq mövqeyinə malikdir. Sürətli yuxarı və aşağı salınımlarla bu mexaniki sistem sabit tərs mövqe əldə edir. Onun da öz adı var. O, Kapitsa sarkacı adlanır.
Pendul xüsusiyyətləri
Riyazi sarkaç çox maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir. Onların hamısı məlum fiziki qanunlarla təsdiqlənir. Hər hansı digər sarkacın salınma müddəti müxtəlif hallardan, məsələn, cismin ölçüsü və formasından, asma nöqtəsi ilə ağırlıq mərkəzi arasındakı məsafədən, bu nöqtəyə nisbətən kütlənin paylanmasından asılıdır. Buna görə asılmış bir cəsədin müddətini təyin etmək olduqca çətin bir işdir. Formulu aşağıda veriləcək riyazi sarkacın dövrünü hesablamaq daha asandır. Oxşar müşahidələr nəticəsindəmexaniki sistemlər aşağıdakı nümunələri yarada bilər:
• Sarkacın eyni uzunluğunu saxlayaraq, müxtəlif çəkilər assaq, kütlələri çox fərqli olsa da, onların salınma müddəti eyni olacaq. Buna görə də belə sarkacın müddəti yükün kütləsindən asılı deyil.
• Sistemi işə saldıqda, sarkaç çox böyük deyil, fərqli bucaqlarla əyilirsə, o, eyni dövrlə, lakin müxtəlif amplitudalarla salınmağa başlayacaq. Nə qədər ki, tarazlıq mərkəzindən kənarlaşmalar çox böyük deyil, onların formasındakı salınımlar harmoniklərə kifayət qədər yaxın olacaq. Belə sarkacın dövrü heç bir şəkildə salınım amplitudasından asılı deyildir. Bu mexaniki sistemin bu xüsusiyyəti izoxronizm adlanır (yunan dilindən tərcümədə "xronos" - zaman, "isos" - bərabərdir).
Riyazi sarkacın dövrü
Bu göstərici təbii rəqslərin dövrünü əks etdirir. Mürəkkəb ifadələrə baxmayaraq, prosesin özü çox sadədir. Əgər riyazi sarkacın sapının uzunluğu L, sərbəst düşmə sürəti isə g-dirsə, bu qiymət belədir:
T=2π√L/g
Kiçik təbii rəqslərin dövrü heç bir şəkildə sarkacın kütləsindən və salınımların amplitudasından asılı deyil. Bu halda, sarkaç qısaldılmış uzunluğu olan riyazi sarkaç kimi hərəkət edir.
Riyazi sarkacın yelləncəkləri
Riyazi sarkaç salınır, onu sadə diferensial tənliklə təsvir etmək olar:
x + ω2 sin x=0, burada x (t) naməlum funksiyadır (bu, aşağıdan sapma bucağıdır)t zamanında tarazlıq vəziyyəti, radyanla ifadə edilir); ω sarkacın parametrlərindən müəyyən edilən müsbət sabitdir (ω=√g/L, burada g sərbəst düşmə sürətidir və L riyazi sarkacın (asma) uzunluğudur).
Tarazlıq mövqeyinə yaxın kiçik dalğalanmaların tənliyi (harmonik tənlik) belə görünür:
x + ω2 sin x=0
Sarkacın salınan hərəkətləri
Kiçik salınımlar yaradan riyazi sarkaç sinusoid boyunca hərəkət edir. İkinci dərəcəli diferensial tənlik belə bir hərəkətin bütün tələblərinə və parametrlərinə cavab verir. Trayektoriyanı müəyyən etmək üçün müstəqil sabitlərin təyin olunduğu sürəti və koordinatı göstərməlisiniz:
x=Günah (θ0 + ωt), burada θ0 ilkin faza, A rəqs amplitudası, ω hərəkət tənliyindən təyin olunan siklik tezlikdir.
Riyazi sarkaç (böyük amplitüdlər üçün düsturlar)
Əhəmiyyətli amplituda salınımlar edən bu mexaniki sistem daha mürəkkəb hərəkət qanunlarına tabe olur. Belə bir sarkaç üçün onlar düsturla hesablanır:
sin x/2=usn(ωt/u), burada sn Yakobi sinüsüdür, u üçün < 1 dövri funksiyadır, kiçik u üçün isə sadə triqonometrik sinusla üst-üstə düşür. u dəyəri aşağıdakı ifadə ilə müəyyən edilir:
u=(ε + ω2)/2ω2, burada ε=E/mL2 (mL2 sarkacın enerjisidir).
Qeyri-xətti sarkacın rəqs dövrünün təyinidüsturla həyata keçirilir:
T=2π/Ω, burada Ω=π/2ω/2K(u), K elliptik inteqraldır, π - 3, 14.
Sarkacın ayırma xətti boyunca hərəkəti
Separatorluq ikiölçülü faza məkanı olan dinamik sistemin trayektoriyasıdır. Riyazi sarkaç onun boyunca dövri olmayan şəkildə hərəkət edir. Zamanın sonsuz uzaq anında o, həddindən artıq yuxarı mövqedən sıfır sürətlə yan tərəfə düşür, sonra tədricən onu götürür. O, nəhayət dayanaraq orijinal vəziyyətinə qayıdır.
Əgər sarkacın salınımlarının amplitudası π ədədinə yaxınlaşırsa, bu, faza müstəvisində hərəkətin ayırıcıya yaxınlaşdığını göstərir. Bu halda, kiçik hərəkətverici dövri qüvvənin təsiri altında mexaniki sistem xaotik davranış nümayiş etdirir.
Riyazi sarkaç müəyyən φ bucağı ilə tarazlıq mövqeyindən kənara çıxanda Fτ=–mg sin φ tangensial cazibə qüvvəsi yaranır. Mənfi işarə bu tangensial komponentin sarkacın əyilməsindən əks istiqamətə yönəldiyini bildirir. Sarkacın radiusu L olan çevrənin qövsü boyunca yerdəyişməsi x ilə işarələndikdə onun bucaq yerdəyişməsi φ=x/L-ə bərabər olur. Sürətlənmə vektorunun və qüvvənin proyeksiyaları üçün nəzərdə tutulmuş İsaak Nyutonun ikinci qanunu istənilən dəyəri verəcəkdir:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Bu nisbətə əsasən aydın olur ki, bu sarkaç qeyri-xətti sistemdir, çünki geri qayıtmağa çalışan qüvvətarazlıq mövqeyinə, həmişə x yerdəyişməsinə deyil, x/L-yə mütənasibdir.
Yalnız riyazi sarkaç kiçik rəqslər etdikdə, o, harmonik osilatordur. Başqa sözlə, harmonik titrəmələri yerinə yetirməyə qadir olan mexaniki bir sistemə çevrilir. Bu yaxınlaşma praktiki olaraq 15-20° bucaqlar üçün etibarlıdır. Böyük amplitüdlü sarkaç rəqsləri harmonik deyil.
Sarkacın kiçik salınımları üçün Nyuton qanunu
Bu mexaniki sistem kiçik vibrasiyalar həyata keçirirsə, Nyutonun 2-ci qanunu belə görünəcək:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Bunun əsasında belə nəticəyə gəlmək olar ki, riyazi sarkacın tangensial sürətlənməsi onun mənfi işarəli yerdəyişməsinə mütənasibdir. Bu, sistemin harmonik osilatora çevrilməsi şərtidir. Yerdəyişmə və sürətlənmə arasında mütənasib qazancın modulu dairəvi tezliyin kvadratına bərabərdir:
ω02=g/L; ω0=√ q/L.
Bu düstur bu tip sarkacın kiçik salınımlarının təbii tezliyini əks etdirir. Buna əsasən, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Enerjinin saxlanması qanununa əsaslanan hesablamalar
Sarkacın salınan hərəkətlərinin xassələrini enerjinin saxlanması qanunundan istifadə etməklə də təsvir etmək olar. Bu zaman nəzərə almaq lazımdır ki, qravitasiya sahəsində sarkacın potensial enerjisi:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Cəmi mexaniki enerjikinetik və ya maksimum potensiala bərabərdir: Epmax=Ekmsx=E
Enerjinin saxlanması qanunu yazıldıqdan sonra tənliyin sağ və sol tərəflərinin törəməsini götürün:
Ep + Ek=const
Sabit qiymətlərin törəməsi 0 olduğu üçün (Ep + Ek)'=0. Cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, buna görə:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Sonuncu düstura əsasən tapırıq: α=- g/Lx.
Riyazi sarkacın praktik tətbiqi
Sərbəst düşmənin sürətlənməsi coğrafi enliyə görə dəyişir, çünki bütün planetdə yer qabığının sıxlığı eyni deyil. Daha yüksək sıxlığa malik süxurların meydana gəldiyi yerlərdə, bir qədər yüksək olacaqdır. Riyazi sarkacın sürətləndirilməsi tez-tez geoloji kəşfiyyat üçün istifadə olunur. Müxtəlif mineralların axtarışı üçün istifadə olunur. Sadəcə olaraq sarkacın yelləncəklərinin sayını hesablayaraq, Yerin bağırsaqlarında kömür və ya filiz tapa bilərsiniz. Bu, belə fosillərin onların altında yatan boş süxurlardan daha sıxlıq və kütləə malik olması ilə əlaqədardır.
Riyazi sarkaç Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarx, Arximed kimi görkəmli alimlər tərəfindən istifadə edilmişdir. Onların bir çoxu bu mexaniki sistemin insanın taleyinə və həyatına təsir edə biləcəyinə inanırdı. Arximed hesablamalarında riyazi sarkaçdan istifadə etdi. İndi bir çox okkultistlər və ekstrasenslərpeyğəmbərliklərini yerinə yetirmək və ya itkin insanları axtarmaq üçün bu mexaniki sistemdən istifadə edin.
Məşhur fransız astronomu və təbiətşünası K. Flammarion da tədqiqatı üçün riyazi sarkaçdan istifadə edib. O, iddia edib ki, onun köməyi ilə yeni planetin kəşfi, Tunquska meteoritinin meydana çıxması və digər mühüm hadisələri proqnozlaşdıra bilib. İkinci Dünya Müharibəsi illərində Almaniyada (Berlin) ixtisaslaşmış Sarkaç İnstitutu işləyirdi. Bu gün Münhen Parapsixologiya İnstitutu analoji tədqiqatlarla məşğuldur. Bu qurumun işçiləri sarkaçla işlərini “radiesteziya” adlandırırlar.
