Orta məktəbdə stereometriyanı öyrənən hər bir şagird konusla rastlaşırdı. Bu məkan fiqurunun iki mühüm xüsusiyyəti səth sahəsi və həcmdir. Bu yazıda biz dairəvi konusun həcmini necə tapacağımızı göstərəcəyik.
Düzbucaqlı üçbucağın fırlanma fiquru kimi dairəvi konus
Məqalənin mövzusuna birbaşa keçməzdən əvvəl konusunu həndəsi nöqteyi-nəzərdən təsvir etmək lazımdır.
Bir az düzbucaqlı olsun. Onu hər hansı bir ayaq ətrafında çevirsəniz, bu hərəkətin nəticəsi aşağıdakı şəkildə göstərilən istədiyiniz rəqəm olacaq.
Burada AB ayağı konusun oxunun bir hissəsidir və onun uzunluğu fiqurun hündürlüyünə uyğundur. İkinci ayaq (seqment CA) konusun radiusu olacaq. Fırlanma zamanı o, fiqurun əsasını bağlayan dairəni təsvir edəcəkdir. BC hipotenuzası fiqurun generatrisi və ya onun generatrisi adlanır. B nöqtəsi konusun yeganə təpəsidir.
ABC üçbucağının xassələrini nəzərə alaraq generatrix g, radius r və hündürlüyü h arasındakı əlaqəni aşağıdakı kimi yaza bilərik.bərabərlik:
g2=h2+ r2
Bu düstur sözügedən fiqurla bağlı bir çox həndəsi məsələlərin həllində faydalıdır.
Konus həcm düsturu
Hər hansı bir fəza fiqurunun həcmi bu rəqəmin səthləri ilə məhdudlaşan fəza sahəsidir. Konus üçün iki belə səth var:
- Yanal və ya konusvari. Bütün generatrislər tərəfindən yaradılmışdır.
- Tonal. Bu halda, o, dairədir.
Konusun həcmini təyin etmək üçün düstur alın. Bunun üçün zehni olaraq bazaya paralel bir çox təbəqəyə kəsdik. Qatların hər biri sıfıra meylli olan dx qalınlığına malikdir. Şəklin yuxarısından x məsafədə olan təbəqənin Sx sahəsi aşağıdakı ifadəyə bərabərdir:
Sx=pir2x2/h 2
Bu ifadənin etibarlılığı x=0 və x=h qiymətlərini əvəz etməklə intuitiv olaraq yoxlanıla bilər. Birinci halda, sıfıra bərabər bir sahə alacağıq, ikinci halda, dairəvi bazanın sahəsinə bərabər olacaq.
Konusun həcmini təyin etmək üçün hər təbəqənin kiçik "həcmlərini" toplamaq lazımdır, yəni inteqral hesablamadan istifadə etməlisiniz:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Bu inteqralı hesablayaraq, dairəvi konus üçün son düstura çatırıq:
V=1/3pir2h
Qeyd etmək maraqlıdır ki, bu düstur ixtiyari piramidanın həcmini hesablamaq üçün istifadə edilən düstura tamamilə bənzəyir. Bu təsadüf təsadüfi deyil, çünki hər hansı piramida kənarlarının sayı sonsuza qədər artdıqda konus halına gəlir.
Həcmin Hesablanması Problemi
V həcmi üçün əldə edilmiş düsturdan istifadəni nümayiş etdirəcək problemin həllinə misal vermək faydalıdır.
Əsas sahəsi 37 sm2 olan dairəvi konus verilmiş və fiqurun generatoru radiusdan üç dəfə böyükdür. Konusun həcmi nə qədərdir?
İki kəmiyyəti biliriksə, həcm düsturundan istifadə etmək hüququmuz var: hündürlük h və radius r. Məsələnin şərtinə uyğun olaraq onları təyin edən düsturları tapaq.
R radiusunu So dairəsinin sahəsini bilməklə hesablamaq olar, bizdə:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Məsələnin şərtindən istifadə edərək g generatoru üçün bərabərliyi yazırıq:
g=3r=3√(So/pi)
r və g üçün düsturları bilməklə h hündürlüyünü hesablayın:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Bütün lazımi parametrləri tapdıq. İndi onları V formuluna əlavə etməyin vaxtıdır:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Əvəz etmək qalırbaza sahəsi So və həcm dəyərini hesablayın: V=119,75 sm3.
