Dördbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi: düsturlar və problem nümunələri

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Müstəvidə və üçölçülü fəzada tipik həndəsi məsələlər müxtəlif formalı səth sahələrinin təyini məsələləridir. Bu yazıda biz müntəzəm dördbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi üçün düstur təqdim edirik.

Piramida nədir?

Gəlin piramidanın ciddi həndəsi tərifini verək. Tutaq ki, n tərəfi və n küncü olan bir çoxbucaqlı var. Kosmosda göstərilən n-bucaqlının müstəvisində olmayacaq ixtiyari bir nöqtə seçirik və onu çoxbucaqlının hər bir təpəsinə birləşdiririk. Bəzi həcmə malik olan, n-bucaqlı piramida adlanan bir fiqur alacağıq. Məsələn, aşağıdakı şəkildə beşbucaqlı piramidanın necə göründüyünü göstərək.

Hər hansı bir piramidanın iki mühüm elementi onun əsası (n-gon) və yuxarıdır. Bu elementlər bir-biri ilə ümumiyyətlə bir-birinə bərabər olmayan n üçbucaqla bağlanır. Perpendikulyar aşağı düşdüyuxarıdan aşağıya fiqurun hündürlüyü deyilir. Əgər o, əsası həndəsi mərkəzdə kəsirsə (çoxbucaqlının kütlə mərkəzi ilə üst-üstə düşür), onda belə piramida düz xətt adlanır. Bu şərtə əlavə olaraq, əsas düzgün çoxbucaqlıdırsa, bütün piramida müntəzəm adlanır. Aşağıdakı rəqəm üçbucaqlı, dördbucaqlı, beşbucaqlı və altıbucaqlı əsaslarla müntəzəm piramidaların necə göründüyünü göstərir.

Piramida səthi

Müntəzəm dördbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi ilə bağlı suala keçməzdən əvvəl səthin özü anlayışı üzərində dayanmalıyıq.

Yuxarıda qeyd edildiyi və rəqəmlərdə göstərildiyi kimi, istənilən piramida üzlər və ya tərəflər dəsti ilə formalaşır. Bir tərəfi əsas, n tərəfi isə üçbucaqdır. Bütün fiqurun səthi onun hər tərəfinin sahələrinin cəmidir.

Açılan fiqur timsalında səthi öyrənmək rahatdır. Adi dördbucaqlı piramidanın skanı aşağıdakı rəqəmlərdə göstərilib.

Biz onun səthinin eyni ikitərəfli üçbucaqların dörd sahəsi ilə kvadratın sahəsinin cəminə bərabər olduğunu görürük.

Şəklin tərəflərini təşkil edən bütün üçbucaqların ümumi sahəsinə yan səthin sahəsi deyilir. Sonra onu adi dördbucaqlı piramida üçün necə hesablayacağımızı göstərəcəyik.

Dördbucaqlı müntəzəm piramidanın yan səthinin sahəsi

Yan tərəfin sahəsini hesablamaq üçüngöstərilən rəqəmin səthi, biz yenidən yuxarıdakı taramaya müraciət edirik. Tutaq ki, kvadrat əsasın tərəfini bilirik. Onu a simvolu ilə işarə edək. Dörd eyni üçbucağın hər birinin a uzunluğunda əsası olduğunu görmək olar. Onların ümumi sahəsini hesablamaq üçün bir üçbucaq üçün bu dəyəri bilmək lazımdır. Həndəsə kursundan məlumdur ki, S_{t üçbucağının sahəsi təməl və hündürlüyün məhsuluna bərabərdir, onu yarıya bölmək lazımdır. Yəni:}

S_t=1/2h_ba.

Burada h_b a əsasına çəkilmiş ikitərəfli üçbucağın hündürlüyüdür. Piramida üçün bu hündürlük apotemdir. İndi sözügedən piramida üçün yanal səthin S_{b sahəsini almaq üçün nəticə ifadəsini 4-ə vurmaq qalır:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Bu düstur iki parametrdən ibarətdir: apotem və əsasın tərəfi. Əgər məsələlərin əksər şərtlərində sonuncu məlumdursa, onda birincini digər kəmiyyətləri bilməklə hesablamaq lazımdır. İki hal üçün h_{b apotema hesablanması üçün düsturlar bunlardır:}

• yan qabırğanın uzunluğu məlum olduqda;
• piramidanın hündürlüyü məlum olduqda.

Əgər yan kənarın uzunluğunu (ikitərəfli üçbucağın tərəfi) L simvolu ilə işarələsək, onda h_{b apoteması aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Bu ifadə yanal səth üçbucağı üçün Pifaqor teoreminin tətbiqinin nəticəsidir.

Məlumdursapiramidanın hündürlüyü h, sonra h_{b apotema aşağıdakı kimi hesablana bilər:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Piramidanın daxilində h və a/2 ayaqları və h_{b tərəfindən əmələ gələn düzbucaqlı üçbucağı nəzərə alsaq, bu ifadəni əldə etmək də çətin deyil.}

İki maraqlı məsələni həll etməklə bu düsturları necə tətbiq edəcəyimizi göstərək.

Məlum səth sahəsi ilə bağlı problem

Məlumdur ki, müntəzəm dördbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi 108 sm²-dir. Piramidanın hündürlüyü 7 sm olarsa, onun h_{b apoteminin uzunluğunun qiymətini hesablamaq lazımdır.}

Yan səthin hündürlükdən keçən S_{b sahəsinin düsturunu yazaq. Bizdə:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Burada biz sadəcə olaraq S_{b ifadəsində müvafiq apotema düsturunu əvəz etdik. Tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıraq:}

S_b²=4a²h² + a^4.

A-nın dəyərini tapmaq üçün dəyişənlərdə dəyişiklik edək:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

İndi məlum dəyərləri əvəz edirik və kvadrat tənliyi həll edirik:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Bu tənliyin yalnız müsbət kökünü yazdıq. Onda piramidanın əsasının tərəfləri belə olacaq:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 sm.

Apotema uzunluğunu almaq üçün,sadəcə düsturdan istifadə edin:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 bax}

Xeops piramidasının yan səthi

Ən böyük Misir piramidası üçün yanal səth sahəsinin dəyərini təyin edin. Məlumdur ki, onun təməlində yan uzunluğu 230,363 metr olan kvadrat yerləşir. Quruluşun hündürlüyü əvvəlcə 146,5 metr idi. Bu ədədləri S_{b üçün uyğun düsturla əvəz edin, biz alaq:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Tapılan dəyər 17 futbol meydançasının ərazisindən bir qədər böyükdür.