1900-cü ildə keçən əsrin ən böyük alimlərindən biri David Hilbert riyaziyyatda həll edilməmiş 23 problemin siyahısını tərtib etmişdir. Onların üzərində iş insan biliklərinin bu sahəsinin inkişafına böyük təsir göstərmişdir. 100 il sonra Clay Riyaziyyat İnstitutu Minilliyin Problemləri kimi tanınan 7 problemin siyahısını təqdim etdi. Onların hər birinə 1 milyon dollar mükafat təklif edilib.
Bir əsrdən artıqdır ki, elm adamlarını narahat edən tapmacaların hər iki siyahısı arasında ortaya çıxan yeganə problem Riemann fərziyyəsi idi. O, hələ də qərarını gözləyir.
Qısa bioqrafik qeyd
Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-cı ildə Hannoverdə, kasıb bir pastorun böyük ailəsində anadan olub və cəmi 39 il yaşayıb. 10 əsərini çap etdirməyə nail olub. Bununla belə, artıq sağlığında Riemann müəllimi İohan Qaussun davamçısı hesab olunurdu. Gənc alim 25 yaşında “Mürəkkəb dəyişənlərin funksiyaları nəzəriyyəsinin əsasları” mövzusunda namizədlik dissertasiyası müdafiə edib. Daha sonra formullaşdırdıonun məşhur hipotezi.
Əsas ədədlər
Riyaziyyat insan saymağı öyrənəndə ortaya çıxdı. Eyni zamanda, rəqəmlər haqqında ilk fikirlər yarandı, sonradan təsnif etməyə çalışdılar. Onlardan bəzilərinin ümumi xüsusiyyətlərə malik olduğu müşahidə edilmişdir. Xüsusilə, natural ədədlər arasında, yəni cisimlərin sayını hesablamaqda (nömrələməkdə) və ya təyin etməkdə istifadə olunanlar arasında yalnız birə və özlərinə bölünən bir qrup fərqlənirdi. Onlara sadə deyilir. Belə ədədlər çoxluğunun sonsuzluq teoreminin nəfis sübutu Evklid tərəfindən “Elementlər” əsərində verilmişdir. Hazırda onların axtarışları davam etdirilir. Xüsusilə, artıq məlum olan ən böyük rəqəm 274 207 281 – 1.
Euler düsturu
Sadələr çoxluğunun sonsuzluğu anlayışı ilə yanaşı, Evklid yeganə mümkün parçalanma ilə bağlı ikinci teoremi də sadə amillərə ayırdı. Buna əsasən, istənilən müsbət tam ədəd yalnız bir sadə ədədlər toplusunun hasilidir. 1737-ci ildə böyük alman riyaziyyatçısı Leonhard Euler Evklidin ilk sonsuzluq teoremini aşağıdakı düstur kimi ifadə etdi.
Bu zeta funksiyası adlanır, burada s sabitdir və p bütün əsas dəyərləri alır. Evklidin genişlənmənin unikallığı ilə bağlı bəyanatı birbaşa ondan irəli gəlirdi.
Riemann Zeta Funksiyası
Euler düsturu, yaxından təftiş edildikdə, tamdırtəəccüblüdür, çünki o, sadə və tam ədədlər arasındakı əlaqəni müəyyən edir. Axı, yalnız sadə ədədlərdən asılı olan sonsuz sayda ifadələr onun sol tərəfində vurulur və bütün müsbət tam ədədlərlə əlaqəli cəmi sağda yerləşir.
Riemann Eylerdən irəli getdi. Ədədlərin paylanması probleminin açarını tapmaq üçün o, həm həqiqi, həm də mürəkkəb dəyişənlər üçün düstur təyin etməyi təklif etdi. Sonradan Riemann zeta funksiyasının adını alan o idi. 1859-cu ildə alim "Verilmiş dəyəri aşmayan sadə ədədlərin sayı haqqında" adlı məqalə dərc etdirir və burada bütün fikirlərini ümumiləşdirir.
Riemann istənilən real s>1 üçün birləşən Euler seriyasından istifadə etməyi təklif etdi. Əgər eyni düsturdan kompleks s üçün istifadə olunarsa, o zaman seriya bu dəyişənin istənilən dəyəri üçün 1-dən böyük real hissə ilə yaxınlaşacaq. Riemann zeta(lar)ın tərifini bütün kompleks ədədlərə genişləndirərək analitik davam prosedurunu tətbiq etdi, lakin vahidi "atdı". s=1-də zeta funksiyası sonsuza qədər artır, çünki o, xaric edilib.
Praktik məna
Məntiqi sual yaranır: Riemanın sıfır fərziyyəsi üzərində işində əsas olan zeta funksiyası niyə maraqlı və vacibdir? Bildiyiniz kimi, hal-hazırda sadə ədədlərin natural ədədlər arasında paylanmasını təsvir edəcək heç bir sadə nümunə müəyyən edilməmişdir. Rieman kəşf edə bildi ki, x-dən çox olmayan sadə ədədlərin pi(x) ədədi zeta funksiyasının qeyri-trivial sıfırlarının paylanması ilə ifadə edilir. Üstəlik, Riemann hipotezi belədirbəzi kriptoqrafik alqoritmlərin işləməsi üçün vaxt təxminlərini sübut etmək üçün zəruri şərt.
Riemann hipotezi
Bu günə qədər sübut olunmamış bu riyazi məsələnin ilk formulalarından biri belə səslənir: qeyri-trivial 0 zeta funksiyaları real hissəsi ½-ə bərabər olan kompleks ədədlərdir. Başqa sözlə, onlar Re s=½ xəttində yerləşirlər.
Həmçinin ümumiləşdirilmiş Riemann fərziyyəsi də var ki, bu da eyni ifadədir, lakin adətən Dirichlet L-funksiyaları adlanan zeta funksiyalarının ümumiləşdirilməsi üçün (aşağıdakı şəkilə baxın).
Düsturda χ(n) - bəzi ədədi simvol (modul k).
Riman ifadəsi mövcud nümunə məlumatlarına uyğunluğu sınaqdan keçirildiyi üçün boş fərziyyə adlanır.
Riemann mübahisə etdiyi kimi
Alman riyaziyyatçısının qeydi əvvəlcə olduqca təsadüfi ifadə edilmişdir. Məsələ burasındadır ki, o zaman alim sadə ədədlərin paylanması teoremini sübut etmək niyyətində idi və bu kontekstdə bu fərziyyə xüsusi əhəmiyyət kəsb etmirdi. Lakin bir çox başqa məsələlərin həllində onun rolu çox böyükdür. Buna görə də Riemanın fərziyyəsi indi bir çox elm adamları tərəfindən sübut olunmamış riyazi problemlərin ən mühümü kimi tanınır.
Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, paylanma teoremini sübut etmək üçün tam Riemann fərziyyəsinə ehtiyac yoxdur və zeta funksiyasının hər hansı qeyri-trivial sıfırının həqiqi hissəsinin məntiqi olaraq əsaslandırılması kifayətdir.0 ilə 1 arasında. Bu xassədən belə nəticə çıxır ki, yuxarıdakı dəqiq düsturda görünən zeta funksiyasının bütün 0-larının cəmi sonlu sabitdir. Böyük x dəyərləri üçün o, tamamilə itirilə bilər. Çox böyük x üçün belə eyni qalan düsturun yeganə üzvü x-in özüdür. Qalan mürəkkəb terminlər onunla müqayisədə asimptotik şəkildə yox olur. Beləliklə, çəkili cəmi x-ə meyl edir. Bu halı sadə ədədlərin paylanması teoreminin doğruluğunun təsdiqi hesab etmək olar. Beləliklə, Riemann zeta funksiyasının sıfırları xüsusi rola malikdir. Bu, belə dəyərlərin parçalanma düsturuna əhəmiyyətli töhfə verə bilməyəcəyini sübut etməkdən ibarətdir.
Riemannın İzləyiciləri
Vərəmdən faciəli ölüm bu alimə öz proqramını məntiqi sona çatdırmağa imkan vermədi. Bununla belə, Ş-Zh onun vəzifəsini aldı. de la Vallée Poussin və Jacques Hadamard. Onlar bir-birindən asılı olmayaraq sadə ədədlərin paylanması haqqında teorem çıxardılar. Hadamard və Poussin bütün qeyri-trivial 0 zeta funksiyalarının kritik diapazonda olduğunu sübut edə bildilər.
Bu alimlərin əməyi sayəsində riyaziyyatda yeni bir istiqamət - ədədlərin analitik nəzəriyyəsi meydana çıxdı. Daha sonra Riemanın üzərində işlədiyi teoremin daha bir neçə primitiv sübutu digər tədqiqatçılar tərəfindən əldə edildi. Xüsusilə, Pal Erdős və Atle Selberg hətta onu təsdiqləyən çox mürəkkəb məntiqi zəncir kəşf etdilər ki, bu da kompleks təhlilin istifadəsini tələb etmir. Lakin, bu nöqtədə, bir neçə mühümbir çox ədəd nəzəriyyəsi funksiyalarının təxminləri daxil olmaqla teoremlər. Bu baxımdan, Erdos və Atle Selberqin yeni işi praktiki olaraq heç nəyə təsir etmədi.
Problemin ən sadə və ən gözəl sübutlarından biri 1980-ci ildə Donald Nyuman tərəfindən tapılıb. O, məşhur Koşi teoreminə əsaslanırdı.
Riman fərziyyəsi müasir kriptoqrafiyanın əsaslarını təhdid edirmi
Məlumatların şifrələnməsi heroqliflərin görünüşü ilə birlikdə yaranıb, daha doğrusu, onların özləri ilk kodlar sayıla bilər. Hazırda şifrələmə alqoritmlərini inkişaf etdirən rəqəmsal kriptoqrafiyanın bütün sahəsi mövcuddur.
Əsas və "yarı sadə" ədədlər, yəni eyni sinifdən yalnız 2 digər ədədə bölünənlər RSA kimi tanınan açıq açarlar sisteminin əsasını təşkil edir. Ən geniş tətbiq sahəsinə malikdir. Xüsusilə, elektron imzanın yaradılması zamanı istifadə olunur. Riemann fərziyyəsi dummilər üçün əlçatan olan terminlərdən danışarkən, sadə ədədlərin paylanmasında bir sistemin mövcudluğunu təsdiqləyir. Beləliklə, e-ticarət sahəsində onlayn əməliyyatların təhlükəsizliyinin asılı olduğu kriptoqrafik açarların gücü əhəmiyyətli dərəcədə azalır.
Digər həll olunmamış riyaziyyat problemləri
Məqaləni digər minilliyin hədəflərinə bir neçə söz həsr etməklə bitirməyə dəyər. Bunlara daxildir:
- P və NP siniflərinin bərabərliyi. Problem aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: əgər müəyyən bir sualın müsbət cavabı çoxhədli zamanda yoxlanılırsa, bu sualın cavabının özü doğrudurmu?tez tapmaq olar?
- Hodcanın fərziyyəsi. Sadə sözlərlə desək, onu aşağıdakı kimi formalaşdırmaq olar: bəzi proyektiv cəbr növləri (boşluqlar) üçün Hodc dövrləri həndəsi şərhə malik olan obyektlərin birləşməsidir, yəni cəbr dövrləri.
- Puankarenin fərziyyəsi. Bu, indiyə qədər sübut edilmiş yeganə Minilliyin Çağırışıdır. Buna əsasən, 3 ölçülü sferanın spesifik xüsusiyyətlərinə malik olan istənilən 3 ölçülü obyekt deformasiyaya qədər kürə olmalıdır.
- Yanqın kvant nəzəriyyəsinin təsdiqi - Mills. Bu alimlərin R 4 fəzası üçün irəli sürdüyü kvant nəzəriyyəsinin mövcud olduğunu və istənilən sadə yığcam ölçü qrupu G. üçün 0-cu kütlə qüsuruna malik olduğunu sübut etmək tələb olunur.
- Birch-Swinnerton-Dyer hipotezi. Bu kriptoqrafiya ilə bağlı başqa bir məsələdir. Elliptik əyrilərə toxunur.
- Navier-Stokes tənliklərinin həllinin mövcudluğu və hamarlığı problemi.
İndi Riemann fərziyyəsini bilirsiniz. Sadə dillə desək, biz digər Minilliyin Çağırışlarından bəzilərini tərtib etmişik. Onların həll ediləcəyi və ya həllinin olmadığı sübuta yetiriləcək ki, bu zaman məsələsidir. Üstəlik, bunun çox gözləməli olacağı ehtimalı yoxdur, çünki riyaziyyat kompüterlərin hesablama imkanlarından getdikcə daha çox istifadə edir. Lakin hər şey texnologiyaya tabe deyil və elmi problemləri həll etmək üçün ilk növbədə intuisiya və yaradıcılıq tələb olunur.
