Ali riyaziyyat tələbələri bilməlidirlər ki, verilmiş silsilənin yaxınlaşma intervalına aid olan bəzi səviyyəli sıraların cəmi davamlı və qeyri-məhdud sayda dəfə diferensiallaşdırılmış funksiyaya çevrilir. Sual yaranır: verilmiş ixtiyari f(x) funksiyasının bəzi dərəcələrin cəmi olduğunu iddia etmək olarmı? Yəni f(x) funksiyası hansı şəraitdə dərəcə seriyası ilə təmsil oluna bilər? Bu sualın əhəmiyyəti ondan ibarətdir ki, f(x) funksiyasını güc seriyasının ilk bir neçə üzvünün cəmi ilə, yəni çoxhədli ilə təxminən əvəz etmək mümkündür. Funksiyanı kifayət qədər sadə ifadə ilə - çoxhədli ilə belə əvəz etmək riyazi analizin bəzi məsələlərini həll edərkən də əlverişlidir, daha doğrusu: inteqralları həll edərkən, diferensial tənlikləri hesablayarkən və s.
Sübut edilmişdir ki, bəzi f(х) funksiyası üçün (n+1)-ci sıraya qədər olan törəmələrin, o cümlədən sonuncunun qonşuluqda hesablanması (α )- R; x0 + R) hansısa nöqtənin x=α düstur etibarlıdır:
Bu düstur məşhur alim Bruk Taylorun adını daşıyır. Əvvəlki seriyadan əldə edilən seriya Maclaurin seriyası adlanır:
Maclaurin seriyasında genişlənməyi mümkün edən qayda:
- Birinci, ikinci, üçüncü… sifarişlərin törəmələrini təyin edin.
- x=0-da törəmələrin nəyə bərabər olduğunu hesablayın.
- Bu funksiya üçün Maklaurin seriyasını qeyd edin və sonra onun yaxınlaşma intervalını təyin edin.
- Maklaurin düsturunun qalan hissəsinin olduğu intervalı (-R;R) təyin edin
R (x) -> 0 n -> sonsuzluq üçün. Əgər bunlardan biri varsa, onda f(x) funksiyası Maklaurin seriyasının cəmi ilə üst-üstə düşməlidir.
İndi ayrı-ayrı funksiyalar üçün Maclaurin seriyasını nəzərdən keçirin.
1. Beləliklə, birinci f(x)=ex olacaq. Təbii ki, xüsusiyyətlərinə görə belə bir funksiyanın müxtəlif sıralı törəmələri var və f(k)(x)=ex, burada k hamısına bərabərdir. natural ədədlər. Gəlin x=0 əvəz edək. Biz f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… alırıq belə görünür:
2. f(x)=sin x funksiyası üçün Maklaurin seriyası. Dərhal aydınlaşdırın ki, bütün naməlumlar üçün funksiya f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' ilə yanaşı törəmələrə malik olacaq. (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), burada k istənilən natural ədədə bərabərdir. Yəni sadə hesablamalar apardıqdan sonra belə nəticəyə gələ bilərik ki, f(x)=sin x üçün sıra belə olacaq:
3. İndi f(x)=cos x funksiyasını nəzərdən keçirməyə çalışaq. O, bütün bilinməyənlər üçündürixtiyari sıralı törəmələrə malikdir və |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Yenə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra f(x)=cos x üçün seriyanın belə görünəcəyini alırıq:
Beləliklə, biz Maclaurin seriyasında genişləndirilə bilən ən vacib funksiyaları sadaladıq, lakin bəzi funksiyalar üçün onlar Taylor seriyası ilə tamamlanır. İndi biz onları sadalayacağıq. Onu da qeyd etmək lazımdır ki, Taylor və Maclaurin seriyaları ali riyaziyyatda seriyaların həlli təcrübəsinin mühüm hissəsidir. Beləliklə, Taylor seriyası.
1. Birinci f-ii f(x)=ln(1+x) üçün sıra olacaq. Əvvəlki misallarda olduğu kimi, bizə f (x)=ln (1 + x) verildiyi kimi, Maclaurin seriyasının ümumi formasından istifadə edərək sıra əlavə edə bilərik. lakin bu funksiya üçün Maclaurin seriyası daha sadə şəkildə əldə edilə bilər. Müəyyən bir həndəsi silsilənin inteqrasiyasından sonra bu nümunənin f(x)=ln(1+x) üçün sıra alırıq:
2. Məqaləmizdə yekun olacaq ikincisi f (x) u003d arctg x üçün bir sıra olacaq. [-1;1] intervalına aid olan x üçün genişlənmə etibarlıdır:
Belədir. Bu məqalə ali riyaziyyatda, xüsusən də iqtisadi və texniki universitetlərdə ən çox istifadə edilən Taylor və Maclaurin seriyalarını araşdırdı.
