Riyaziyyat antik dövrdən yaranır. Onun sayəsində memarlıq, inşaat və hərbi elm yeni inkişaf mərhələsini verdi, riyaziyyatın köməyi ilə əldə edilən nailiyyətlər tərəqqi hərəkatına səbəb oldu. Bu günə qədər riyaziyyat bütün digər sahələrdə tapılan əsas elm olaraq qalır.
Təhsil almaq üçün birinci sinifdən uşaqlar tədricən bu mühitə qovuşmağa başlayırlar. Riyaziyyatı başa düşmək çox vacibdir, çünki bu və ya digər dərəcədə hər bir insanın həyatı boyu ağlına gəlir. Bu məqalə əsas elementlərdən birini təhlil edəcək - törəmələrin tapılması və tətbiqi. Bu konsepsiyanın nə qədər geniş istifadə edildiyini hər kəs təsəvvür edə bilməz. Törəmələrin müəyyən sahələrdə və ya elmlərdə 10-dan çox tətbiqini nəzərdən keçirin.
Törəmənin funksiyanın öyrənilməsində tətbiqi
Törəmə belə bir hədddirarqumentin eksponenti sıfıra meyl etdikdə funksiyanın artımının onun arqumentinin artımına nisbəti. Törəmə funksiyanın öyrənilməsində əvəzsiz bir şeydir. Məsələn, sonuncunun artım və azalma, ekstremal, qabarıqlıq və qabarıqlığı müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər. Diferensial hesablama riyaziyyat universitetlərinin 1-ci və 2-ci kurs tələbələri üçün məcburi tədris planına daxildir.
Əhatə dairəsi və funksiya sıfırları
Qrafikin hər hansı tədqiqinin birinci mərhələsi tərif sahəsinin, daha nadir hallarda isə dəyərin aşkarlanması ilə başlayır. Tərif sahəsi absis oxu boyunca təyin olunur, başqa sözlə, bunlar OX oxundakı ədədi dəyərlərdir. Tez-tez əhatə dairəsi artıq müəyyən edilir, lakin bu deyilsə, x arqumentinin dəyəri qiymətləndirilməlidir. Tutaq ki, arqumentin bəzi dəyərləri üçün funksiya mənasızdırsa, bu arqument əhatə dairəsindən çıxarılır.
Funksiyanın sıfırları sadə şəkildə tapılır: f(x) funksiyası sıfıra bərabər tutulmalı və nəticədə yaranan tənlik bir x dəyişəninə münasibətdə həll edilməlidir. Tənliyin alınan kökləri funksiyanın sıfırlarıdır, yəni bu x-də funksiya 0-dır.
Artır və azal
Törəmənin monotonluq üçün funksiyaları öyrənmək üçün istifadəsi iki mövqedən nəzərdən keçirilə bilər. Monoton funksiya törəmənin yalnız müsbət dəyərləri və ya yalnız mənfi dəyərləri olan bir kateqoriyadır. Sadə sözlə desək, funksiya yalnız öyrənilən bütün interval ərzində artır və ya azalır:
- Parametri artırın. Funksiyaf`(x)-in törəməsi sıfırdan böyük olarsa, f(x) artacaq.
- Azalan parametr. f`(x)-in törəməsi sıfırdan kiçik olarsa, f(x) funksiyası azalacaq.
Tangens və Yamac
Törəmənin funksiyanın tədqiqinə tətbiqi də verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan (bucaqla istiqamətlənmiş düz xətt) ilə müəyyən edilir. Nöqtədə tangens (x0) - nöqtədən keçən və koordinatları (x0, f(x) olan funksiyaya aid olan xətt 0 )) və mailliyi f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - funksiyanın qrafikinin verilmiş nöqtəsinə toxunan tənliyi.
Törəmənin həndəsi mənası: f(x) funksiyasının törəməsi verilmiş x nöqtəsində bu funksiyanın qrafikinə əmələ gələn tangensin mailliyinə bərabərdir. Bucaq əmsalı, öz növbəsində, müsbət istiqamətdə tangensin OX oxuna (absis) meyl bucağının tangensinə bərabərdir. Bu nəticə, törəmənin funksiyanın qrafikinə tətbiqi üçün əsasdır.
Ekstremum xal
Törəmənin tədqiqata tətbiqi yüksək və aşağı nöqtələri tapmaqdan ibarətdir.
Minimum və maksimum balları tapmaq və müəyyən etmək üçün aşağıdakıları etməlisiniz:
- f(x) funksiyasının törəməsini tapın.
- Nəticədə tənliyi sıfıra təyin edin.
- Tənliyin köklərini tapın.
- Yüksək və aşağı nöqtələri tapın.
İfratları tapmaq üçünxüsusiyyətlər:
- Yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək minimum və maksimum xalları tapın.
- Bu nöqtələri orijinal tənliklə əvəz edin və ymax və ymin
hesablayın
Funksiyanın maksimum nöqtəsi f(x) funksiyasının interval üzrə ən böyük qiymətidir, başqa sözlə xmax.
Funksiyanın minimum nöqtəsi f(x) funksiyasının intervalda ən kiçik qiymətidir, başqa sözlə xname
Ekstremum nöqtələri funksiyanın maksimum və minimum nöqtələri və ekstremumu ilə eynidir (ymaks. və yminimum) - ekstremal nöqtələrə uyğun gələn funksiya dəyərləri.
Qabarıqlıq və qabarıqlıq
Qrafik tərtib etmək üçün törəmədən istifadə etməklə qabarıqlığı və qabarıqlığı müəyyən edə bilərsiniz:
- (a, b) intervalında tədqiq edilən f(x) funksiyası bu intervalda bütün tangenslərinin altında yerləşirsə, konkavdır.
- (a, b) intervalında tədqiq edilən f(x) funksiyası qabarıq olur, əgər funksiya bu intervalın daxilində bütün tangenslərinin üstündə yerləşirsə.
Qabarıqlıq və qabarıqlığı ayıran nöqtə funksiyanın əyilmə nöqtəsi adlanır.
Əyilmə nöqtələrini tapmaq üçün:
- İkinci növ kritik nöqtələri tapın (ikinci törəmə).
- Burulma nöqtələri iki əks işarəni ayıran kritik nöqtələrdir.
- Funksiya əyilmə nöqtələrində funksiya dəyərlərini hesablayın.
Qismən törəmələr
Tətbiqbirdən çox naməlum dəyişənin istifadə edildiyi məsələlərdə bu tip törəmələr var. Çox vaxt belə törəmələrə funksiya qrafiki, daha dəqiq desək, kosmosda səthlər çəkilərkən rast gəlinir ki, burada iki ox əvəzinə üç, deməli, üç kəmiyyət (iki dəyişən və bir sabit) olur.
Qismən törəmələrin hesablanması zamanı əsas qayda bir dəyişəni seçmək və qalanını sabitlər kimi qəbul etməkdir. Buna görə də, qismən törəmə hesablanarkən sabit ədədi qiymət kimi olur (bir çox törəmə cədvəllərində onlar C=const kimi qeyd olunur). Belə törəmənin mənası OX və OY oxları boyunca z=f(x, y) funksiyasının dəyişmə sürətidir, yəni qurulmuş səthin çökəkliklərinin və çıxıntılarının sıldırımlığını xarakterizə edir.
Fizikada törəmə
Törəmənin fizikada istifadəsi geniş yayılmış və vacibdir. Fiziki məna: yolun zamana görə törəməsi sürət, sürətlənmə isə sürətin zamana görə törəməsidir. Fiziki mənadan, törəmənin mənasını tamamilə qoruyub saxlamaqla fizikanın müxtəlif sahələrinə bir çox budaqlar çəkilə bilər.
Törəmənin köməyi ilə aşağıdakı dəyərlər tapılır:
- Kinematikada sürət, burada qət edilən məsafənin törəməsi hesablanır. Əgər yolun ikinci törəməsi və ya sürətin birinci törəməsi tapılarsa, onda cismin sürətlənməsi tapılır. Bundan əlavə, maddi nöqtənin ani sürətini tapmaq mümkündür, lakin bunun üçün ∆t və ∆r artımını bilmək lazımdır.
- Elektrodinamikada: alternativ cərəyanın ani gücünün, həmçinin elektromaqnit induksiyanın EMF-nin hesablanması. Törəmə hesablayaraq, maksimum gücü tapa bilərsiniz. Elektrik yükünün miqdarının törəməsi keçiricidəki cərəyan gücüdür.
Kimya və biologiyada törəmə
Kimya: Törəmə kimyəvi reaksiyanın sürətini təyin etmək üçün istifadə olunur. Törəmənin kimyəvi mənası: funksiya p=p(t), bu halda p t vaxtında kimyəvi reaksiyaya girən maddənin miqdarıdır. ∆t - zaman artımı, ∆p - maddə kəmiyyət artımı. ∆p-nin ∆t nisbətinin ∆t-nin sıfıra meyl etdiyi həddi kimyəvi reaksiyanın sürəti adlanır. Kimyəvi reaksiyanın orta qiyməti ∆p/∆t nisbətidir. Sürəti təyin edərkən, bütün lazımi parametrləri, şərtləri dəqiq bilmək, maddənin və axın mühitinin məcmu vəziyyətini bilmək lazımdır. Bu, müxtəlif sənaye sahələrində və insan fəaliyyətlərində geniş istifadə olunan kimyada kifayət qədər böyük bir cəhətdir.
Biologiya: törəmə anlayışı orta çoxalma sürətini hesablamaq üçün istifadə olunur. Bioloji məna: y=x(t) funksiyamız var. ∆t - vaxt artımı. Sonra bəzi çevrilmələrin köməyi ilə y`=P(t)=x`(t) funksiyasını - t zamanının əhalisinin həyat fəaliyyətini (orta çoxalma sürəti) əldə edirik. Törəmənin bu şəkildə istifadəsi sizə statistika aparmağa, çoxalma sürətini izləməyə və s. imkan verir.
Coğrafiya və iqtisadiyyatda törəmə
Törəmə coğrafiyaçılara qərar verməyə imkan verirəhalinin tapılması, seysmoqrafiyada dəyərlərin hesablanması, nüvə geofiziki göstəricilərinin radioaktivliyinin hesablanması, interpolyasiyanın hesablanması kimi vəzifələr.
İqtisadiyyatda hesablamaların mühüm hissəsi diferensial hesablama və törəmənin hesablanmasıdır. Bu, ilk növbədə, lazımi iqtisadi dəyərlərin sərhədlərini müəyyən etməyə imkan verir. Məsələn, ən yüksək və ən aşağı əmək məhsuldarlığı, xərclər, mənfəət. Əsasən, bu dəyərlər funksiya qrafiklərindən hesablanır, burada ekstremal tapırlar, istədiyiniz sahədə funksiyanın monotonluğunu müəyyən edirlər.
Nəticə
Bu diferensial hesablamanın rolu, məqalədə qeyd edildiyi kimi, müxtəlif elmi strukturlarda iştirak edir. Törəmə funksiyalardan istifadə elmin və istehsalın praktiki hissəsində mühüm elementdir. Təsadüfi deyil ki, orta məktəbdə və universitetdə bizə mürəkkəb qrafiklər qurmaq, funksiyaları araşdırmaq və işləmək öyrədilib. Gördüyünüz kimi, törəmələr və diferensial hesablamalar olmadan həyati göstəriciləri və kəmiyyətləri hesablamaq qeyri-mümkün olardı. Bəşəriyyət müxtəlif prosesləri modelləşdirməyi və onları tədqiq etməyi, mürəkkəb riyazi məsələləri həll etməyi öyrənmişdir. Həqiqətən də, riyaziyyat bütün elmlərin kraliçasıdır, çünki bu elm bütün digər təbii və texniki fənlərin əsasında dayanır.
