Ehtimal nəzəriyyəsi təsadüfi dəyişənlərlə işləyir. Təsadüfi dəyişənlər üçün paylama qanunları adlanan qanunlar mövcuddur. Belə bir qanun onun təsadüfi dəyişənini mütləq tamlıqla təsvir edir. Bununla belə, təsadüfi dəyişənlərin real dəstləri ilə işləyərkən onların paylanması qanununu dərhal müəyyən etmək çox vaxt çox çətindir və müəyyən ədədi xüsusiyyətlər dəsti ilə məhdudlaşır. Məsələn, təsadüfi dəyişənin orta və dispersiyasını hesablamaq çox vaxt çox faydalıdır.
Niyə lazımdır
Əgər riyazi gözləntinin mahiyyəti kəmiyyətin orta dəyərinə yaxındırsa, bu halda dispersiya kəmiyyətimizin qiymətlərinin bu riyazi gözləntinin ətrafında necə səpələndiyini bildirir. Məsələn, bir qrup insanın IQ-nu ölçsək və ölçmə nəticələrini (nümunə) araşdırmaq istəsək, riyazi gözlənti bu qrup insanlar üçün intellekt nisbətinin təxmini orta qiymətini göstərəcək və seçmə dispersiyasını hesablasaq, nəticələrin riyazi gözlənti ətrafında necə qruplaşdırıldığını öyrənəcəyik: onun yaxınlığında bir dəstə (IQ-də kiçik variasiya) və ya minimumdan maksimum nəticəyə qədər bütün diapazonda daha bərabər (böyük variasiya və ortada bir yerdə - riyazi gözlənti).
Varisiyanı hesablamaq üçün təsadüfi dəyişənin yeni xarakteristikasına ehtiyacınız var - dəyərin riyazi göstəricidən kənarlaşmasıgözləyirik.
Sayma
Diferensiyanın necə hesablanacağını başa düşmək üçün əvvəlcə kənarlaşmanı başa düşməlisiniz. Onun tərifi təsadüfi dəyişənin qəbul etdiyi dəyərlə onun riyazi gözləntisi arasındakı fərqdir. Kobud desək, dəyərin necə “səpələndiyini” başa düşmək üçün onun sapmasının necə paylandığına baxmaq lazımdır. Yəni, dəyərin dəyərini onun matdan sapma dəyəri ilə əvəz edirik. gözləntiləri və onun paylama qanununu araşdırın.
Diskretin, yəni ayrı-ayrı qiymətlər alan təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu cədvəl şəklində yazılır, burada dəyərin qiyməti onun baş vermə ehtimalı ilə əlaqələndirilir. Sonra sapma paylanması qanununda təsadüfi dəyişən öz düsturu ilə əvəz olunacaq, burada dəyəri (ehtimalını saxlamış) və öz matı var. gözləyirik.
Təsadüfi dəyişənin kənarlaşmasının paylanma qanununun xassələri
Təsadüfi dəyişənin kənarlaşması üçün paylanma qanununu yazmışıq. Ondan indiyə qədər yalnız riyazi gözlənti kimi bir xüsusiyyət çıxara bilərik. Rahatlıq üçün ədədi nümunə götürmək daha yaxşıdır.
Bəzi təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu olsun: X - qiymət, p - ehtimal.
Düsturdan və dərhal kənarlaşmadan istifadə edərək riyazi gözləntiləri hesablayırıq.
Yeni sapma paylama cədvəli çəkilir.
Gözləntiləri burada da hesablayırıq.
Sıfır çıxır. Yalnız bir misal var, amma həmişə belə olacaq: ümumi halda bunu sübut etmək çətin deyil. Kənarlaşmanın riyazi gözləntisinin düsturu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri ilə nə qədər əyri səslənsə də, matın riyazi gözləntiləri arasındakı fərqə parçalana bilər. gözləntilər (rekursiya, lakin) eynidir, buna görə də onların fərqi sıfır olacaq.
Bu gözlənilir: axı, işarədəki kənarlaşmalar həm müsbət, həm də mənfi ola bilər, ona görə də orta hesabla sıfır verməlidirlər.
Diskret halın dispersiyasını necə hesablamaq olar. miqdarlar
Əgər mat. sapma gözləntisini hesablamaq mənasızdır, başqa bir şey axtarmaq lazımdır. Siz sadəcə olaraq sapmaların mütləq dəyərlərini götürə bilərsiniz (modul); lakin modullarla hər şey o qədər də sadə deyil, ona görə də kənarlaşmalar kvadratlaşdırılır və sonra onların riyazi gözləntiləri hesablanır. Əslində, onlar dispersiyanı necə hesablamaq barədə danışanda nəzərdə tutulan budur.
Yəni kənarlaşmaları götürürük, kvadratını alırıq və təsadüfi dəyişənlərə uyğun gələn kvadratik kənarlaşmalar və ehtimallar cədvəlini tərtib edirik. Bu, yeni paylama qanunudur. Riyazi gözləntiləri hesablamaq üçün siz sapmanın kvadratının hasillərini və ehtimalı əlavə etməlisiniz.
Daha asan formula
Lakin məqalə ilkin təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununun çox vaxt naməlum olması ilə başladı. Beləliklə, daha yüngül bir şey lazımdır. Həqiqətən, yalnız matdan istifadə edərək nümunə fərqini hesablamağa imkan verən başqa bir formula var.gözləyir:
Dispersiya - mat arasındakı fərq. təsadüfi dəyişənin kvadratının və əksinə, onun matının kvadratının gözləntiləri. gözləyirik.
Bunun sübutu var, lakin praktiki dəyəri olmadığı üçün onu burada təqdim etməyin mənası yoxdur (və biz yalnız dispersiyanı hesablamalıyıq).
Variasiya seriyasında təsadüfi dəyişənin dispersiyasını necə hesablamaq olar
Real statistikada bütün təsadüfi dəyişənləri əks etdirmək qeyri-mümkündür (çünki kobud desək, onların sayı, bir qayda olaraq, sonsuzdur). Buna görə də, tədqiqata daxil olan şey, bəzi ümumi əhalidən olan sözdə reprezentativ nümunədir. Və belə bir ümumi kütlədən hər hansı təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri seçmədən hesablandığı üçün onlar seçmə adlanır: seçmə orta, müvafiq olaraq seçmə dispersiya. Siz onu adi üsulla hesablaya bilərsiniz (kvadrat kənarlaşmalar vasitəsilə).
Lakin belə dispersiya qərəzli adlanır. Qərəzsiz variasiya düsturu bir az fərqli görünür. Adətən onu hesablamaq tələb olunur.
Kiçik əlavə
Daha bir ədədi xüsusiyyət dispersiya ilə bağlıdır. O, həmçinin təsadüfi dəyişənin mat ətrafında necə səpələndiyini qiymətləndirməyə xidmət edir. gözləntilər. Dispersiya və standart kənarlaşmanın hesablanmasında çox da fərq yoxdur: ikincisi birincinin kvadrat köküdür.
