Bir çox insanlar üçün riyazi analiz sadəcə real həyatdan uzaq olan anlaşılmaz rəqəmlər, nişanlar və təriflər toplusudur. Bununla belə, mövcud olduğumuz dünya ədədi nümunələr üzərində qurulmuşdur, onların müəyyənləşdirilməsi təkcə ətrafımızdakı dünyanı öyrənməyə və onun mürəkkəb problemlərini həll etməyə deyil, həm də gündəlik praktiki vəzifələri asanlaşdırmağa kömək edir. Bir riyaziyyatçı ədəd ardıcıllığının yaxınlaşdığını deyəndə nəyi nəzərdə tutur? Bu daha ətraflı müzakirə edilməlidir.
Sonsuz kiçik nədir?
Gəlin bir-birinə uyğun gələn matryoshka gəlinciklərini təsəvvür edək. Onların ən böyüyü ilə başlayan və ən kiçiyi ilə bitən ədədlər şəklində yazılan ölçüləri ardıcıllıq təşkil edir. Sonsuz sayda belə parlaq fiqurları təsəvvür etsəniz, nəticədə ortaya çıxan sıra fantastik dərəcədə uzun olacaqdır. Bu konvergent ədədlər ardıcıllığıdır. Və sıfıra meyl edir, çünki hər bir sonrakı yuva quran kuklanın ölçüsü, fəlakətli şəkildə azalaraq, tədricən heç bir şeyə çevrilir. Beləliklə, asandırizah edilə bilər: sonsuz kiçik nədir.
Oxşar nümunə, uzaqlara aparan yol ola bilər. Və onun boyu müşahidəçidən uzaqlaşan avtomobilin vizual ölçüləri getdikcə kiçilir, nöqtəyə bənzəyən formasız ləkəyə çevrilir. Beləliklə, maşın, naməlum istiqamətdə uzaqlaşan bir cisim kimi, sonsuz kiçik olur. Göstərilən gövdənin parametrləri heç vaxt sözün hərfi mənasında sıfır olmayacaq, lakin son hədddə həmişə bu dəyərə meyllidir. Beləliklə, bu ardıcıllıq yenidən sıfıra yaxınlaşır.
Hər şeyi damla-damla hesablayın
Gəlin indi dünya vəziyyətini təsəvvür edək. Həkim xəstəyə dərmanı gündə on damcıdan başlayaraq növbəti gün iki damla əlavə etməyi tövsiyə etdi. Və beləliklə, həkim həcmi 190 damcı olan dərman flakonunun içindəkilər bitənə qədər davam etməyi təklif etdi. Yuxarıda deyilənlərdən belə nəticə çıxır ki, gün ərzində planlaşdırılan belələrin sayı aşağıdakı nömrələr seriyası olacaq: 10, 12, 14 və s.
Bütün kursu başa çatdırmaq üçün vaxtı və ardıcıllığın üzvlərinin sayını necə tapmaq olar? Burada, təbii ki, damcıları primitiv şəkildə saymaq olar. Ancaq nümunəni nəzərə alaraq, d=2 addımlı arifmetik irəliləyişin cəmi üçün düsturdan istifadə etmək daha asandır. Və bu üsuldan istifadə edərək, ədəd seriyasının üzvlərinin sayının 10 olduğunu öyrənin. Bu vəziyyətdə, a10=28. Penis nömrəsi dərman qəbul etdiyi günlərin sayını, 28 isə xəstənin qəbul etməli olduğu damcıların sayına uyğundur.son gündə istifadə edin. Bu ardıcıllıq birləşirmi? Xeyr, çünki aşağıdan 10, yuxarıdan isə 28 ilə məhdudlaşdırılmasına baxmayaraq, əvvəlki nümunələrdən fərqli olaraq belə bir sıra seriyanın heç bir məhdudiyyəti yoxdur.
Fərq nədir?
Gəlin indi aydınlaşdırmağa çalışaq: ədədlər seriyası konvergent ardıcıllığa çevrildikdə. Bu cür tərif, yuxarıda deyilənlərdən belə nəticəyə gəlmək olar ki, mövcudluğu məsələnin mahiyyətini ortaya qoyan sonlu hədd anlayışı ilə birbaşa bağlıdır. Beləliklə, əvvəllər verilmiş nümunələr arasında əsas fərq nədir? Və nə üçün onların sonuncusunda 28 rəqəmi X =10 + 2(n-1) say seriyasının həddi sayıla bilməz?
Bu suala aydınlıq gətirmək üçün aşağıdakı düsturla verilən başqa ardıcıllığı nəzərdən keçirin, burada n natural ədədlər çoxluğuna aiddir.
Bu üzvlər icması ümumi kəsrlər toplusudur, onların payı 1-dir və məxrəci daim artır: 1, ½ …
Üstəlik, bu seriyanın hər bir ardıcıl nümayəndəsi say xəttində yerləşmə baxımından 0-a getdikcə daha çox yaxınlaşır. Bu o deməkdir ki, nöqtələrin sıfır ətrafında toplandığı yerdə belə qonşuluq yaranır ki, bu da limitdir. Onlar ona nə qədər yaxın olsalar, say xəttindəki konsentrasiyası bir o qədər sıx olur. Və aralarındakı məsafə fəlakətli şəkildə azalır, sonsuz kiçik məsafəyə çevrilir. Bu, ardıcıllığın yaxınlaşmasına işarədir.
OxşarBeləliklə, şəkildə göstərilən çoxrəngli düzbucaqlılar kosmosda uzaqlaşdıqda vizual olaraq daha sıx olur, hipotetik həddə cüzi olur.
Sonsuz böyük ardıcıllıqlar
Konvergent ardıcıllığın tərifini təhlil etdikdən sonra əks nümunələrə keçək. Onların bir çoxu insana qədim zamanlardan məlumdur. Divergent ardıcıllığın ən sadə variantları natural və cüt ədədlər seriyasıdır. Daim artan üzvləri getdikcə müsbət sonsuzluğa yaxınlaşdıqları üçün onlar fərqli şəkildə sonsuz böyük adlanır.
Bunlara misal həm də addımı və məxrəci sıfırdan böyük olan arifmetik və həndəsi irəliləyişlərdən hər hansı biri ola bilər. Bundan əlavə, ədədi sıralar divergent ardıcıllıqlar hesab olunur, onların heç bir limiti yoxdur. Məsələn, X =(-2) -1.
Fibonacci ardıcıllığı
Əvvəlcə qeyd olunan nömrələr seriyasının bəşəriyyət üçün praktik faydaları danılmazdır. Ancaq saysız-hesabsız başqa gözəl nümunələr var. Onlardan biri Fibonaççi ardıcıllığıdır. Onun bir ilə başlayan üzvlərinin hər biri əvvəlkilərin cəmidir. Onun ilk iki nümayəndəsi 1 və 1-dir. Üçüncüsü 1+1=2, dördüncüsü 1+2=3, beşincisi 2+3=5. Bundan əlavə, eyni məntiqə görə, 8, 13, 21 və s. rəqəmlər gəlir.
Bu ədədlər silsiləsi qeyri-müəyyən şəkildə artır və heç yoxdurson hədd. Ancaq onun başqa bir gözəl xüsusiyyəti var. Hər bir əvvəlki ədədin növbəti ədədə nisbəti getdikcə öz dəyərinə görə 0,618-ə yaxınlaşır. Burada siz konvergent və divergent ardıcıllıq arasındakı fərqi başa düşə bilərsiniz, çünki bir sıra qəbul edilmiş qismən bölmələr etsəniz, göstərilən ədədi sistem 0,618-ə bərabər sonlu limitə malikdir.
Fibonacci nisbətlərinin ardıcıllığı
Yuxarıda göstərilən nömrələr seriyası bazarların texniki təhlili üçün praktiki məqsədlər üçün geniş istifadə olunur. Lakin bu, misirlilərin və yunanların qədim zamanlarda bildikləri və tətbiq edə bildikləri onun imkanları ilə məhdudlaşmır. Bunu onların tikdikləri piramidalar və Parthenon sübut edir. Axı, 0,618 rəqəmi köhnə günlərdə yaxşı tanınan qızıl bölmənin sabit əmsalıdır. Bu qaydaya əsasən, istənilən ixtiyari seqmenti elə bölmək olar ki, onun hissələri arasındakı nisbət seqmentlərin ən böyüyü ilə ümumi uzunluq arasındakı nisbətlə üst-üstə düşsün.
Gəlin göstərilən əlaqələr silsiləsi quraq və bu ardıcıllığı təhlil etməyə çalışaq. Nömrə seriyası aşağıdakı kimi olacaq: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 və s. Bu şəkildə davam etsək əmin ola bilərik ki, konvergent ardıcıllığın həddi həqiqətən də 0,618 olacaq. Lakin bu qanunauyğunluğun digər xüsusiyyətlərini də qeyd etmək lazımdır. Burada rəqəmlər təsadüfi gedir və ümumiyyətlə artan və ya azalan qaydada deyil. Bu o deməkdir ki, bu konvergent ardıcıllıq monoton deyil. Bunun niyə belə olduğu daha ətraflı müzakirə olunacaq.
Monotonluq və məhdudiyyət
Nömrə seriyasının üzvləri artan say ilə aydın şəkildə azala bilər (əgər x1>x2>x3>…>x >…) və ya artırılır (əgər x1<x21x63223<…<x <…). Bu halda, ardıcıllığın ciddi şəkildə monoton olduğu deyilir. Rəqəm sıralarının azalmayan və artmayan (x1≧x2≧x olduğu digər nümunələr də müşahidə edilə bilər. 3≧ …≧x ≧… və ya x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), onda ardıcıl konvergent də monotondur, yalnız ciddi mənada deyil. Bu seçimlərdən birincisinə yaxşı nümunə aşağıdakı düsturla verilən nömrələr seriyasıdır.
Bu seriyanın nömrələrini çəkdikdən sonra görə bilərsiniz ki, onun qeyri-müəyyən müddətə 1-ə yaxınlaşan hər hansı üzvü bu dəyəri heç vaxt keçməyəcək. Bu halda konvergent ardıcıllığın məhdud olduğu deyilir. Bu, seriya modulunun şərtlərinin hər hansı birindən həmişə böyük olan müsbət M ədədi olduqda baş verir. Əgər ədəd seriyası monotonluq əlamətlərinə malikdirsə və həddi varsa və buna görə də birləşirsə, o, mütləq belə bir xüsusiyyətə malikdir. Və bunun əksinin doğru olması lazım deyil. Bunu konvergent ardıcıllıq üçün məhdudluq teoremi sübut edir.
Belə müşahidələrin praktikada tətbiqi çox faydalıdır. X =ardıcıllığının xassələrini araşdıraraq konkret misal verək.n/n+1 və onun yaxınlaşmasını sübut edin. Onun monoton olduğunu göstərmək asandır, çünki (x +1 – x) müsbət ədəddir istənilən n dəyər üçün. Ardıcıllığın həddi 1 rəqəminə bərabərdir, bu o deməkdir ki, yuxarıdakı teoremin, həmçinin Veyerştrass teoremi adlanan bütün şərtləri ödənilir. Konvergent ardıcıllığın məhdudluğu haqqında teorem göstərir ki, əgər onun həddi varsa, hər halda o, məhdudlaşır. Bununla belə, aşağıdakı nümunəni götürək. X =(-1) rəqəmlər seriyası aşağıdan -1, yuxarıdan isə 1 ilə məhdudlaşır. Lakin bu ardıcıllıq monoton deyil, heç bir simvolu yoxdur. məhdudlaşdırır və buna görə də birləşmir. Yəni limitin mövcudluğu və yaxınlaşma həmişə məhdudiyyətdən irəli gəlmir. Bunun işləməsi üçün Fibonacci nisbətlərində olduğu kimi aşağı və yuxarı həddlər uyğun olmalıdır.
Kainatın ədədləri və qanunları
Konvergent və divergent ardıcıllığın ən sadə variantları bəlkə də X =n və X =1/n ədədi seriyalardır. Bunlardan birincisi təbii ədədlər seriyasıdır. Artıq qeyd edildiyi kimi, sonsuz böyükdür. İkinci konvergent ardıcıllıq məhduddur və onun şərtləri böyüklüyünə görə sonsuz kiçikliyə yaxındır. Bu düsturların hər biri çoxşaxəli Kainatın tərəflərindən birini təcəssüm etdirir, insana rəqəmlərin və işarələrin dilində məhdud qavrayış üçün əlçatmaz, bilinməyən bir şeyi təsəvvür etməyə və hesablamağa kömək edir.
Kainatın cüzidən inanılmaz dərəcədə böyükə qədər qanunları 0,618 qızıl nisbətini də ifadə edir.onun şeylərin mahiyyətinin əsası olduğuna və onun hissələrini yaratmaq üçün təbiət tərəfindən istifadə edildiyinə inanırlar. Artıq qeyd etdiyimiz Fibonaççi seriyasının növbəti və əvvəlki üzvləri arasındakı əlaqələr bu unikal seriyanın heyrətamiz xüsusiyyətlərinin nümayişini tamamlamır. Əvvəlki həddi növbəti birinə bölmək əmsalını 1-ə hesablasaq, onda 0,5 sırası alarıq; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 və s. Maraqlıdır ki, bu məhdud ardıcıllıq birləşir, monoton deyil, lakin müəyyən üzvdən ifrat qonşu ədədlərin nisbəti həmişə təxminən 0,382-yə bərabərdir, bu da memarlıq, texniki analiz və digər sənaye sahələrində istifadə edilə bilər.
Fibonaççi seriyasının başqa maraqlı əmsalları da var, onların hamısı təbiətdə xüsusi rol oynayır və insan tərəfindən praktik məqsədlər üçün də istifadə olunur. Riyaziyyatçılar əmindirlər ki, Kainat göstərilən əmsallardan əmələ gələn müəyyən bir "qızıl spiral" əsasında inkişaf edir. Onların köməyi ilə müəyyən bakteriyaların sayının artmasından tutmuş uzaq kometlərin hərəkətinə qədər Yerdə və kosmosda baş verən bir çox hadisələri hesablamaq mümkündür. Göründüyü kimi, DNT kodu oxşar qanunlara tabedir.
Azalan həndəsi irəliləyiş
Konvergent ardıcıllığın limitinin unikallığını təsdiq edən bir teorem var. Bu o deməkdir ki, onun iki və ya daha çox limiti ola bilməz və bu, şübhəsiz ki, onun riyazi xüsusiyyətlərini tapmaq üçün vacibdir.
Gəlin bəzilərinə baxaqhallar. Sıfır pilləli hal istisna olmaqla, arifmetik irəliləyişin üzvlərindən ibarət istənilən ədədi sıra divergentdir. Eyni şey məxrəci 1-dən böyük olan həndəsi proqressiyaya da aiddir. Belə ədədi sıraların hüdudları sonsuzluğun “artı” və ya “mənfi”sidir. Məxrəc -1-dən kiçikdirsə, heç bir məhdudiyyət yoxdur. Digər seçimlər mümkündür.
X =(1/4) -1 düsturu ilə verilən ədəd seriyasını nəzərdən keçirin. İlk baxışdan bu konvergent ardıcıllığın məhdud olduğunu görmək asandır, çünki o, ciddi şəkildə azalır və heç bir şəkildə mənfi dəyərləri qəbul edə bilmir.
Gəlin onun bir sıra üzvlərini ard-arda yazaq.
Belə olacaq: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 və s. Bu həndəsi irəliləyişin 0<q<1 məxrəclərindən nə qədər tez azaldığını başa düşmək üçün kifayət qədər sadə hesablamalar kifayətdir. Terminlərin məxrəci qeyri-müəyyən artdığı halda, onlar özləri sonsuz kiçik olurlar. Bu o deməkdir ki, say seriyasının limiti 0-dır. Bu misal bir daha konvergent ardıcıllığın məhdud xarakterini nümayiş etdirir.
Əsas ardıcıllıqlar
Fransız alimi Oqustin Lui Koşi riyazi analizlə bağlı bir çox əsəri dünyaya açıqlamışdır. O, diferensial, inteqral, limit, davamlılıq kimi anlayışlara təriflər vermişdir. O, həmçinin konvergent ardıcıllıqların əsas xassələrini öyrənmişdir. Onun ideyalarının mahiyyətini dərk etmək üçünbəzi vacib detalları ümumiləşdirmək lazımdır.
Məqalənin əvvəlində göstərilmişdi ki, elə ardıcıllıqlar var ki, onlar üçün real xəttdə müəyyən silsilənin üzvlərini təmsil edən nöqtələrin çoxalmağa başladığı, getdikcə daha çox sıralanmağa başlayan qonşuluq var. sıx. Eyni zamanda, növbəti təmsilçinin sayı artdıqca onların arasındakı məsafə azalır, sonsuz kiçik birinə çevrilir. Beləliklə, məlum olur ki, verilmiş məhəllədə verilmiş silsilənin sonsuz sayda nümayəndələri qruplaşdırılıb, ondan kənarda isə onların məhdud sayda var. Belə ardıcıllıqlar fundamental adlanır.
Fransız riyaziyyatçısı tərəfindən yaradılmış məşhur Koşi meyarı aydın şəkildə göstərir ki, belə bir xüsusiyyətin mövcudluğu ardıcıllığın yaxınlaşmasını sübut etmək üçün kifayətdir. Əksi də doğrudur.
Qeyd etmək lazımdır ki, fransız riyaziyyatçısının bu qənaəti daha çox sırf nəzəri maraq doğurur. Onun praktikada tətbiqi kifayət qədər mürəkkəb məsələ hesab olunur, buna görə də sıraların yaxınlaşmasını aydınlaşdırmaq üçün ardıcıllığın sonlu həddinin mövcudluğunu sübut etmək daha vacibdir. Əks halda, fərqli hesab olunur.
Məsələlərin həlli zamanı konvergent ardıcıllıqların əsas xassələrini də nəzərə almaq lazımdır. Onlar aşağıda göstərilib.
Sonsuz məbləğlər
Arximed, Evklid, Evdoks kimi antik dövrün məşhur alimləri əyrilərin uzunluqlarını, cisimlərin həcmlərini hesablamaq üçün sonsuz ədədlər silsiləsi cəmlərindən istifadə edirdilər.və fiqurların sahələri. Xüsusilə, bu yolla parabolik seqmentin sahəsini tapmaq mümkün oldu. Bunun üçün q=1/4 olan həndəsi proqresiyanın ədədi sıralarının cəmindən istifadə edilmişdir. Digər ixtiyari fiqurların həcmləri və sahələri oxşar şəkildə tapıldı. Bu seçim "tükənmə" üsulu adlanırdı. İdeya ondan ibarət idi ki, tədqiq olunan cəsəd mürəkkəb formada, asanlıqla ölçülən parametrləri olan fiqurlar olan hissələrə bölündü. Bu səbəbdən onların sahələrini və həcmlərini hesablamaq çətin olmadı və sonra toplandı.
Yeri gəlmişkən, oxşar tapşırıqlar müasir məktəblilərə çox tanışdır və İSTİFADƏ tapşırıqlarında tapılır. Uzaq əcdadlar tərəfindən tapılan unikal üsul, ən sadə həll yoludur. Ədədi rəqəmin bölündüyü yalnız iki və ya üç hissə olsa belə, onların sahələrinin toplanması yenə də ədəd seriyasının cəmidir.
Qədim yunan alimləri Leybniz və Nyutondan çox gec, müdrik sələflərinin təcrübəsinə əsaslanaraq inteqral hesablama nümunələrini öyrəndilər. Ardıcıllığın xassələrini bilmək onlara diferensial və cəbri tənlikləri həll etməyə kömək etdi. Hazırda bir çox istedadlı alimlər nəsillərinin səyləri ilə yaradılmış silsilələr nəzəriyyəsi çoxlu sayda riyazi və praktiki problemləri həll etmək şansı verir. Rəqəmsal ardıcıllığın öyrənilməsi isə yarandığı gündən riyazi analizin həll etdiyi əsas problem olmuşdur.
