Riyazi analizin əsas bölmələrindən biri inteqral hesablamadır. O, obyektlərin ən geniş sahəsini əhatə edir, burada birincisi qeyri-müəyyən inteqraldır. Onu hətta orta məktəbdə də ali riyaziyyatın təsvir etdiyi perspektivlərin və imkanların sayını artıran açar kimi yerləşdirməyə dəyər.
Görünüş
İlk baxışda inteqral tamamilə müasir, aktual görünür, lakin praktikada onun eramızdan əvvəl 1800-cü ildə meydana çıxdığı məlum olur. Misir rəsmi olaraq vətən hesab olunur, çünki onun mövcudluğuna dair əvvəllər bizə dəlillər çatmayıb. O, məlumat çatışmazlığı səbəbindən bütün bu müddət ərzində sadəcə bir fenomen kimi mövqe tutdu. O, o dövrlərin xalqları arasında elmin inkişaf səviyyəsini bir daha təsdiqlədi. Nəhayət, qədim yunan riyaziyyatçılarının eramızdan əvvəl IV əsrə aid əsərləri tapıldı. Qeyri-müəyyən bir inteqralın istifadə edildiyi bir üsulu təsvir etdilər, bunun mahiyyəti əyri bir fiqurun (üç ölçülü) həcmini və ya sahəsini tapmaq idi.və müvafiq olaraq iki ölçülü təyyarələr). Hesablama prinsipi ilkin rəqəmin həcminin (sahəsinin) artıq məlum olması şərti ilə sonsuz kiçik komponentlərə bölünməsinə əsaslanırdı. Zaman keçdikcə üsul böyüdü, Arximed ondan parabolanın sahəsini tapmaq üçün istifadə etdi. Oxşar hesablamalar eyni zamanda qədim Çin alimləri tərəfindən də aparılıb və onlar elmdəki yunan həmkarlarından tamamilə müstəqil idilər.
İnkişaf
Eramızın 11-ci əsrində növbəti sıçrayış ərəb alimi-"universal" Əbu Əli əl-Bəsrinin işi idi ki, o, artıq məlum olanın sərhədlərini aşaraq cəmilərin hesablanması üçün inteqrala əsaslanan düsturlar çıxardı. cərgələrin və birincidən dördüncüyə qədər güclərin cəmi, bunun üçün bizə məlum olan riyazi induksiya metodunu tətbiq edin.
Müasir dövrün şüurları qədim misirlilərin heç bir xüsusi cihaz olmadan, bəlkə də əlləri istisna olmaqla, heyrətamiz memarlıq abidələrini necə yaratdıqlarına heyrandır, lakin o dövrün alimlərinin ağlının gücü heç də az olmayan möcüzə deyilmi? İndiki dövrlə müqayisədə onların həyatı demək olar ki, primitiv görünür, lakin qeyri-müəyyən inteqralların həlli hər yerdə əldə edilmiş və gələcək inkişaf üçün praktikada istifadə edilmişdir.
Növbəti addım 16-cı əsrdə italyan riyaziyyatçısı Cavalieri Pyer Fermat tərəfindən seçilən bölünməzlər metodunu inkişaf etdirdiyi zaman baş verdi. Məhz bu iki şəxsiyyət hal-hazırda məlum olan müasir inteqral hesablamanın əsasını qoydu. Onlar əvvəllər mövcud olan diferensiallaşma və inteqrasiya anlayışlarını birləşdirdilərmuxtar vahidlər kimi qəbul edilir. Ümumiyyətlə, o dövrlərin riyaziyyatı parçalanmışdı, nəticələrin hissəcikləri məhdud əhatə dairəsinə malik olmaqla öz-özlüyündə mövcud idi. Birləşmə və ümumi zəmin axtarışı o dövrdə yeganə doğru yol idi, bunun sayəsində müasir riyazi analiz böyümək və inkişaf etmək imkanı əldə etdi.
İnteqralın qeydi də daxil olmaqla, zamanla hər şey dəyişdi. Ümumiyyətlə, elm adamları bunu bütün vasitələrlə ifadə etdilər, məsələn, Nyuton inteqral funksiyanı yerləşdirdiyi və ya sadəcə onun yanına qoyduğu kvadrat simvoldan istifadə etdi.
Bu uyğunsuzluq 17-ci əsrə qədər, bütün riyazi analiz nəzəriyyəsi üçün əlamətdar olan alim Qotfrid Leybniz bizə çox tanış olan simvolu təqdim edənə qədər davam etdi. Uzatılmış "S" həqiqətən latın əlifbasının bu hərfinə əsaslanır, çünki o, antiderivativlərin cəmini bildirir. İnteqral 15 il sonra Jacob Bernoulli sayəsində adını aldı.
Formal tərif
Qeyri-müəyyən inteqral birbaşa antiderivativin tərifindən asılıdır, ona görə də əvvəlcə onu nəzərdən keçirək.
Antiderivativ törəmənin tərsi olan funksiyadır, praktikada ona primitiv də deyilir. Əks halda: d funksiyasının əks törəməsi törəməsi v V'=v-ə bərabər olan D funksiyasıdır. Antiderivativin axtarışı qeyri-müəyyən inteqralın hesablanmasıdır və bu prosesin özü inteqrasiya adlanır.
Nümunə:
Funksiya s(y)=y3 və onun əks törəməsi S(y)=(y4/4).
Baxılan funksiyanın bütün əks törəmələri çoxluğu qeyri-müəyyən inteqraldır, o, aşağıdakı kimi işarələnir: ∫v(x)dx.
V(x) ilkin funksiyanın yalnız bəzi antitörəmələri olduğuna görə ifadə baş verir: ∫v(x)dx=V(x) + C, burada C sabitdir. İxtiyari sabit istənilən sabitdir, çünki onun törəməsi sıfıra bərabərdir.
Xüsusiyyətlər
Qeyri-müəyyən inteqralın malik olduğu xassələr əsas tərifə və törəmələrin xassələrinə əsaslanır.
Əsas məqamlara baxaq:
- antərivativin törəməsindən alınan inteqral antitörəmənin özü üstəgəl ixtiyari sabit С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- inteqral funksiyasının törəməsi ilkin funksiyadır (∫v(x)dx)'=v(x);
- sabit ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx inteqral işarəsinin altından çıxarılır, burada k ixtiyaridir;
- cəmdən alınan inteqral eyni şəkildə ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy inteqrallarının cəminə bərabərdir.
Son iki xassədən belə nəticəyə gələ bilərik ki, qeyri-müəyyən inteqral xəttidir. Bunun sayəsində bizdə: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Birləşdirmək üçün qeyri-müəyyən inteqralların həlli nümunələrini nəzərdən keçirin.
∫(3sinx + 4cosx)dx inteqralını tapmaq lazımdır:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Nümunədən belə nəticəyə gələ bilərik:qeyri-müəyyən inteqralları necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz? Sadəcə bütün primitivləri tapın! Lakin axtarışın prinsipləri aşağıda nəzərdən keçiriləcək.
Metodlar və nümunələr
İnteqralı həll etmək üçün aşağıdakı üsullara müraciət edə bilərsiniz:
- hazırlanmış cədvəldən istifadə edin;
- hissələrə görə inteqrasiya;
- dəyişini dəyişdirərək inteqrasiya edin;
- diferensial işarənin altına gətirilir.
Cədvəllər
Ən asan və ən zövqlü yol. Hazırda riyazi analiz qeyri-müəyyən inteqralların əsas düsturlarının yazıldığı kifayət qədər geniş cədvəllərə malikdir. Başqa sözlə, sizdən əvvəl hazırlanmış şablonlar var və sizin üçün yalnız onlardan istifadə etmək qalır. Burada həlli olan demək olar ki, hər bir nümunəni əldə edə biləcəyiniz əsas cədvəl mövqelərinin siyahısı verilmişdir:
- ∫0dy=C, burada C sabitdir;
- ∫dy=y + C, burada C sabitdir;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, burada C sabitdir və n - qeyri-bir ədəd;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, burada C sabitdir;
- ∫eydy=ey + C, burada C sabitdir;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, burada C sabitdir;
- ∫cosydy=siny + C, burada C sabitdir;
- ∫sinydy=-cosy + C, burada C sabitdir;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, burada C sabitdir;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, burada C sabitdir;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, burada C sabitdir;
- ∫chydy=utancaq + C, burada C -sabit;
- ∫shydy=chy + C, burada C sabitdir.
Lazım gələrsə, bir neçə addım atın, inteqrandı cədvəl formasına gətirin və qələbədən həzz alın. Nümunə: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Həllə əsasən aydın olur ki, cədvəl nümunəsi üçün inteqralda 5 əmsalı yoxdur. Ümumi ifadənin dəyişməməsi üçün onu paralel olaraq 1/5-ə vuraraq əlavə edirik.
Hissələrə görə inteqrasiya
İki funksiyanı nəzərdən keçirin - z(y) və x(y). Onlar bütün tərif sahəsi üzrə davamlı olaraq fərqlənməlidirlər. Diferensiasiya xassələrindən birinə görə bizdə: d(xz)=xdz + zdx. Tənliyin hər iki hissəsini inteqral edərək alırıq: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Nəticədə bərabərliyi yenidən yazaraq, hissələr üzrə inteqrasiya üsulunu təsvir edən düstur əldə edirik: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Niyə lazımdır? Məsələ ondadır ki, bəzi nümunələri şərti olaraq sadələşdirmək olar, əgər sonuncu cədvəl formasına yaxındırsa, ∫zdx-i ∫xdz-ə endirmək olar. Həmçinin, bu formula bir dəfədən çox tətbiq olunaraq optimal nəticələr əldə edə bilər.
Qeyri-müəyyən inteqralları bu şəkildə necə həll etmək olar:
hesablamaq lazımdır ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
hesablamaq lazımdır ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Dəyişən əvəzetmə
Qeyri-müəyyən inteqralların həllinin bu prinsipi daha mürəkkəb olsa da, əvvəlki iki prinsipdən heç də az tələb olunmur. Metod aşağıdakı kimidir: V(x) hansısa v(x) funksiyasının inteqralı olsun. Nümunədə inteqralın özü kompleks kimi göründüyü halda, çaşqınlıq və səhv həll yolunu tutmaq ehtimalı yüksəkdir. Bunun qarşısını almaq üçün x dəyişənindən z-ə keçid tətbiq edilir, burada z-nin x-dən asılılığı saxlanılmaqla ümumi ifadə vizual olaraq sadələşdirilir.
Riyazi olaraq belə görünür: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), burada x=y(z) əvəzetmədir. Və təbii ki, z=y-1(x) tərs funksiyası dəyişənlərin asılılığını və əlaqəsini tam təsvir edir. Vacib qeyd - dx diferensialı mütləq yeni diferensial dz ilə əvəz olunur, çünki qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənin dəyişdirilməsi onun təkcə inteqralda deyil, hər yerdə dəyişdirilməsini nəzərdə tutur.
Nümunə:
tapmaq lazımdır ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Əvəzetməni tətbiq edin z=(s+1)/(s2+2s-5). Onda dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Nəticədə hesablanması çox asan olan aşağıdakı ifadəni alırıq:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
inteqralı tapmaq lazımdır∫2sesdx
Həll etmək üçün ifadəni aşağıdakı formada yenidən yazırıq:
∫2sesds=∫(2e)sds.
a=2e ilə işarələyin (bu addım arqumentin əvəzi deyil, hələ də s-dir), biz mürəkkəb görünən inteqralımızı elementar cədvəl formasına gətiririk:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Differensial işarənin altına gətirilir
Ümumilikdə qeyri-müəyyən inteqralların bu üsulu dəyişən dəyişmə prinsipinin əkiz qardaşıdır, lakin dizayn prosesində fərqlər var. Gəlin daha yaxından nəzər salaq.
Əgər ∫v(x)dx=V(x) + C və y=z(x), onda ∫v(y)dy=V(y) + C.
Bu halda, əhəmiyyətsiz inteqral çevrilmələri unutmaq olmaz, bunlar arasında:
- dx=d(x + a), burada a istənilən sabitdir;
- dx=(1 / a)d(ax + b), burada a yenə sabitdir, lakin sıfıra bərabər deyil;
- xdx=1/2g(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Qeyri-müəyyən inteqralı hesablayarkən ümumi halı nəzərə alsaq, misalları w'(x)dx=dw(x) ümumi düsturuna əsasən toplamaq olar.
Nümunələr:
tapmaq lazımdır ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2g(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Onlayn Yardım
Günahı ya tənbəllik, ya da təcili ehtiyac ola bilən bəzi hallarda onlayn məsləhətlərdən, daha doğrusu qeyri-müəyyən inteqral kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz. İnteqralların görünən bütün mürəkkəbliyinə və mübahisəliliyinə baxmayaraq, onların həlli müəyyən bir alqoritmə tabedir, bu alqoritm "əgər yoxsa …, onda …" prinsipinə əsaslanır.
Əlbəttə, belə bir kalkulyator xüsusilə mürəkkəb nümunələri mənimsəməyəcək, çünki həll yolu süni şəkildə, müəyyən elementləri prosesə "zorla" daxil etməklə tapılmalı olur, çünki nəticəni aşkar şəkildə əldə etmək mümkün deyil. yollar. Bu müddəanın bütün mübahisələrinə baxmayaraq, doğrudur, çünki riyaziyyat, prinsipcə, mücərrəd bir elmdir və imkanların sərhədlərini genişləndirmək ehtiyacını özünün əsas vəzifəsi hesab edir. Həqiqətən, hamar, işlək nəzəriyyələrə görə yuxarı qalxmaq və inkişaf etmək olduqca çətindir, ona görə də verdiyimiz qeyri-müəyyən inteqralların həlli nümunələrinin imkanların yüksəkliyi olduğunu düşünməməlisiniz. Ancaq işin texniki tərəfinə qayıdaq. Heç olmasa hesablamaları yoxlamaq üçün bizdən əvvəl hər şeyin yazıldığı xidmətlərdən istifadə edə bilərsiniz. Mürəkkəb bir ifadənin avtomatik hesablanmasına ehtiyac varsa, onlardan imtina etmək mümkün deyil, daha ciddi proqram təminatına müraciət etməli olacaqsınız. İlk növbədə MatLab mühitinə diqqət yetirməyə dəyər.
Tətbiq
Qeyri-müəyyən inteqralların həlli ilk baxışda reallıqdan tamamilə kənar görünür, çünki aşkar tətbiq sahələrini görmək çətindir. Həqiqətən də, onlar heç bir yerdə birbaşa istifadə edilə bilməz, lakin praktikada istifadə olunan həllərin alınması prosesində zəruri ara element hesab olunurlar. Beləliklə, inteqrasiya diferensiallaşmaya tərsdir, buna görə də tənliklərin həlli prosesində fəal iştirak edir.
Öz növbəsində bu tənliklər mexaniki məsələlərin həllinə, trayektoriyaların hesablanmasına və istilik keçiriciliyinə - bir sözlə, indini təşkil edən və gələcəyi formalaşdıran hər şeyə birbaşa təsir göstərir. Nümunələrini yuxarıda araşdırdığımız qeyri-müəyyən inteqral yalnız ilk baxışda əhəmiyyətsizdir, çünki getdikcə daha çox yeni kəşflər etmək üçün əsasdır.
