Arifmetika nədir? Bəşəriyyət rəqəmlərdən istifadə etməyə və onlarla işləməyə nə vaxt başladı? İnsanın həyatının, dünyagörüşünün ayrılmaz hissəsinə çevirdiyi ədəd, kəsr, çıxma, toplama və vurma kimi məişət məfhumlarının kökü hara gedir? Qədim yunan şüurları riyaziyyat, hesab və həndəsə kimi elmləri insan məntiqinin ən gözəl simfoniyaları kimi heyran edirdi.
Bəlkə arifmetika digər elmlər qədər dərin deyil, amma insan elementar vurma cədvəlini unutsa, onların taleyi necə olacaq? Rəqəmlərdən, kəsrlərdən və digər alətlərdən istifadə edərək bizə vərdiş olan məntiqi təfəkkür insanlar üçün asan olmayıb və uzun müddət əcdadlarımız üçün əlçatmaz olub. Əslində, hesabın inkişafından əvvəl insan biliyinin heç bir sahəsi həqiqətən elmi deyildi.
Arifmetika riyaziyyatın ABC-sidir
Arifmetika rəqəmlər elmidir, onunla hər bir insan riyaziyyatın füsunkar dünyası ilə tanış olmağa başlayır. M. V. Lomonosovun dediyi kimi, arifmetika bizim üçün dünya biliyinə yol açan öyrənmə qapısıdır. Amma o haqlıdırDünya elmini rəqəmlər və hərflər, riyaziyyat və nitq biliklərindən ayırmaq olarmı? Ola bilsin ki, köhnə günlərdə, lakin elm və texnologiyanın sürətli inkişafının öz qanunlarını diktə etdiyi müasir dünyada yox.
Yunan mənşəli "arifmetik" (yunanca "arithmos") sözü "ədəd" deməkdir. O, rəqəmləri və onlarla əlaqəli ola biləcək hər şeyi öyrənir. Bu, rəqəmlər dünyasıdır: ədədlər üzərində müxtəlif əməliyyatlar, ədədi qaydalar, vurma, çıxma və s. ilə bağlı məsələlərin həlli.
Arifmetikanın riyaziyyatın ilkin pilləsi və onun cəbr, riyazi analiz, ali riyaziyyat və s. kimi daha mürəkkəb bölmələri üçün möhkəm təməl olduğu ümumiyyətlə qəbul edilir.
Arifmetikanın əsas obyekti
Hesabın əsasını xassələri və qanunauyğunluqları ali arifmetika və ya ədədlər nəzəriyyəsində nəzərə alınan tam ədəd təşkil edir. Əslində, bütün binanın - riyaziyyatın gücü təbii ədəd kimi kiçik blokun nəzərə alınmasına yanaşmanın nə dərəcədə düzgün olmasından asılıdır.
Ona görə də arifmetikanın nə olduğu sualına sadə cavab vermək olar: o, ədədlər elmidir. Bəli, adi yeddi, doqquz və bütün bu müxtəlif icma haqqında. Elementar əlifba olmadan yaxşı, hətta ən sadə şeir yaza bilməyəcəyiniz kimi, hesab olmadan da elementar məsələni həll edə bilməzsiniz. Məhz buna görə də bütün elmlər yalnız hesab və riyaziyyatın inkişafından sonra inkişaf etdi, ondan əvvəl isə sadəcə fərziyyələr toplusu idi.
Arifmetika fantom elmdir
Arifmetika nədir - təbiət elmi, yoxsa fantom? Əslində, qədim yunan filosoflarının iddia etdiyi kimi, reallıqda nə rəqəmlər, nə də rəqəmlər mövcuddur. Bu, sadəcə olaraq ətraf mühiti prosesləri ilə nəzərdən keçirərkən insan təfəkküründə yaranan fantomdur. Doğrudan da, rəqəm nədir? Ətrafımızda heç bir yerdə rəqəm adlandırıla biləcək bir şey görmürük, daha doğrusu, rəqəm insan ağlının dünyanı öyrənmək üsuludur. Yoxsa bu, özümüzü daxildən öyrənməkdir? Filosoflar uzun əsrlərdir ardıcıl olaraq bu barədə mübahisə edirlər, ona görə də tam cavab verməyi öhdəmizə götürmürük. Bu və ya digər şəkildə hesab öz yerini o qədər möhkəm tutmağa müvəffəq olmuşdur ki, müasir dünyada heç kəs onun əsaslarını bilmədən sosial cəhətdən uyğunlaşdırılmış sayıla bilməz.
Natural ədəd necə meydana çıxdı
Əlbəttə, hesabın işlədiyi əsas obyekt natural ədəddir, məsələn, 1, 2, 3, 4, …, 152… və s. Natural ədədlərin arifmetikası adi cisimlərin, məsələn, çəmənlikdəki inəklərin sayılmasının nəticəsidir. Yenə də "çox" və ya "az" tərifi bir dəfə insanlara uyğun gəlmədi və onlar daha təkmil sayma üsulları icad etməli oldular.
Ancaq əsl sıçrayış insan təfəkkürü o yerə çatdıqda baş verdi ki, 2 kiloqram, 2 kərpic və 2 hissəni eyni sayda "iki" ilə təyin etmək mümkündür. Məsələ burasındadır ki, cisimlərin formalarından, xassələrindən və mənalarından mücərrədləşmək lazımdır, onda bu obyektlərlə natural ədədlər şəklində bəzi hərəkətlər edə bilərsiniz. Beləliklə, ədədlərin arifmetikası yarandıdaha da inkişaf etmiş və genişlənmiş, cəmiyyətin həyatında daha böyük mövqelər tutmuşdur.
Sıfır və mənfi ədəd, kəsrlər, ədədlərin rəqəmlərlə təyin edilməsi və başqa üsullar kimi dərinlikli say anlayışlarının zəngin və maraqlı inkişaf tarixi var.
Arifmetik və praktik Misirlilər
Ətrafımızdakı dünyanı araşdırmaqda və gündəlik problemləri həll etməkdə iki ən qədim insan yoldaşı hesab və həndəsədir.
Hesabın tarixinin Qədim Şərqdə yarandığı güman edilir: Hindistan, Misir, Babil və Çində. Beləliklə, 20-ci əsrə aid Misir mənşəli Rinda papirusu (eyniadlı sahibinə məxsus olduğu üçün belə adlandırılmışdır). BC, digər qiymətli məlumatlara əlavə olaraq, bir kəsrin müxtəlif məxrəcləri və birə bərabər paylayıcısı olan kəsrlərin cəminə genişlənməsini ehtiva edir.
Məsələn: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Bəs belə mürəkkəb parçalanmanın mənası nədir? Fakt budur ki, Misir yanaşması rəqəmlərlə bağlı mücərrəd düşüncələrə dözmürdü, əksinə, hesablamalar yalnız praktiki məqsədlər üçün aparılırdı. Yəni misirli, məsələn, sırf bir məzar tikmək üçün hesablama kimi bir şeylə məşğul olacaq. Quruluşun kənarının uzunluğunu hesablamaq lazım idi və bu, insanı papirusun arxasında oturmağa məcbur etdi. Gördüyünüz kimi, Misirin hesablamalardakı irəliləyişinə elmə olan sevgidən çox, kütləvi tikinti səbəb olub.
Bu səbəbdən papiruslarda tapılan hesablamaları kəsrlər mövzusundakı fikirlər adlandırmaq olmaz. Çox güman ki, bu, gələcəkdə kömək edən praktik bir hazırlıqdır.kəsrlərlə məsələləri həll edin. Çarpma cədvəllərini bilməyən qədim misirlilər kifayət qədər uzun hesablamalar aparmış, bir çox alt tapşırıqlara parçalanmışlar. Bəlkə də bu, həmin alt tapşırıqlardan biridir. Belə iş parçaları ilə hesablamaların çox zəhmətli və perspektivsiz olduğunu görmək asandır. Bəlkə də bu səbəbdən biz Qədim Misirin riyaziyyatın inkişafına verdiyi böyük töhfəni görmürük.
Qədim Yunanıstan və fəlsəfi arifmetika
Qədim Şərqin bir çox biliyi mücərrəd, abstrakt və fəlsəfi düşüncələrin məşhur həvəskarları olan qədim yunanlar tərəfindən uğurla mənimsənilmişdir. Onlar praktikaya az maraq göstərmirdilər, lakin ən yaxşı nəzəriyyəçi və mütəfəkkirləri tapmaq çətindir. Bu, elmə fayda verdi, çünki arifmetikanı reallıqdan ayırmadan onu dərinləşdirmək mümkün deyil. Əlbəttə, 10 inək və 100 litr südü çoxalda bilərsiniz, lakin çox uzağa getməyəcəksiniz.
Dərin düşünən yunanlar tarixdə mühüm iz qoydular və onların yazıları bizə gəlib çatmışdır:
- Evklid və Elementlər.
- Pifaqor.
- Arximed.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Və təbii ki, hər şeyi fəlsəfəyə çevirən yunanlar və xüsusən də Pifaqor yaradıcılığının davamçıları rəqəmlərə o qədər heyran idilər ki, onları dünyanın harmoniyasının sirri hesab edirdilər. Rəqəmlər o qədər öyrənilib və tədqiq olunub ki, onların bəzilərinə və cütlərinə xüsusi xassələr verilib. Məsələn:
- Mükəmməl ədədlər ədədin özü istisna olmaqla, bütün bölənlərinin cəminə bərabər olanlardır (6=1+2+3).
- Dost nömrələr həmin nömrələrdir, onlardan biriikincinin bütün bölənlərinin cəminə bərabərdir və əksinə (pifaqorçular yalnız bir belə cüt bilirdilər: 220 və 284).
Elmin qazanc üçün yox, onunla birlikdə sevilməli olduğuna inanan yunanlar kəşf edərək, oynayaraq, rəqəmlər əlavə etməklə böyük uğur qazandılar. Nəzərə almaq lazımdır ki, onların bütün tədqiqatlarından geniş istifadə olunmayıb, bəziləri yalnız “gözəllik üçün” qalıb.
Orta əsrlərin Şərq mütəfəkkirləri
Eyni şəkildə, orta əsrlərdə arifmetika da öz inkişafını Şərq müasirlərinə borcludur. Hindlilər bizə fəal şəkildə istifadə etdiyimiz rəqəmləri, məsələn, "sıfır" anlayışını və müasir qavrayışa tanış olan hesablamanın mövqe versiyasını verdilər. 15-ci əsrdə Səmərqənddə işləmiş Əl-Kaşidən onluq kəsrləri miras aldıq, onlarsız müasir arifmetikanı təsəvvür etmək çətindir.
Avropanın Şərqin nailiyyətləri ilə tanışlığı bir çox cəhətdən “Abakus kitabı” əsərini yazan italyan alimi Leonardo Fibonaççinin Şərq yeniliklərini təqdim edən əməyi sayəsində mümkün olmuşdur. O, Avropada cəbr və hesab, tədqiqat və elmi fəaliyyətin inkişafının təməl daşı oldu.
Rus arifmetikası
Və nəhayət Avropada öz yerini tapan və kök salan hesab rus torpaqlarına yayılmağa başladı. İlk rus arifmetikası 1703-cü ildə nəşr olundu - Leonti Maqnitskinin arifmetika haqqında kitabı idi. Uzun müddət riyaziyyat üzrə yeganə dərslik olaraq qaldı. O, cəbr və həndəsənin ilkin anlarını ehtiva edir. Rusiyada ilk arifmetika dərsliyinin nümunələrində istifadə olunan rəqəmlər ərəbcədir. Ərəb rəqəmləri əvvəllər də görünsə də, 17-ci əsrə aid qravüralarda.
Kitabın özü Arximed və Pifaqorun təsvirləri, birinci vərəqdə isə qadın şəklində hesab təsviri ilə bəzədilib. O, taxtda oturur, onun altında ibrani dilində Allahın adını bildirən söz yazılıb, taxta aparan pilləkənlərdə isə “bölünmə”, “çoxalma”, “əlavə” və s. sözləri yazılmışdır.həqiqətlər. bunlar indi adi hal sayılır.
600 səhifəlik dərslik toplama və vurma cədvəlləri və naviqasiya elmlərinə tətbiqlər kimi həm əsasları əhatə edir.
Müəllifin kitabı üçün yunan mütəfəkkirlərinin obrazlarını seçməsi təəccüblü deyil, çünki o özü də hesabın gözəlliyinə valeh olub: “Arifmetika saydır, sənət var dürüst, qibtə olunmaz…”. Arifmetikaya bu cür yanaşma kifayət qədər haqlıdır, çünki məhz onun geniş tətbiqi Rusiyada elmi fikrin və ümumi təhsilin sürətli inkişafının başlanğıcı sayıla bilər.
Unprime primes
Sadə ədəd yalnız 2 müsbət bölən olan natural ədəddir: 1 və özü. 1-dən başqa bütün digər ədədlər kompozit adlanır. Sadə ədədlərin nümunələri: 2, 3, 5, 7, 11 və 1 və özündən başqa bölənləri olmayan bütün digərlər.
1 nömrəyə gəlincə, o, xüsusi hesabdadır - onun nə sadə, nə də kompozit hesab edilməli olduğu barədə razılıq var. İlk baxışda sadə olan sadə rəqəm öz daxilində bir çox açılmamış sirləri gizlədir.
Evklid teoremində deyilir ki, sonsuz sayda sadə ədədlər var və Eratosthenes qeyri-adi ədədləri aradan qaldıran, yalnız sadə ədədləri qoyan xüsusi arifmetik "ələk" icad etdi.
Onun mahiyyəti ilk çarpazsız rəqəmin altını çəkmək, sonra isə ona çox olanların üstündən xətt çəkməkdir. Bu proseduru dəfələrlə təkrar edirik - və biz sadə ədədlər cədvəlini alırıq.
Arifmetikanın Əsas Teoremi
Sadə ədədlərlə bağlı müşahidələr arasında hesabın əsas teoremini xüsusi qeyd etmək lazımdır.
Arifmetikanın əsas teoremi deyir ki, 1-dən böyük istənilən tam ədəd ya sadədir, ya da o, amillərin sırasına qədər və unikal şəkildə sadə ədədlərin hasilinə parçalana bilər.
Hesabın əsas teoreminin kifayət qədər çətin olduğu sübuta yetirilib və onu başa düşmək artıq ən sadə əsaslar kimi görünmür.
İlk baxışda sadə ədədlər elementar anlayışdır, lakin elə deyil. Fizika da bir vaxtlar atomu elementar hesab edirdi, ta ki bütün kainatı onun içində tapana qədər. Riyaziyyatçı Don Tzagirin "İlk əlli milyon sadə" hekayəsi sadə ədədlərə həsr olunub.
"Üç alma"dan deduktiv qanunlara
Həqiqətən bütün elmin möhkəmləndirilmiş əsası adlandırıla bilən şey hesab qanunlarıdır. Hətta uşaqlıqda hər kəs kuklaların ayaq və qollarının sayını öyrənərək hesabla üzləşir,kubların, almaların və s. sayı. Biz arifmetikanı belə öyrənirik, sonra daha mürəkkəb qaydalara keçir.
Bütün həyatımız bizi arifmetika qaydaları ilə tanış edir, bu qaydalar adi insan üçün elmin verdiyi hər şeydən ən faydalısı olmuşdur. Rəqəmlərin öyrənilməsi "arifmetik-körpə"dir ki, bu da insanı erkən uşaqlıqda rəqəmlər şəklində rəqəmlər dünyasına təqdim edir.
Ali arifmetika hesab qanunlarını öyrənən deduktiv elmdir. Biz onların əksəriyyətini tanıyırıq, baxmayaraq ki, onların dəqiq ifadələrini bilmirik.
Toplama və vurma qanunu
İki istənilən a və b natural ədədi a+b cəmi kimi ifadə edilə bilər, bu da natural ədəd olacaqdır. Əlavə üçün aşağıdakı qanunlar tətbiq edilir:
- Şərtlərin yenidən düzülməsindən cəminin dəyişmədiyini söyləyən kommutativ və ya a+b=b+a.
- Cəminin şərtlərin yerlərdə qruplaşdırılmasından asılı olmadığını söyləyən assosiativ və ya a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Əlavə kimi hesab qaydaları ən ibtidai qaydalar arasındadır, lakin onlar gündəlik həyatdan başqa bütün elmlər tərəfindən istifadə olunur.
İki istənilən a və b natural ədədi ab və ya ab hasilatı kimi ifadə edilə bilər ki, bu da natural ədəddir. Əlavə ilə eyni kommutativ və assosiativ qanunlar məhsula tətbiq edilir:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Maraqlıdırtoplama və vurma əməllərini birləşdirən qanun var ki, buna paylayıcı və ya paylayıcı qanun da deyilir:
a(b+c)=ab+ac
Bu qanun əslində bizə mötərizələri genişləndirərək onlarla işləməyi öyrədir, beləliklə, biz daha mürəkkəb düsturlarla işləyə bilərik. Bunlar cəbrin qəribə və mürəkkəb dünyasında bizə yol göstərəcək qanunlardır.
Arifmetik qayda qanunu
Nizam qanunu insan məntiqi tərəfindən hər gün saatları müqayisə etmək və əskinasları saymaq üçün istifadə olunur. Və buna baxmayaraq, o, xüsusi formulalar şəklində rəsmiləşdirilməlidir.
Əgər iki natural a və b ədədimiz varsa, onda aşağıdakı variantlar mümkündür:
- a bərabər b, və ya a=b;
- a b-dən kiçikdir və ya < b;
- a b və ya > b-dən böyükdür.
Üç seçimdən yalnız biri ədalətli ola bilər. Sifarişi tənzimləyən əsas qanun deyir: əgər a < b və b < c, onda a< c.
Həmçinin vurma və toplama ilə bağlı qanunlar var: a< b olarsa, a + c < b+c və ac< bc.
Arifmetika qanunları bizə rəqəmlər, işarələr və mötərizələrlə işləməyi öyrədir, hər şeyi rəqəmlərin harmonik simfoniyasına çevirir.
Mövqe və qeyri-mövqe hesablama
Demək olar ki, rəqəmlər riyazi dildir, rahatlığından çox şey asılıdır. Müxtəlif dillərin əlifbaları kimi bir-birindən fərqlənən bir çox say sistemləri var.
Mövqenin kəmiyyət qiymətinə təsiri nöqteyi-nəzərindən say sistemlərini nəzərdən keçirək.bu mövqedəki nömrələr. Beləliklə, məsələn, Roma sistemi qeyri-mövqelidir, burada hər bir nömrə müəyyən bir xüsusi simvol dəsti ilə kodlanır: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Onlar müvafiq olaraq 1 rəqəmlərinə bərabərdirlər. / 5/10/50/100/500/ 1000. Belə sistemdə nömrə hansı mövqedə olmasından asılı olaraq kəmiyyət tərifini dəyişmir: birinci, ikinci və s. Başqa nömrələri almaq üçün əsas olanları əlavə etmək lazımdır. Məsələn:
- DCC=700.
- CCM=800.
Ərəb rəqəmlərindən istifadə edərək bizə daha tanış olan say sistemi mövqelidir. Belə bir sistemdə rəqəmin rəqəmi rəqəmlərin sayını müəyyən edir, məsələn, üçrəqəmli rəqəmlər: 333, 567 və s. Hər hansı bir rəqəmin çəkisi bu və ya digər rəqəmin yerləşdiyi mövqedən asılıdır, məsələn, ikinci mövqedəki 8 rəqəminin 80 dəyəri var. Bu, onluq sistem üçün xarakterikdir, məsələn, digər mövqe sistemləri də var., binar.
İkili arifmetik
Biz təkrəqəmli və çoxrəqəmli ədədlərdən ibarət onluq sistemlə tanışıq. Çoxrəqəmli ədədin solunda olan rəqəm sağdakıdan on dəfə böyükdür. Deməli, biz 2, 17, 467 və s oxumağa öyrəşmişik… “İkili arifmetika” deyilən bölmədə tamam başqa məntiq və yanaşma var. Bu təəccüblü deyil, çünki binar arifmetika insan məntiqi üçün deyil, kompüter məntiqi üçün yaradılmışdır. Əgər ədədlərin arifmetikası obyektin xassələrindən "çılpaq" hesaba qədər abstraksiya edilmiş obyektlərin hesablanmasından yaranıbsa, bu, kompüterlə işləməyəcəkdir. Paylaşa bilmək üçünkompüter biliyi ilə insan belə hesablama modelini icad etməli oldu.
İkili hesab yalnız 0 və 1-dən ibarət olan ikili əlifba ilə işləyir. Və bu əlifbanın istifadəsi ikili sistem adlanır.
İkili hesabla onluq hesab arasındakı fərq soldakı mövqenin əhəmiyyətinin artıq 10 deyil, 2 dəfə olmasıdır. İkilik ədədlər 111, 1001 və s. formadadır. Belə ədədləri necə başa düşmək olar? Beləliklə, 1100 rəqəmini nəzərdən keçirin:
- Soldakı ilk rəqəm 18=8-dir, dördüncü rəqəmin, yəni onu 2-yə vurmaq lazım olduğunu xatırlasaq, 8-ci mövqeni əldə edirik.
- İkinci rəqəm 14=4 (4-cü mövqe).
- Üçüncü rəqəm 02=0 (2-ci mövqe).
- Dördüncü rəqəm 01=0 (mövqe 1).
- Beləliklə, sayımız 1100=8+4+0+0=12-dir.
Yəni solda yeni rəqəmə keçərkən onun ikili sistemdə əhəmiyyəti 2-ə, onluq sistemdə isə 10-a vurulur. Belə sistemin bir mənfi cəhəti var: bu, çox böyük artımdır. ədədləri yazmaq üçün lazım olan rəqəmlər. Onluq ədədlərin ikilik ədədlər kimi təqdim edilməsinə dair nümunələr aşağıdakı cədvəldə tapıla bilər.
İkili formada ondalıq ədədlər aşağıda göstərilmişdir.
Həm səkkizlik, həm də on altılıq sistemlər də istifadə olunur.
Bu sirli hesab
Arifmetika, "iki dəfə iki" və ya ədədlərin araşdırılmamış sirləri nədir? Gördüyünüz kimi, hesab ilk baxışdan sadə görünə bilər, lakin onun gözə görünməyən asanlığı aldadıcıdır. Owl xala ilə birlikdə uşaqlar tərəfindən də öyrənilə bilərcizgi filmi "Arifmetika-körpə" və siz özünüzü demək olar ki, fəlsəfi bir nizamın dərin elmi tədqiqatına batıra bilərsiniz. Tarixdə o, cisimləri saymaqdan rəqəmlərin gözəlliyinə sitayiş etməyə keçib. Yalnız bir şey dəqiq məlumdur: arifmetikanın əsas postulatlarının qurulması ilə bütün elm onun güclü çiyninə arxalana bilər.
