Məktəbdə bərk həndəsə kursunda üç fəza oxları boyunca sıfırdan fərqli ölçülərə malik olan ən sadə fiqurlardan biri dördbucaqlı prizmadır. Məqalədə onun hansı fiqur olduğunu, hansı elementlərdən ibarət olduğunu, həmçinin səth sahəsini və həcmini necə hesablaya biləcəyinizi nəzərdən keçirin.
Prizma anlayışı
Həndəsədə prizma iki eyni əsasdan və bu əsasların tərəflərini birləşdirən yan səthlərdən əmələ gələn fəza fiqurudur. Qeyd edək ki, hər iki əsas bəzi vektor tərəfindən paralel tərcümə əməliyyatından istifadə edərək bir-birinə çevrilir. Prizmanın bu təyinatı ona gətirib çıxarır ki, onun bütün tərəfləri həmişə paraleloqramdır.
Bazanın tərəflərinin sayı üçdən başlayaraq ixtiyari ola bilər. Bu ədəd sonsuzluğa meyl etdikdə, prizma rəvan şəkildə silindrə çevrilir, çünki onun əsası dairəyə çevrilir və yan paraleloqramlar birləşdirilərək silindrik səth əmələ gətirir.
Hər bir çoxüzlü kimi, prizma ilə xarakterizə olunurtərəflər (fiquru bağlayan təyyarələr), kənarlar (hər hansı iki tərəfin kəsişdiyi seqmentlər) və təpələr (üç tərəfin görüş nöqtələri, prizma üçün onlardan ikisi yanal, üçüncüsü isə əsasdır). Şəklin üç elementinin kəmiyyətləri aşağıdakı ifadə ilə bir-birinə bağlıdır:
P=C + B - 2
Burada P, C və B müvafiq olaraq kənarların, tərəflərin və təpələrin sayıdır. Bu ifadə Eyler teoreminin riyazi qeydidir.
Yuxarıdakı şəkildə iki prizma göstərilir. Onlardan birinin (A) təməlində düz altıbucaqlı yerləşir və yan tərəflər əsaslara perpendikulyardır. Şəkil B başqa bir prizmanı göstərir. Onun tərəfləri artıq əsaslara perpendikulyar deyil və əsas düz beşbucaqlıdır.
Dördbucaqlı prizma nədir?
Yuxarıdakı təsvirdən aydın olduğu kimi, prizmanın növü ilk növbədə bazanı təşkil edən çoxbucaqlının növü ilə müəyyən edilir (hər iki əsas eynidir, ona görə də onlardan biri haqqında danışmaq olar). Əgər bu çoxbucaqlı paraleloqramdırsa, onda dördbucaqlı prizma alırıq. Beləliklə, bu tip prizmanın bütün tərəfləri paraleloqramdır. Dördbucaqlı prizmanın öz adı var - paralelepiped.
Parallepipedin tərəflərinin sayı altıdır və hər tərəfin ona oxşar paraleli var. Qutunun əsasları iki tərəf olduğundan, qalan dördü yanaldır.
Parallepipedin təpələrinin sayı səkkizdir, prizmanın təpələrinin yalnız əsas çoxbucaqlıların təpələrində əmələ gəldiyini xatırlasaq, bunu asanlıqla görmək olar (4x2=8). Eyler teoremini tətbiq edərək, kənarların sayını alırıq:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 qabırğadan yalnız 4-ü yan tərəfdən müstəqil şəkildə formalaşır. Qalan 8-i fiqurun əsaslarının müstəvilərində yerləşir.
Məqalənin sonrakı hissəsində yalnız dördbucaqlı prizmalardan danışacağıq.
Parallepipedlərin növləri
Təsnifatın birinci növü paraleloqramın altında yatan xüsusiyyətləridir. Bu belə görünə bilər:
- müntəzəm, bucaqları 90o-ə bərabər olmayan;
- düzbucaqlı;
- kvadrat normal dördbucaqlıdır.
Təsnifatın ikinci növü tərəfin baza ilə kəsişdiyi bucaqdır. Burada iki fərqli hal mümkündür:
- bu bucaq düz deyil, onda prizma əyilmə və ya əyilmə adlanır;
- bucaq 90o, onda belə prizma düzbucaqlı və ya düzdür.
Üçüncü təsnifat növü prizmanın hündürlüyü ilə bağlıdır. Prizma düzbucaqlıdırsa və əsası kvadrat və ya düzbucaqlıdırsa, ona kuboid deyilir. Əgər təməldə kvadrat varsa, prizma düzbucaqlıdır və hündürlüyü kvadratın tərəfinin uzunluğuna bərabərdirsə, o zaman məlum kub fiqurunu alırıq.
Prizmanın səthi və sahəsi
Prizmanın iki əsası üzərində yerləşən bütün nöqtələrin çoxluğu(paraleloqramlar) və onun tərəflərində (dörd paraleloqram) fiqurun səthini təşkil edir. Bu səthin sahəsi bazanın sahəsini və yan səth üçün bu dəyəri hesablamaqla hesablana bilər. Sonra onların cəmi istədiyiniz dəyəri verəcəkdir. Riyazi olaraq bu belə yazılır:
S=2So+ Sb
Burada So və Sb müvafiq olaraq əsas və yan səthin sahəsidir. So-dan əvvəl 2 rəqəmi görünür, çünki iki əsas var.
Qeyd edək ki, yazılı düstur təkcə dördbucaqlı prizmanın sahəsi üçün deyil, istənilən prizma üçün etibarlıdır.
Paralleloqramın sahəsi Sp düsturla hesablandığını xatırlamaq faydalıdır:
Sp=ah
Burada a və h simvolları müvafiq olaraq onun tərəflərindən birinin uzunluğunu və bu tərəfə çəkilmiş hündürlüyü bildirir.
Kvadrat əsaslı düzbucaqlı prizmanın sahəsi
Müntəzəm dördbucaqlı prizmada əsas kvadratdır. Müəyyənlik üçün onun tərəfini a hərfi ilə işarə edirik. Adi dördbucaqlı prizmanın sahəsini hesablamaq üçün onun hündürlüyünü bilməlisiniz. Bu kəmiyyətin tərifinə görə, bir əsasdan digərinə düşən perpendikulyarın uzunluğuna bərabərdir, yəni aralarındakı məsafəyə bərabərdir. Onu h hərfi ilə işarə edək. Bütün yan üzlər nəzərdən keçirilən prizma növü üçün əsaslara perpendikulyar olduğundan, müntəzəm dördbucaqlı prizmanın hündürlüyü onun yan kənarının uzunluğuna bərabər olacaqdır.
BPrizmanın səth sahəsi üçün ümumi düstur iki şərtdir. Bu vəziyyətdə bazanın sahəsini hesablamaq asandır, bərabərdir:
So=a2
Yan səthin sahəsini hesablamaq üçün aşağıdakı kimi mübahisə edirik: bu səth 4 eyni düzbucaqlıdan əmələ gəlir. Üstəlik, onların hər birinin tərəfləri a və h-ə bərabərdir. Bu o deməkdir ki, Sb sahəsi bərabər olacaq:
Sb=4ah
Qeyd edək ki, hasil 4a kvadrat əsasın perimetridir. Bu ifadəni ixtiyari əsas halına ümumiləşdirsək, düzbucaqlı prizma üçün yan səthi aşağıdakı kimi hesablamaq olar:
Sb=Poh
Burada Po təməlin perimetridir.
Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın sahəsinin hesablanması məsələsinə qayıdaraq, yekun düsturu yaza bilərik:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Əymə paralelepipedin sahəsi
Bunu hesablamaq düzbucaqlıdan bir qədər çətindir. Bu halda, dördbucaqlı prizmanın əsas sahəsi paraleloqram üçün olduğu kimi eyni düsturla hesablanır. Dəyişikliklər yanal səth sahəsinin təyin edilməsi üsuluna aiddir.
Bunu etmək üçün yuxarıdakı paraqrafda verilmiş perimetr boyunca eyni düsturdan istifadə edin. Yalnız indi onun bir az fərqli çarpanları olacaq. Malik prizma vəziyyətində Sb üçün ümumi düstur belədir:
Sb=Psrc
Burada c rəqəmin yan kənarının uzunluğudur. Psr dəyəri düzbucaqlı dilimin perimetridir. Bu mühit aşağıdakı kimi qurulur: bütün yan üzləri bir təyyarə ilə kəsmək lazımdır ki, onların hamısına perpendikulyar olsun. Yaranan düzbucaqlı istədiyiniz kəsik olacaq.
Yuxarıdakı şəkildə əyri qutu nümunəsi göstərilir. Onun çarpaz lyuklu hissəsi tərəflərlə düz açılar təşkil edir. Bölmənin perimetri Psr-dir. Yanal paraleloqramların dörd hündürlüyündən əmələ gəlir. Bu dördbucaqlı prizma üçün yanal səth sahəsi yuxarıdakı düsturla hesablanır.
Kuboidin diaqonalının uzunluğu
Parallepipedin diaqonalı ortaq tərəfləri olmayan iki təpəni birləşdirən seqmentdir. İstənilən dördbucaqlı prizmada yalnız dörd diaqonal var. Bazasında düzbucaqlı olan kuboid üçün bütün diaqonalların uzunluqları bir-birinə bərabərdir.
Aşağıdakı rəqəm müvafiq rəqəmi göstərir. Qırmızı seqment onun diaqonaldır.
Pifaqor teoremini xatırlayırsınızsa, onun uzunluğunu hesablamaq çox sadədir. Hər bir tələbə istədiyi düstur ala bilər. Onun aşağıdakı forması var:
D=√(A2+ B2 + C2)
Burada D diaqonalın uzunluğudur. Qalan simvollar qutunun kənarlarının uzunluqlarıdır.
Bir çox insanlar paralelepipedin diaqonalını onun tərəflərinin diaqonalları ilə səhv salırlar. Aşağıda rəngli bir şəkil varseqmentlər fiqurun tərəflərinin diaqonallarını təmsil edir.
Onların hər birinin uzunluğu da Pifaqor teoremi ilə müəyyən edilir və müvafiq tərəf uzunluqlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir.
Prizmanın həcmi
Bəzi həndəsi məsələləri həll etmək üçün müntəzəm dördbucaqlı prizmanın və ya digər prizma növlərinin sahəsindən əlavə, onların həcmini də bilmək lazımdır. Hər hansı prizma üçün bu dəyər aşağıdakı düsturla hesablanır:
V=Soh
Əgər prizma düzbucaqlıdırsa, o zaman fiqurun həcmini almaq üçün onun əsasının sahəsini hesablamaq və onu tərəfin kənarının uzunluğuna vurmaq kifayətdir.
Əgər prizma müntəzəm dördbucaqlı prizmadırsa, onda onun həcmi belə olacaq:
V=a2h.
Asanlıqla görmək olar ki, bu düstur kubun həcmi üçün ifadəyə çevrilir, əgər h yan kənarının uzunluğu bünövrənin a tərəfinə bərabərdirsə.
Kuboidlə bağlı problem
Öyrənilən materialı birləşdirmək üçün aşağıdakı məsələni həll edəcəyik: tərəfləri 3 sm, 4 sm və 5 sm olan düzbucaqlı paralelepiped var. Onun səthinin sahəsini, diaqonal uzunluğunu və həcmini hesablamaq lazımdır.
Müəyyənlik üçün fiqurun əsasının tərəfləri 3 sm və 4 sm olan düzbucaqlı olduğunu qəbul edəcəyik. Onda onun sahəsi 12 sm2 və dövr 14 sm. Prizmanın səth sahəsi üçün düsturdan istifadə edərək, əldə edirik:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Şəklin diaqonalının uzunluğunu və həcmini təyin etmək üçün birbaşa yuxarıdakı ifadələrdən istifadə edə bilərsiniz:
D=√(32+42+52)=7. 071 sm;
V=345=60sm3.
Əymə paralelepipedlə bağlı problem
Aşağıdakı şəkildə əyri prizma göstərilir. Onun tərəfləri bərabərdir: a=10 sm, b=8 sm, c=12 sm. Bu fiqurun səth sahəsini tapmaq lazımdır.
İlk olaraq təməlin sahəsini təyin edək. Şəkil iti bucağın 50o olduğunu göstərir. Onda onun sahəsi:
So=ha=sin(50o)ba
Yan səthin sahəsini təyin etmək üçün kölgəli düzbucaqlının perimetrini tapmalısınız. Bu düzbucaqlının tərəfləri asin(45o) və bsin(60o). Onda bu düzbucağın perimetri:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Bu qutunun ümumi səth sahəsi:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Məsələnin vəziyyətindən alınan məlumatları rəqəmin tərəflərinin uzunluqları ilə əvəz edirik, cavabı alırıq:
S=458, 5496 sm3
Bu məsələnin həllindən görünür ki, əyri fiqurların sahələrini təyin etmək üçün triqonometrik funksiyalardan istifadə olunur.
