Üçbucaq üç tərəfi (üç küncü) olan çoxbucaqlıdır. Çox vaxt tərəflər əks təpələri ifadə edən böyük hərflərə uyğun gələn kiçik hərflərlə işarələnir. Bu yazıda biz bu həndəsi fiqurların növləri, üçbucağın bucaqlarının cəminin nə olduğunu təyin edən teoremlə tanış olacağıq.
Bucaqlara görə baxışlar
Üç təpəsi olan aşağıdakı poliqon növləri fərqləndirilir:
- bütün küncləri kəskin olan kəskin bucaqlı;
- düzbucaqlı, bir düz bucağa malikdir, onu meydana gətirən tərəflərə ayaqlar, düzgün bucağa qarşı yerləşdirilən tərəfə isə hipotenuza deyilir;
- bir künc ensiz olduqda küt;
- izoceles, iki tərəfi bərabərdir və onlar yanal adlanır, üçüncüsü isə üçbucağın əsasıdır;
- bərabərtərəfli, hər üç tərəfi bərabər olan.
Xüsusiyyətlər
Onlar hər üçbucaq növü üçün xarakterik olan əsas xüsusiyyətləri vurğulayır:
- böyük tərəfin qarşısında həmişə daha böyük bucaq var və əksinə;
- bərabər ölçülü əks tərəflər bərabər açılardır və əksinə;
- hər hansı üçbucağın iki iti bucağı var;
- xarici künc ona bitişik olmayan hər hansı daxili küncdən daha böyükdür;
- hər hansı iki bucağın cəmi həmişə 180 dərəcədən azdır;
- xarici künc onunla kəsişməyən digər iki küncün cəminə bərabərdir.
Bucaqların üçbucaq cəmi teoremi
Teoremdə deyilir ki, Evklid müstəvisində yerləşən verilmiş həndəsi fiqurun bütün bucaqlarını toplasanız, onların cəmi 180 dərəcə olacaqdır. Gəlin bu teoremi sübut etməyə çalışaq.
Gəlin təpələri KMN olan ixtiyari üçbucağa sahib olaq.
M təpəsindən KN düz xəttinə paralel düz xətt çəkin (bu xəttə Evklid düz xətti də deyilir). Onun üzərində A nöqtəsini elə qeyd edirik ki, K və A nöqtələri MN düz xəttinin müxtəlif tərəflərində yerləşsin. Daxili olanlar kimi çarpaz uzanan və paralel olan KN və MA düz xətləri ilə birlikdə MN kəsici tərəfindən əmələ gələn AMN və KNM bərabər bucaqları alırıq. Buradan belə nəticə çıxır ki, M və H təpələrində yerləşən üçbucağın bucaqlarının cəmi KMA bucağının ölçüsünə bərabərdir. Hər üç bucaq KMA və MKN bucaqlarının cəminə bərabər olan cəmini təşkil edir. Bu açılar daxili bir tərəfli olduğundankəsici KM olan paralel KN və MA düz xətləri, onların cəmi 180 dərəcədir. Teorem sübut edilmişdir.
Nəticə
Yuxarıda sübut edilmiş teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır: istənilən üçbucağın iki iti bucağı var. Bunu sübut etmək üçün fərz edək ki, verilmiş həndəsi fiqurda yalnız bir iti bucaq var. Bucaqların heç birinin iti olmadığını da güman etmək olar. Bu halda, 90 dərəcəyə bərabər və ya daha çox olan ən azı iki bucaq olmalıdır. Lakin o zaman bucaqların cəmi 180 dərəcədən çox olacaq. Ancaq bu ola bilməz, çünki teoremə görə, üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 ° -dir - nə çox, nə də az. Bu sübut edilməli idi.
Xarici künc mülkü
Üçbucağın xarici olan bucaqlarının cəmi neçəyə bərabərdir? Bu suala iki yoldan biri ilə cavab vermək olar. Birincisi, hər təpədə bir, yəni üç bucaq götürülən bucaqların cəmini tapmaq lazımdır. İkincisi, təpələrdəki bütün altı bucağın cəmini tapmaq lazım olduğunu nəzərdə tutur. Əvvəlcə birinci variantla məşğul olaq. Beləliklə, üçbucaq altı xarici küncdən ibarətdir - hər təpədə iki.
Hər cüt şaquli olduğu üçün bərabər bucaqlara malikdir:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Bundan başqa, məlumdur ki, üçbucağın xarici bucağı onunla kəsişməyən iki daxili bucağın cəminə bərabərdir. Buna görə də, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Bundan belə çıxır ki, xarici cəmihər təpədə bir götürülən künclər bərabər olacaq:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Bucaqların cəminin 180 dərəcə olduğunu nəzərə alsaq, ∟A + ∟B + ∟C=180° olduğunu iddia etmək olar. Və bu o deməkdir ki, ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. İkinci seçim istifadə edilərsə, altı bucağın cəmi müvafiq olaraq iki dəfə böyük olacaqdır. Yəni üçbucağın xarici bucaqlarının cəmi belə olacaq:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Düzbucaq
Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının cəmi neçəyə bərabərdir? Bu sualın cavabı yenə də üçbucaqdakı bucaqların cəmi 180 dərəcəyə çatdığını bildirən teoremdən irəli gəlir. Və ifadəmiz (xüsusiyyətimiz) belə səslənir: düz üçbucaqda iti bucaqlar 90 dərəcəyə qədər toplanır. Gəlin onun doğruluğunu sübut edək.
Bizə ∟Н=90° olan KMN üçbucağı verilsin. ∟K + ∟M=90° olduğunu sübut etmək lazımdır.
Deməli, bucaq cəmi teoreminə görə ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Şərtimiz deyir ki, ∟Н=90°. Belə çıxır ki, ∟K + ∟M + 90°=180°. Yəni, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Bunu sübut etməli idik.
Düzbucaqlı üçbucağın yuxarıdakı xassələrinə əlavə olaraq aşağıdakıları əlavə edə bilərsiniz:
- ayaqlara qarşı uzanan bucaqlar kəskindir;
- hipotenuza hər hansı ayaqdan daha çox üçbucaqlıdır;
- ayaqların cəmi hipotenuzadan böyükdür;
- ayaq30 dərəcə bucaq qarşısında yerləşən üçbucaq hipotenuzanın yarısıdır, yəni onun yarısına bərabərdir.
Bu həndəsi fiqurun başqa bir xüsusiyyəti kimi Pifaqor teoremini ayırd etmək olar. O bildirir ki, bucağı 90 dərəcə olan üçbucaqda (düzbucaqlı) ayaqların kvadratlarının cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir.
İkitərəfli üçbucağın bucaqlarının cəmi
Daha əvvəl dedik ki, ikitərəfli iki bərabər tərəfi olan üç təpəsi olan çoxbucaqlıdır. Verilmiş həndəsi fiqurun bu xassəsi məlumdur: onun təməlindəki bucaqlar bərabərdir. Gəlin bunu sübut edək.
İkitərəfli olan KMN üçbucağını götürün, KN onun əsasıdır.
Bizdən ∟К=∟Н olduğunu sübut etmək tələb olunur. Beləliklə, deyək ki, MA bizim KMN üçbucağının bissektrisasıdır. MCA üçbucağı, bərabərliyin ilk əlamətini nəzərə alaraq, MCA üçbucağına bərabərdir. Məhz şərtlə verilmişdir ki, KM=NM, MA ümumi tərəfdir, ∟1=∟2, çünki MA bisektrisadır. Bu iki üçbucağın bərabər olmasından istifadə edərək deyə bilərik ki, ∟K=∟Н. Beləliklə, teorem sübut olundu.
Amma bizi üçbucağın (ikibucaqlı) bucaqlarının cəminin nə qədər olduğu maraqlandırır. Bu baxımdan onun özünəməxsus özəllikləri olmadığı üçün biz əvvəllər nəzərdən keçirilən teoremdən başlayacağıq. Yəni ∟K + ∟M + ∟H=180° və ya 2 x ∟K + ∟M=180° (∟K=∟H olduğundan) deyə bilərik. Biz bu xassəni sübut etməyəcəyik, çünki üçbucağın cəmi teoreminin özü daha əvvəl sübut edilmişdir.
Müzakirələr istisna olmaqlaüçbucağın bucaqları ilə bağlı xassələr üçün belə vacib ifadələr də var:
- İkitərəfli üçbucaqda bazaya endirilmiş hündürlük həm mediana, həm bərabər tərəflər arasında olan bucağın bissektrisasına, həm də onun əsasının simmetriya oxuna bərabərdir;
- belə həndəsi fiqurun tərəflərinə çəkilmiş medianlar (bissektrisalar, hündürlüklər) bərabərdir.
Baryantərəfli üçbucaq
Ona düzgün də deyilir, bütün tərəfləri bərabər olan üçbucaqdır. Buna görə də bucaqlar bərabərdir. Hər biri 60 dərəcədir. Gəlin bu mülkü sübut edək.
Fərz edək ki, KMN üçbucağımız var. Biz bilirik ki, KM=NM=KN. Və bu o deməkdir ki, ikitərəfli üçbucağın bazasında yerləşən bucaqların xassəsinə görə ∟К=∟М=∟Н. Çünki teoremə görə üçbucağın bucaqlarının cəmi ∟К + ∟М + ∟Н=180°, onda 3 x ∟К=180° və ya ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ N=60°. Beləliklə, ifadə sübuta yetirilir.
Teoremə əsaslanan yuxarıdakı sübutdan göründüyü kimi, hər hansı digər üçbucağın bucaqlarının cəmi kimi bərabərtərəfli üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir. Bu teoremi bir daha sübut etməyə ehtiyac yoxdur.
Baryantərəfli üçbucaq üçün xarakterik olan belə xüsusiyyətlər də var:
- belə həndəsi fiqurda median, bissektrisa, hündürlük eynidir və onların uzunluğu (a x √3) kimi hesablanır: 2;
- verilmiş çoxbucaqlı ətrafında çevrəni təsvir etsəniz, onun radiusu olacaqbərabərdir (a x √3): 3;
- əgər siz çevrəni bərabərtərəfli üçbucağa daxil etsəniz, onun radiusu (a x √3) olacaq: 6;
- bu həndəsi fiqurun sahəsi düsturla hesablanır: (a2 x √3): 4.
Kiçbucaqlı üçbucaq
Kütbucaqlı üçbucağın tərifinə görə onun bucaqlarından biri 90 ilə 180 dərəcə arasındadır. Ancaq bu həndəsi fiqurun digər iki bucağının iti olduğunu nəzərə alsaq, onların 90 dərəcədən çox olmadığı qənaətinə gələ bilərik. Buna görə də, küt üçbucaqda bucaqların cəmi hesablanarkən üçbucağın bucaqlarının cəmi teoremi işləyir. Belə çıxır ki, yuxarıda qeyd olunan teoremə əsaslanaraq, küt üçbucağın bucaqlarının cəminin 180 dərəcə olduğunu əminliklə deyə bilərik. Yenə də bu teoremin yenidən isbatına ehtiyac yoxdur.
