Nömrə sistemləri - bu nədir? Bu sualın cavabını bilmədən də hər birimiz həyatımızda istər-istəməz say sistemlərindən istifadə edir və bundan şübhələnmirik. Düzdü, cəm! Yəni bir deyil, bir neçə. Mövqeyi olmayan say sistemlərinə misallar verməzdən əvvəl gəlin bu məsələni anlayaq, mövqe sistemlərindən də danışaq.
Qaimə-faktura lazımdır
Qədim dövrlərdən bəri insanların saymağa ehtiyacı var idi, yəni onlar intuitiv olaraq anladılar ki, hər hansı bir şəkildə əşya və hadisələrin kəmiyyət baxışını ifadə etmək lazımdır. Beyin saymaq üçün cisimlərdən istifadə etməyin zəruri olduğunu irəli sürdü. Barmaqlar həmişə ən əlverişli olub və bu başa düşüləndir, çünki onlar həmişə mövcuddur (nadir istisnalarla).
Beləliklə, bəşər övladının qədim nümayəndələri barmaqlarını hərfi mənada bükməli idilər - məsələn, öldürülən mamontların sayını göstərmək üçün. Hesabın belə elementlərinin hələ adları yox idi, ancaq vizual şəkil, müqayisə var idi.
Müasir mövqe say sistemləri
Say sistemi müəyyən işarələrdən (simvollar və ya hərflərdən) istifadə etməklə kəmiyyət dəyərlərini və kəmiyyətləri ifadə etmək üsuludur (yoludur).
Mövqeyi olmayan say sistemlərinə misallar verməzdən əvvəl saymada nəyin mövqeli və qeyri-mövqe olduğunu anlamaq lazımdır. Bir çox mövqe say sistemləri var. İndi müxtəlif bilik sahələrində aşağıdakılar istifadə olunur: ikili (yalnız iki əhəmiyyətli element daxildir: 0 və 1), on altılıq (simvolların sayı - 6), səkkizlik (simvol - 8), on ikilik (on iki simvol), on altılıq (on altı daxildir. simvol). Üstəlik, sistemlərdə hər bir simvol sırası sıfırdan başlayır. Müasir kompüter texnologiyaları ikili kodların - ikili mövqeli say sisteminin istifadəsinə əsaslanır.
Onluq say sistemi
Mövqelik rəqəmin işarələrinin yerləşdiyi müxtəlif dərəcələrdə əhəmiyyətli mövqelərin olmasıdır. Bunu onluq say sisteminin nümunəsi ilə ən yaxşı şəkildə nümayiş etdirmək olar. Axı biz uşaqlıqdan istifadə etməyə öyrəşmişik. Bu sistemdə on işarə var: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 327 rəqəmini götürün. Onun üç işarəsi var: 3, 2, 7. Onların hər biri burada yerləşir. öz mövqeyi (yeri). Yeddi vahid dəyərlər (vahidlər), iki - onlarla, üç - yüzlər üçün qorunan mövqe tutur. Rəqəm üçrəqəmli olduğundan, onda yalnız üç mövqe var.
Yuxarıdakılara əsasən, buüç rəqəmli onluq ədədi aşağıdakı kimi təsvir etmək olar: üç yüzlük, iki onluq və yeddi vahid. Üstəlik, mövqelərin əhəmiyyəti (əhəmiyyəti) soldan sağa, zəif mövqedən (bir) güclü mövqeyə (yüzlərlə) qədər hesablanır.
Onluq mövqeli say sistemində özümüzü çox rahat hiss edirik. Əllərimizdə on barmaq, ayağımızda da eynidir. Beş üstəgəl beş - buna görə də, barmaqlar sayəsində uşaqlıqdan onlarla asanlıqla təsəvvür edirik. Buna görə uşaqlar üçün beş və on üçün vurma cədvəllərini öyrənmək asandır. Həm də tez-tez beşə və ona çox olan (yəni qalıqsız bölünən) əskinasları saymağı öyrənmək də çox asandır.
Digər mövqe say sistemləri
Çoxlarının təəccübünə səbəb olaraq demək lazımdır ki, təkcə onluq say sistemində deyil, beynimiz bəzi hesablamalar aparmağa öyrəşib. İndiyə qədər bəşəriyyət altı və on ikilik say sistemlərindən istifadə edirdi. Yəni belə bir sistemdə cəmi altı simvol var (on altılıq sistemdə): 0, 1, 2, 3, 4, 5. On ikilikdə bunlardan on iki var: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, burada A - 10 rəqəmini, B - 11 rəqəmini bildirir (çünki işarə bir olmalıdır).
Özünüz mühakimə edin. Biz vaxtı altılıqda sayırıq, elə deyilmi? Bir saat altmış dəqiqədir (altı onluq), bir gün iyirmi dörd saatdır (iki dəfə on iki), bir il on iki aydır və s… Bütün vaxt intervalları asanlıqla altı və on ikilik sıralara uyğun gəlir. Amma biz buna o qədər öyrəşmişik ki, vaxtı hesablayanda bu barədə düşünmürük.
Qeyri-mövqe say sistemləri. Birlik
Bunun nə olduğunu müəyyən etmək lazımdır - qeyri-mövqeli say sistemi. Bu elə bir işarə sistemidir ki, orada nömrənin əlamətləri üçün mövqelər yoxdur və ya nömrənin “oxuması” prinsipi mövqedən asılı deyildir. Onun həmçinin yazmaq və ya hesablamaq üçün öz qaydaları var.
Mövqeyi olmayan say sistemlərinə misallar verək. Antik dövrə qayıdaq. İnsanlar hesaba ehtiyac duydular və ən sadə ixtira - düyünlər ilə gəldilər. Mövqeyi olmayan say sistemi düyünlüdür. Məsələn, alqı-satqı zamanı bir əşya (bir torba düyü, öküz, ot tayası və s.) sayılır və ipə düyün bağlanırdı.
Nəticədə kəndirdə o qədər düyün düyün kisəsi alınıb (nümunə kimi). Ancaq bu, həm də taxta çubuqda, daş plitədə və s. Belə bir say sistemi düyün kimi tanındı. Onun ikinci adı var - tək və ya tək ("uno" latınca "bir" deməkdir).
Bu say sisteminin qeyri-mövqe olduğu aydın olur. Axı o (vəzifə) bir olanda hansı vəzifələrdən danışmaq olar! Qəribədir ki, Yerin bəzi yerlərində unar qeyri-mövqe say sistemi hələ də istifadə olunur.
Həmçinin, qeyri-mövqe say sistemlərinə daxildir:
- Roma (rəqəmləri yazmaq üçün hərflərdən istifadə olunur - Latın hərfləri);
- qədim Misir (Romalılara bənzər simvollar da istifadə olunurdu);
- əlifba (əlifbanın hərflərindən istifadə edilmişdir);
- Babil dili (mix yazısı - birbaşa istifadə olunur vəters çevrilmiş "paz");
- Yunan (həmçinin əlifba kimi istinad edilir).
Roma rəqəm sistemi
Qədim Roma İmperiyası, eləcə də onun elmi çox mütərəqqi idi. Romalılar dünyaya elm və sənətin bir çox faydalı ixtiraları, o cümlədən onların sayma sistemi verdilər. İki yüz il əvvəl, iş sənədlərində məbləğləri göstərmək üçün rum rəqəmləri istifadə olunurdu (beləliklə, saxtakarlığın qarşısı alındı).
Roma nömrələməsi qeyri-mövqe say sisteminə misaldır, biz bunu indi bilirik. Həmçinin, Roma sistemi fəal şəkildə istifadə olunur, lakin riyazi hesablamalar üçün deyil, dar məqsədyönlü hərəkətlər üçün. Məsələn, Roma rəqəmlərinin köməyi ilə kitab nəşrlərində tarixi tarixləri, əsrləri, cild nömrələrini, bölmə və fəsilləri təyin etmək adətdir. Roma işarələri tez-tez saat siferblatlarını bəzəmək üçün istifadə olunur. Həm də Roma nömrələməsi qeyri-mövqeli say sisteminə misaldır.
Romalılar rəqəmləri Latın hərfləri ilə qeyd edirdilər. Üstəlik rəqəmləri müəyyən qaydalara uyğun yazıblar. Roma rəqəm sistemində əsas simvolların siyahısı var, onların köməyi ilə bütün rəqəmlər istisnasız olaraq yazılır.
| Nömrə (onluq) | Roma rəqəmi (latın əlifbasının hərfi) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Rəqəmlərin tərtibi qaydaları
Tələb olunan rəqəm işarələrin (latın hərfləri) əlavə edilməsi və onların cəminin hesablanması ilə əldə edilmişdir. Roma sistemində işarələrin simvolik olaraq necə yazıldığını və onların necə “oxunması” lazım olduğunu nəzərdən keçirək. Roma qeyri-mövqe say sistemində ədədlərin əmələ gəlməsinin əsas qanunlarını sadalayaq.
- Dörd - IV rəqəmi iki simvoldan ibarətdir (I, V - bir və beş). Əgər soldadırsa, böyük işarədən kiçik işarəni çıxmaqla əldə edilir. Kiçik işarə sağda olduqda, siz əlavə etməlisiniz, sonra altı rəqəmini alırsınız - VI.
- Bir-birinin yanına iki eyni işarə əlavə etmək lazımdır. Məsələn: SS 200 (C 100) və ya XX 20-dir.
- Ədədin birinci işarəsi ikincidən kiçikdirsə, bu sətirdəki üçüncü simvol hətta birincidən də kiçik olan simvol ola bilər. Çaşqınlığın qarşısını almaq üçün burada bir nümunə var: CDX - 410 (onluq).
- Bəzi böyük ədədlər müxtəlif yollarla təmsil oluna bilər ki, bu da Roma sayma sisteminin çatışmazlıqlarından biridir. Budur bəzi nümunələr: MVM (Roma)=1000 + (1000 - 5)=1995 (ondalıq) və ya MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Bu, hamısı deyil.
Arifmetik fəndlər
Qeyri-mövqeli say sistemi bəzən ədədlərin əmələ gəlməsi, onların işlənməsi (onlarda hərəkətlər) üçün mürəkkəb qaydalar toplusudur. Mövqeyi olmayan say sistemlərində arifmetik əməliyyatlar asan deyilmüasir insanlar üçün. Qədim Roma riyaziyyatçılarına həsəd aparmırıq!
Əlavə nümunəsi. Gəlin iki ədəd əlavə etməyə çalışaq: XIX + XXVI=XXXV, bu tapşırıq iki addımda yerinə yetirilir:
- İlk - ədədlərin kiçik fraksiyalarını götürüb əlavə edin: IX + VI=XV (V-dən sonra I və X-dən əvvəl mən bir-birini "məhv edirəm").
- İkinci - iki ədədin böyük fraksiyalarını əlavə edin: X + XX=XXX.
Çıxarma bir az daha mürəkkəbdir. Azaldılmalı olan ədədi onun tərkib elementlərinə, sonra isə azaldılan və çıxılacaq sayda təkrarlanan simvollara bölmək lazımdır. 500-dən 263 çıxın:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Roma rəqəmlərinin vurulması. Yeri gəlmişkən, qeyd etmək lazımdır ki, romalılarda hesab əməllərinin əlamətləri yox idi, sadəcə olaraq sözlərlə işarə edirdilər.
Çoxsaylı çarpanın hər bir fərdi simvolu ilə vurulmalı idi, nəticədə bir neçə məhsul əlavə edilməli idi. Çoxhədlilər belə vurulur.
Bölünməyə gəlincə, Roma rəqəmləri sistemində bu proses ən çətin olub və belə də qalır. Burada qədim Roma abakından istifadə olunub. Onunla işləmək üçün insanlar xüsusi təlim keçmişdilər (və hər adam belə bir elmə yiyələnməyə müvəffəq deyildi).
Mövqeyi olmayan sistemlərin çatışmazlıqları haqqında
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, qeyri-mövqeli say sistemlərinin öz çatışmazlıqları, istifadəsində əlverişsizlikləri var. Unary sadə hesablamalar üçün kifayət qədər sadədir, lakin arifmetik və mürəkkəb hesablamalar üçün deyil.kifayət qədər yaxşıdır.
Roma dilində böyük ədədlərin əmələ gəlməsi üçün vahid qaydalar yoxdur və çaşqınlıq yaranır və orada hesablamalar aparmaq da çox çətindir. Həmçinin, qədim romalıların öz metodları ilə yaza bildikləri ən böyük rəqəm 100.000 idi.
