Məkan fiqurlarının həcmini hesablamaq bacarığı həndəsənin bir sıra praktiki məsələlərinin həllində vacibdir. Ən çox yayılmış formalardan biri piramidadır. Bu məqalədə biz həm tam, həm də kəsilmiş piramidanın həcmi üçün düsturları nəzərdən keçirəcəyik.
Piramida üçölçülü fiqur kimi
Hər kəs Misir piramidaları haqqında bilir, ona görə də hansı rəqəmin müzakirə ediləcəyi barədə yaxşı təsəvvürləri var. Bununla belə, Misir daş strukturları nəhəng piramidalar sinfinin yalnız xüsusi halıdır.
Ümumi halda nəzərdən keçirilən həndəsi obyekt çoxbucaqlı bazadır, hər təpəsi fəzada baza müstəvisinə aid olmayan hansısa nöqtə ilə bağlıdır. Bu tərif bir n-bucaqlı və n üçbucaqdan ibarət rəqəmə gətirib çıxarır.
İstənilən piramida n+1 üz, 2n kənar və n+1 təpədən ibarətdir. Baxılan fiqur mükəmməl çoxbucaqlı olduğundan, işarələnmiş elementlərin nömrələri Eyler bərabərliyinə tabedir:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Bazadakı çoxbucaqlı piramidanın adını verir,məsələn, üçbucaqlı, beşbucaqlı və s. Aşağıdakı fotoda müxtəlif əsasları olan piramidalar dəsti göstərilir.
Şəklin n üçbucağının birləşdirildiyi nöqtəyə piramidanın yuxarı hissəsi deyilir. Ondan bazaya perpendikulyar endirilirsə və onu həndəsi mərkəzdə kəsirsə, belə bir fiqur düz xətt adlanacaqdır. Bu şərt yerinə yetirilmirsə, o zaman maili piramida var.
Basasını bərabərtərəfli (bərabərbucaqlı) n-qonaqdan təşkil edən düz fiqur müntəzəm adlanır.
Piramidanın həcm düsturu
Piramidanın həcmini hesablamaq üçün inteqral hesablamadan istifadə edirik. Bunun üçün rəqəmi bazaya paralel kəsici müstəvilərlə sonsuz sayda nazik təbəqələrə bölürük. Aşağıdakı şəkildə hündürlüyü h və yan uzunluğu L olan dördbucaqlı piramida göstərilir, burada nazik bir təbəqə dördbucaqlı ilə işarələnir.
Hər bir belə təbəqənin sahəsi düsturla hesablana bilər:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Burada A0 bazanın sahəsi, z şaquli koordinatın qiymətidir. Görünür ki, z=0 olarsa, düstur A0 qiymətini verir.
Piramidanın həcminin düsturunu əldə etmək üçün fiqurun bütün hündürlüyündə inteqralı hesablamalısınız, yəni:
V=∫h0(A(z)dz).
A(z) asılılığını əvəz edərək və antitörəməni hesablayaraq ifadəyə gəlirik:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Biz piramidanın həcminin düsturunu əldə etdik. V dəyərini tapmaq üçün fiqurun hündürlüyünü əsas sahəsinə vurmaq və nəticəni üçə bölmək kifayətdir.
Qeyd edin ki, nəticədə ifadə ixtiyari tipli piramidanın həcmini hesablamaq üçün etibarlıdır. Yəni, meylli ola bilər və əsası ixtiyari n-qonaq ola bilər.
Düzgün piramida və onun həcmi
Yuxarıdakı paraqrafda əldə edilən ümumi həcm düsturu düzgün əsası olan piramida vəziyyətində dəqiqləşdirilə bilər. Belə bir bazanın sahəsi aşağıdakı düsturla hesablanır:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Burada L n təpəsi olan müntəzəm çoxbucaqlının yan uzunluğudur. Pi simvolu pi rəqəmidir.
A0 ifadəsini ümumi düsturda əvəz etsək, adi piramidanın həcmini alırıq:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Məsələn, üçbucaqlı piramida üçün bu düstur aşağıdakı ifadəyə gətirib çıxarır:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Adi dördbucaqlı piramida üçün həcm düsturu belə olur:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Normal piramidaların həcmini təyin etmək üçün onların əsasının tərəfini və fiqurun hündürlüyünü bilmək lazımdır.
Kəsilmiş piramida
Fərz edək ki, götürdükixtiyari bir piramida və yuxarı olan yan səthinin bir hissəsini kəsdi. Qalan fiqur kəsilmiş piramida adlanır. O, artıq iki n-bucaqlı əsasdan və onları birləşdirən n trapesiyadan ibarətdir. Əgər kəsici müstəvi fiqurun əsasına paralel idisə, o zaman paralel oxşar əsaslarla kəsilmiş piramida əmələ gəlir. Yəni, onlardan birinin tərəflərinin uzunluqları digərinin uzunluqlarını hansısa k əmsalına vurmaqla əldə edilə bilər.
Yuxarıdakı şəkildə kəsilmiş müntəzəm altıbucaqlı piramida göstərilir. Görünür ki, onun yuxarı əsası, aşağısı kimi, müntəzəm altıbucaqlıdan ibarətdir.
Verilənə bənzər inteqral hesablamadan istifadə etməklə əldə edilə bilən kəsilmiş piramidanın həcmi üçün düstur belədir:
V=1/3saat(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Burada A0 və A1 müvafiq olaraq aşağı (böyük) və yuxarı (kiçik) bazaların sahələridir. h dəyişəni kəsilmiş piramidanın hündürlüyüdür.
Xeops piramidasının həcmi
Ən böyük Misir piramidasının içərisində olan həcmin müəyyən edilməsi problemini həll etmək maraqlıdır.
1984-cü ildə ingilis misirşünasları Mark Lehner və Con Qudman Cheops piramidasının dəqiq ölçülərini təyin etdilər. Onun ilkin hündürlüyü 146,50 metr (hazırda təxminən 137 metr) idi. Quruluşun dörd tərəfinin hər birinin orta uzunluğu 230,363 metr olub. Piramidanın əsası yüksək dəqiqliklə kvadratdır.
Bu daş nəhəngin həcmini müəyyən etmək üçün verilən rəqəmlərdən istifadə edək. Piramida müntəzəm dördbucaqlı olduğundan, onun üçün düstur etibarlıdır:
V4=1/3L2h.
Rəqəmləri əvəz edin, əldə edirik:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Xeops piramidasının həcmi demək olar ki, 2,6 milyon m3-dir. Müqayisə üçün qeyd edək ki, Olimpiya hovuzunun həcmi 2,5 min m3. Yəni, bütün Cheops piramidasını doldurmaq üçün bu hovuzlardan 1000-dən çoxu lazım olacaq!
