Saniyələr, tangenslər - bütün bunları həndəsə dərslərində yüzlərlə dəfə eşitmək olardı. Amma məktəbi bitirmək başa çatır, illər keçir və bütün bu biliklər unudulur. Nəyi yadda saxlamaq lazımdır?
Essensiya
"Dairəyə toxunan" termini yəqin ki, hamıya tanışdır. Ancaq çətin ki, hər kəs tez bir zamanda onun tərifini formalaşdıra bilsin. Bu arada, bir tangens onu yalnız bir nöqtədə kəsən bir dairə ilə eyni müstəvidə uzanan belə bir düz xəttdir. Onların böyük bir çeşidi ola bilər, lakin hamısı aşağıda müzakirə ediləcək eyni xüsusiyyətlərə malikdir. Təxmin etdiyiniz kimi təmas nöqtəsi dairə ilə xəttin kəsişdiyi yerdir. Hər bir halda birdir, lakin daha çox olarsa, o, sekant olacaq.
Kəşf və öyrənmə tarixi
Tangens anlayışı antik dövrdə yaranmışdır. Bu düz xətlərin əvvəlcə dairəyə, sonra isə xətkeş və kompasın köməyi ilə ellipslərə, parabolalara və hiperbolalara çəkilməsi hətta həndəsənin inkişafının ilkin mərhələlərində də aparılmışdır. Təbii ki, tarix kəşf edənin adını qoruyub saxlamayıb, ammagöz qabağındadır ki, hətta o dövrdə insanlar çevrəyə toxunanların xüsusiyyətlərini kifayət qədər bilirdilər.
Müasir dövrdə bu fenomenə maraq yenidən alovlandı - yeni əyrilərin kəşfi ilə birlikdə bu konsepsiyanın öyrənilməsinin yeni mərhələsi başladı. Beləliklə, Qalileo sikloid anlayışını təqdim etdi və Fermat və Dekart ona bir tangens qurdular. Dairələrə gəlincə, deyəsən, bu sahədə qədimlər üçün heç bir sirr qalmayıb.
Xüsusiyyətlər
Kəsişmə nöqtəsinə çəkilmiş radius xəttə perpendikulyar olacaq. Bu
əsas, lakin dairəyə toxunan yeganə xüsusiyyət deyil. Digər mühüm xüsusiyyət artıq iki düz xətt daxildir. Beləliklə, dairədən kənarda yerləşən bir nöqtədən iki tangens çəkilə bilər, onların seqmentləri bərabər olacaqdır. Bu mövzuda başqa bir teorem var, lakin bəzi problemlərin həlli üçün son dərəcə əlverişli olsa da, standart bir məktəb kursu çərçivəsində nadir hallarda əhatə olunur. Bu belə səslənir. Dairədən kənarda yerləşən bir nöqtədən ona bir tangens və sekant çəkilir. AB, AC və AD seqmentləri formalaşır. A xətlərin kəsişməsi, B təmas nöqtəsi, C və D kəsişmə nöqtələridir. Bu halda, aşağıdakı bərabərlik etibarlı olacaq: dairəyə toxunan uzunluğunun kvadratı AC və AD seqmentlərinin hasilinə bərabər olacaq.
Yuxarıda deyilənlərdən mühüm nəticə var. Dairənin hər bir nöqtəsi üçün bir tangens qura bilərsiniz, ancaq yalnız bir. Bunun sübutu olduqca sadədir: nəzəri olaraq radiusdan ona bir perpendikulyar saldıqda, əmələ gələnüçbucaq mövcud ola bilməz. Və bu o deməkdir ki, tangens yeganədir.
Bina
Həndəsənin digər problemləri arasında, bir qayda olaraq,
deyil, xüsusi kateqoriya var.
şagirdlər və tələbələr tərəfindən sevilir. Bu kateqoriyadan olan vəzifələri həll etmək üçün sizə yalnız bir kompas və bir hökmdar lazımdır. Bunlar tikinti işləridir. Tangens qurmaq üçün də üsullar var.
Beləliklə, dairə və onun hüdudlarından kənarda yerləşən nöqtə verilmişdir. Və onların arasından bir tangens çəkmək lazımdır. Bunu necə etmək olar? Əvvəlcə O dairəsinin mərkəzi ilə verilmiş nöqtə arasında bir seqment çəkmək lazımdır. Sonra kompasdan istifadə edərək onu yarıya bölün. Bunu etmək üçün radiusu təyin etməlisiniz - orijinal dairənin mərkəzi ilə verilən nöqtə arasındakı məsafənin yarısından bir qədər çox. Bundan sonra, iki kəsişən qövs qurmaq lazımdır. Üstəlik, kompasın radiusunun dəyişdirilməsinə ehtiyac yoxdur və dairənin hər bir hissəsinin mərkəzi müvafiq olaraq başlanğıc nöqtəsi və O olacaqdır. Qövslərin kəsişmələri birləşdirilməlidir, bu da seqmenti yarıya böləcəkdir. Kompasda bu məsafəyə bərabər bir radius təyin edin. Sonra, mərkəz kəsişmə nöqtəsində olmaqla başqa bir dairə çəkin. Həm başlanğıc nöqtəsi, həm də O onun üzərində uzanacaq. Bu halda məsələdə verilmiş çevrə ilə daha iki kəsişmə olacaq. Onlar ilkin verilən nöqtə üçün əlaqə nöqtələri olacaq.
Maraqlı
Dövrəyə toxunanların qurulması
-nin doğulmasına səbəb oldu.
diferensial hesablama. Bu mövzuda ilk iş olmuşdurməşhur alman riyaziyyatçısı Leybniz tərəfindən nəşr edilmişdir. O, kəsr və irrasional qiymətlərdən asılı olmayaraq maksimal, minimum və tangensləri tapmaq imkanını təmin etmişdir. İndi o, bir çox digər hesablamalar üçün də istifadə olunur.
Bundan başqa, çevrəyə toxunan tangensin həndəsi mənası ilə bağlıdır. Onun adı buradan gəlir. Latın dilindən tərcümədə tangens "tangens" deməkdir. Beləliklə, bu anlayış təkcə həndəsə və diferensial hesabla deyil, həm də triqonometriya ilə bağlıdır.
İki dairə
Tangens həmişə yalnız bir formaya təsir etmir. Bir dairəyə çoxlu sayda düz xətt çəkmək olarsa, niyə əksinə olmasın? Bacarmaq. Ancaq bu vəziyyətdə vəzifə ciddi şəkildə mürəkkəbdir, çünki iki dairəyə toxunan heç bir nöqtədən keçməyə bilər və bütün bu rəqəmlərin nisbi mövqeyi çox ola bilər
fərqli.
Növlər və çeşidlər
İki dairə və bir və ya bir neçə sətirdən söhbət gedəndə bunların tangens olduğu məlum olsa belə, bütün bu fiqurların bir-birinə münasibətdə necə yerləşdiyi dərhal aydınlaşmır. Buna əsaslanaraq, bir neçə növ var. Beləliklə, dairələrin bir və ya iki ümumi nöqtəsi ola bilər və ya ümumiyyətlə olmaya bilər. Birinci halda, onlar kəsişəcək, ikincisi isə toxunacaqlar. Və burada iki növ var. Bir dairə, sanki, ikinciyə yerləşdirilibsə, toxunma daxili, deyilsə, xarici adlanır. qarşılıqlı başa düşməkfiqurların yeri təkcə rəsm əsasında deyil, həm də onların radiuslarının cəmi və mərkəzləri arasındakı məsafə haqqında məlumatın olması ilə mümkündür. Bu iki kəmiyyət bərabərdirsə, dairələr toxunur. Birincisi daha böyükdürsə, onlar kəsişir, daha kiçikdirsə, ortaq nöqtələri yoxdur.
Düz xətlərlə eynidir. Ümumi nöqtələri olmayan hər iki dairə üçün siz
edə bilərsiniz
dörd tangens qurun. Onlardan ikisi rəqəmlər arasında kəsişəcək, onlara daxili deyilir. Digər bir neçəsi xaricidir.
Əgər söhbət bir ümumi nöqtəyə malik olan çevrələrdən gedirsə, o zaman tapşırıq xeyli sadələşdirilmişdir. Fakt budur ki, bu vəziyyətdə hər hansı bir qarşılıqlı tənzimləmə üçün yalnız bir tangens olacaq. Və onların kəsişdiyi nöqtədən keçəcək. Beləliklə, tikinti çətinliyə səbəb olmayacaq.
Əgər fiqurların iki kəsişmə nöqtəsi varsa, o zaman onlar üçün həm bir, həm də ikinci dairəyə tangens olan düz xətt çəkilə bilər, ancaq yalnız xarici. Bu problemin həlli aşağıda müzakirə ediləcəklərə bənzəyir.
Problemin həlli
İki dairənin həm daxili, həm də xarici tangenslərini qurmaq o qədər də asan deyil, baxmayaraq ki, bu problemi həll etmək olar. Fakt budur ki, bunun üçün köməkçi fiqur istifadə olunur, ona görə də bu üsulu özünüz düşünün
olduqca problemlidir. Beləliklə, müxtəlif radiuslu və mərkəzləri O1 və O2 olan iki dairə verilmişdir. Onlar üçün iki cüt tangens qurmalısınız.
İlk növbədə, böyük mərkəzin yaxınlığındayardımçı dairələr qurmaq lazımdır. Bu halda, iki ilkin rəqəmin radiusları arasındakı fərq kompasda müəyyən edilməlidir. Köməkçi dairəyə tangentlər kiçik dairənin mərkəzindən qurulur. Bundan sonra O1 və O2-dən ilkin fiqurlarla kəsişənə qədər bu xətlərə perpendikulyarlar çəkilir. Tangensin əsas xassəsindən göründüyü kimi hər iki çevrədə istənilən nöqtələr tapılır. Problem həll olundu, heç olmasa birinci hissəsi.
Daxili tangensləri qurmaq üçün praktiki olaraq həll etməli olacaqsınız
oxşar tapşırıq. Yenə köməkçi rəqəm lazımdır, lakin bu dəfə onun radiusu orijinal olanların cəminə bərabər olacaq. Verilmiş dairələrdən birinin mərkəzindən ona tangentlər qurulur. Həllin sonrakı gedişatını əvvəlki nümunədən başa düşmək olar.
Dairə və ya hətta iki və ya daha çoxuna toxunmaq o qədər də çətin iş deyil. Əlbəttə ki, riyaziyyatçılar bu cür problemləri əl ilə həll etməyi çoxdan dayandırıblar və hesablamaları xüsusi proqramlara etibar edirlər. Ancaq düşünməyin ki, indi bunu özünüz edə bilmək lazım deyil, çünki kompüter üçün bir tapşırığı düzgün formalaşdırmaq üçün çox şey etmək və anlamaq lazımdır. Təəssüf ki, biliyə nəzarətin test formasına son keçiddən sonra tikinti tapşırıqlarının tələbələr üçün getdikcə daha çox çətinlik yaradacağı ilə bağlı qorxular var.
Daha çox çevrə üçün ümumi tangenslərin tapılmasına gəlincə, onlar eyni müstəvidə yatsalar belə, bu həmişə mümkün olmur. Ancaq bəzi hallarda belə düz xətt tapa bilərsiniz.
Həyat nümunələri
İki dairənin ümumi tangensi praktikada tez-tez rast gəlinir, baxmayaraq ki, bu həmişə nəzərə çarpmır. Konveyerlər, blok sistemləri, kasnağın ötürücü kəmərləri, tikiş maşınındakı iplərin gərginliyi və hətta sadəcə velosiped zənciri - bütün bunlar həyatdan nümunələrdir. Odur ki, həndəsi məsələlərin yalnız nəzəri olaraq qaldığını düşünməyin: mühəndislik, fizika, tikinti və bir çox başqa sahələrdə onlar praktik tətbiqlər tapırlar.
