Riyaziyyatda "çoxluq" anlayışı, eləcə də bu eyni çoxluqların bir-biri ilə müqayisəsi nümunələri var. Dəstlərin müqayisəsi növlərinin adları aşağıdakı sözlərdir: bijection, injection, surjection. Onların hər biri aşağıda daha ətraflı təsvir edilmişdir.
Tərəqqi budur… bu nədir?
Birinci çoxluğun bir qrup elementləri bu formada ikinci çoxluğun ikinci qrup elementləri ilə uyğunlaşdırılır: birinci qrupun hər bir elementi birbaşa ikinci qrupun digər bir elementi ilə uyğunlaşdırılır və orada hər hansı və ya iki dəst qrupunun elementlərinin çatışmazlığı və ya sadalanması ilə bağlı heç bir vəziyyət yoxdur.
Əsas xassələrin formalaşdırılması:
- Bir element birə.
- Uyğunlaşdıqda əlavə element yoxdur və birinci xüsusiyyət qorunur.
- Ümumi görünüşü qoruyarkən xəritələşdirməni tərsinə çevirmək mümkündür.
- Biyeksiya həm inyeksiya, həm də surjective funksiyasıdır.
Elmi baxımdan bijeksiya
Bijective funksiyalar tam olaraq "funksiyalar toplusu və çoxluğu" kateqoriyasındakı izomorfizmlərdir. Bununla belə, bijeksiyalar həmişə daha mürəkkəb kateqoriyalar üçün izomorfizm deyil. Məsələn, qrupların müəyyən kateqoriyasında morfizmlər omomorfizm olmalıdır, çünki onlar qrupun strukturunu qoruyub saxlamalıdırlar. Buna görə də, izomorfizmlər qrup izomorfizmləridir, onlar bijective homomorfizmlərdir.
"Birə-bir yazışma" anlayışı qismən funksiyalar üçün ümumiləşdirilir, burada onlar qismən bijectionlar adlanır, baxmayaraq ki, qismən bijection inyeksiya olmalıdır. Bu rahatlamanın səbəbi qismən (düzgün) funksiyanın artıq onun domeninin bir hissəsi üçün müəyyən edilməməsidir. Beləliklə, onun tərs funksiyasını tam funksiya ilə məhdudlaşdırmaq üçün yaxşı səbəb yoxdur, yəni onun domeninin hər yerində müəyyən edilmişdir. Verilmiş əsas çoxluğa bütün qismən bijeksiyalar çoxluğuna simmetrik tərs yarımqrup deyilir.
Eyni anlayışı təyin etməyin başqa bir yolu: deməyə dəyər ki, çoxluqların A-dan B-yə qismən bijeksiyası, R-nin f:A'→B biyeksiya qrafiki olması xüsusiyyəti ilə hər hansı R əlaqəsidir (qismən funksiyadır). ' burada A' A alt çoxluğu və B' B alt çoxluğudur.
Qısmi bijection eyni dəstdə olduqda, bəzən birə-bir qismən çevrilmə adlanır. Buna misal olaraq kompleks müstəvidə müəyyən edilmiş Möbius çevrilməsini göstərmək olar, onun genişləndirilmiş kompleks müstəvidə tamamlanması deyil.
Enjeksiyon
Birinci çoxluğun elementlərinin bir qrupu bu formada ikinci çoxluğun elementlərinin ikinci qrupu ilə uyğunlaşdırılır: birinci qrupun hər bir elementi ikincinin başqa bir elementi ilə uyğunlaşdırılır, lakin hamısı deyil onlar cütlərə çevrilir. Cütləşməmiş elementlərin sayı çoxluqların hər birində məhz bu elementlərin sayındakı fərqdən asılıdır: əgər bir çoxluq otuz bir elementdən ibarətdirsə, digərində isə daha yeddi element varsa, onda qoşalaşmamış elementlərin sayı yeddidir. Dəstəyə yönəldilmiş inyeksiya. Bijection və inyeksiya oxşardır, lakin oxşardan başqa heç nə yoxdur.
Tərəqqi
Birinci çoxluğun elementlərinin bir qrupu ikinci çoxluğun ikinci qrup elementləri ilə bu şəkildə uyğunlaşdırılır: elementlərin sayı arasında fərq olsa belə, istənilən qrupun hər bir elementi bir cüt təşkil edir. Buradan belə nəticə çıxır ki, bir qrupun bir elementi digər qrupun bir neçə elementi ilə cütləşə bilər.
Nə ikimənalı, nə inyektiv, nə də surjective funksiyası
Bu, bijective və surjective formanın funksiyasıdır, lakin qalıq (qoşulmamış)=> inyeksiya ilə. Belə bir funksiyada bijection və surjection arasında açıq şəkildə əlaqə var, çünki o, bu iki növ çoxluq müqayisəsini birbaşa ehtiva edir. Beləliklə, bu funksiyaların bütün növlərinin məcmusu ayrılıqda onlardan biri deyil.
Bütün növ funksiyaların izahı
Məsələn, müşahidəçini aşağıdakılar valeh edir. Oxçuluq yarışları var. Hər biriiştirakçılar hədəfi vurmaq istəyir (tapşırığı asanlaşdırmaq üçün: oxun dəqiq dediyi yer nəzərə alınmır). Yalnız üç iştirakçı və üç hədəf - bu, turnir üçün ilk saytdır (sayt). Sonrakı bölmələrdə oxatanların sayı qorunur, lakin hədəflərin sayı dəyişdirilir: ikincidə - dörd hədəf, növbəti hissədə - həmçinin dörd, dördüncüdə isə beş. Hər bir iştirakçı hər hədəfə atəş açır.
- Turnirin ilk yeri. Birinci oxatan yalnız bir hədəfi vurur. İkincisi yalnız bir hədəfə çatır. Üçüncüsü digərlərinin ardınca təkrarlanır və bütün oxatanlar fərqli hədəfləri vururlar: onlara qarşı olanlar. Nəticədə 1 (birinci oxatan) hədəfə (a), 2 - (b), 3 - (c) də vurdu. Aşağıdakı asılılıq müşahidə olunur: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Nəticə dəstlərin belə müqayisəsinin bijeksiya olduğuna dair hökm olacaq.
- Turnir üçün ikinci platforma. Birinci oxatan yalnız bir hədəfi vurur. İkincisi də yalnız bir hədəfi vurur. Üçüncüsü həqiqətən cəhd etmir və hər şeyi digərlərinin ardınca təkrarlayır, lakin şərt eynidir - bütün oxatanlar fərqli hədəfləri vururlar. Ancaq əvvəllər qeyd edildiyi kimi, ikinci platformada artıq dörd hədəf var. Asılılıq: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - çoxluğun qoşalaşmamış elementi. Bu halda, nəticə belə bir toplu müqayisənin inyeksiya olduğuna dair qərar olacaq.
- Turnirin üçüncü yeri. Birinci oxatan yalnız bir hədəfi vurur. İkincisi yenə yalnız bir hədəfi vurur. Üçüncüsü özünü toparlamağa qərar verir və üçüncü və dördüncü hədəfləri vurur. Nəticədə asılılıq: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Buradan nəticə, dəstlərin belə müqayisəsinin təxribat olduğuna dair hökm olacaq.
- Turnir üçün dördüncü platforma. Birincisi ilə hər şey artıq aydındır, o, yalnız bir hədəfi vurur, orada tezliklə darıxdırıcı vuruşlara yer qalmayacaq. İndi ikincisi hələ yeni üçüncü rolunu alır və yenə birincidən sonra təkrarlanan yalnız bir hədəfi vurur. Üçüncüsü özünü idarə etməyə davam edir və oxunu üçüncü və dördüncü hədəflərə təqdim etməyi dayandırmır. Beşincisi isə hələ də onun nəzarətindən kənarda idi. Beləliklə, asılılıq: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - hədəflər dəstinin qoşalaşmamış elementi. Nəticə: dəstlərin belə müqayisəsi nə suryeksiya, nə inyeksiya, nə də bijeksiyadır.
İndi bijection, inyeksiya və ya suryeksiya qurmaq, eləcə də aralarındakı fərqləri tapmaq problem olmayacaq.
